1、章末复习,第二章 推理与证明,学习目标,1.整合本章知识要点. 2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等. 3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明. 4.理解数学归纳法,并会用数学归纳法证明问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.合情推理 (1)归纳推理:由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理:由 到 的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,2.演绎推理 (1)演绎推理:由 到 的推理. (2)“三段论
2、”是演绎推理的一般模式,包括: 已知的一般原理; 所研究的特殊情况; 根据一般原理,对特殊情况做出的判断.,一般,特殊,大前提,小前提,结论,3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是 和 : 是从已知条件推出结论的证明方法; 是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是 ,是从结论反面成立出发,推出矛盾的方法. 4.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时,它的两个步骤缺一不可,它的第一步(归纳奠基)是证当n 时结论成立;第二步(归纳递推)是假设当n 时结论成立,推得当n 时结论也成立.,综合法,分析法,综合法,分析法,反证法,n0,k1,k
3、,1.归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. ( ) 2.“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( ) 3.综合法是直接证明,分析法是间接证明.( ) 4.反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 合情推理与演绎推理,例1 (1)观察下列等式:, 照此规律,,答案,解析,答案,解析,解析 题干两图中,与PAB,PAB相对应的是三棱锥PABC,PABC; 与PAB两边PA,PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC. 与PAB的两条边PA,PB相对应的是三
4、棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC.,答案,解析,(3)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是_. 解析 由题意可知丙不拿2和3. 若丙拿1和2,则乙拿2和3,甲拿1和3,满足题意; 若丙拿1和3,则乙拿2和3,甲拿1和2,不满足题意. 故甲的卡片上的数字是1和3.,1和3,反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意,仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一
5、定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明. (2)进行类比推理时,要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理,其结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此,在演绎推理中,只要前提及推理正确,结论必然正确.,跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现:第4个图形中有_根火柴棒;第n个图形中有_根火柴棒. 解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an,可知a413. 通过观察得到递推关系式anan13(n2,nN*), 所
6、以an3n1.,答案,解析,13,3n1,(2)若数列an为等差数列,Sn为其前n项和,则有性质“若SmSn(m,nN*且mn),则Smn0.”类比上述性质,相应地,当数列bn为等比数列时,写出一个正确的性质:_ _. 解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时, 加减运算类比推理为乘除运算. 累加类比为累乘, 由此,等差数列an的性质类比到等比数列bn中为: 数列bn为等比数列,Tm表示其前m项的积, 若TmTn(m,nN*,mn),则Tmn1.,数列bn为等比数列,Tm表示其前m项的积,若TmTn(m,nN*,mn),则Tmn1,答案,解析,类型二 综合法与分析法,证明,证明
7、 方法一 分析法,(0,),sin 0,,1cos 0, 4cos (1cos )1, 可变形为4cos24cos 10, 只需证(2cos 1)20,显然成立.,方法二 综合法,(0,),sin 0,,反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.,跟踪训练2 设a,b是两个正实数,且ab,求证:a3b3a2bab2. 证明 要证a3b3a2bab2成立,即需证 (ab)(a2ab
8、b2)ab(ab)成立, 即需证a2abb2ab成立. 只需证a22abb20成立, 即需证(ab)20成立. 而由已知条件可知,ab,所以ab0, 所以(ab)20显然成立. 即a3b3a2bab2.,证明,类型三 反证法,证明,因为x0且y0, 所以1x2y且1y2x, 两式相加,得2xy2x2y,所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时,也常用反证法.,跟踪训练3 已知:ac2(bd). 求证:方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数
9、根, 则1a24b2ac,即ac2(bd),与已知矛盾,故原命题成立.,证明,类型四 数学归纳法,解答,下面用数学归纳法证明:,(2)假设当nk(k1,kN*)时猜想成立,,那么当nk1时,,即当nk1时猜想成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数n,猜想均成立.,反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始n0是多少. (2)由nk到nk1时,除等式两边变化的项外还要利用当nk时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.,跟踪训练4 观察下列四个等式: 第一个式子 11 第二个
10、式子 2349 第三个式子 3456725 第四个式子 4567891049 (1)按照此规律,写出第五个等式; 解 第5个等式:5671381.,解答,(2)请你做出一般性的猜想,并用数学归纳法证明.,解答,解 猜想第n个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 下面用数学归纳法证明. 当n1时,左边1,右边(21)21, 猜想成立. 假设当nk(k1,kN*)时,猜想成立, 即有k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2.,那么当nk1时, 左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1) k(k1)(k2)(3k2)(2k1)3k(3k1) (2k1)2(2k1)3k(3k
11、1) 4k24k18k(2k1)2 2(k1)12. 右边2(k1)12, 即当nk1时,猜想也成立. 根据知,猜想对任意nN*都成立.,达标检测,1.数列5,9,17,33,x,中的x等于 A.47 B.65 C.63 D.128 解析 5221,9231,17241,33251, 归纳可得:x26165.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析,答案,3.若a0,b0,则有,解析,4.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0
12、至多有一个实数 C.方程x3axb0至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根 解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根,故选A.,1,2,3,4,5,答案,解答,1,2,3,4,5,左边右边,所以等式成立. (2)假设当nk(k1,kN*)时等式成立,,则当nk1时,,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,所以当nk1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对于一切nN*,等式都成立.,1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.
13、2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.,规律与方法,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法. 4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当nn0时,结论成立.第二步(归纳递推)假设当nk时,结论成立,推得当nk1时,结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.,