1、第13讲 数列的概念与通项公式,学习导航,1数列及其有关概念、表示,首项,一定顺序,想一想 1.数列中的项与集合的元素有什么区别和联系？ 提示：相同点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； 不同点：(1)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (2)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性)； (3)数列中的每一项都是数，而集合中的元素除了是数外还可以是点、物体等,2数列的分类,有限,无限,第2项,大于,第2项,小于,各项相等,第2项,大于,小于,做一做 2.如何
2、判断数列的单调性？ 提示：(1)作差比较法 若an1an0恒成立，则数列an是递增数列； 若an1an0恒成立，则数列an是递减数列； 若an1an0恒成立，则数列an是常数列,3数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_,序号n,通项公式,做一做,4.数列的递推公式 如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)(n2，nN*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,做一做,5数列与函数的关系 对任意数列an，其每一项与序号都有对应关系，见下表：因
3、此数列也可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的函数_，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1,2,3，)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，.,anf(n),想一想 3.数列是函数吗？ 提示：数列是一个特殊的函数，它的特殊性主要体现在其定义域是正整数集,题型一 数列的有关概念,【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5),【名师点评】 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，
4、则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列,跟踪训练,题型二 已知数列的前几项归纳其通项公式,【名师点评】 由前几项归纳通项的一些方法： 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现
5、的情况，可用(1)k或(1)k1处理,跟踪训练,题型三 数列通项公式的应用,跟踪训练 4已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n(nN*)， (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列an的增减性,题型四 数列递推公式的应用,【名师点评】 根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然后归纳、猜想其通项公式，其中归纳、猜想通项公式是难点，可用根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理不同的是，在写出前几项时，一般不对前几项化简(但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，没有定法),跟踪训练,解：(1)a10，an1an(2n1)， a2a1(211)011； a3a2(2
6、21)134； a4a3(231)459； a5a4(241)9716. 故该数列的一个通项公式是an(n1)2.,1单调性是数列的一个重要性质判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an1与an(nN*)的大小，若an1an恒成立，则an为递增数列；若an1an恒成立，则an为递减数列用作差法判断数列增减性的步骤为：作差；变形；定号；结论,2通项公式与递推公式的异同,3.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)； (2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式； (3)写出一个通项公式,名师解题 数列单调性的判定问题,【失误防范】 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an1与an的大小来判断，若an1an，则数列为递增数列，若an1an，则数列为递减数列,跟踪训练 6已知数列an的通项公式为ann27n50，求数列中的最小项,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
