1、2.2.2 反证法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.了解间接证明的基本方法反证法. 2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点. 3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用. 4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 反证法的定义,思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是 结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论. A. B. C. D.,梳理 一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明
2、了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是 的一种基本方法.,原命题,矛盾,间接证明,知识点二 反证法的理论依据,思考 反证法解题的实质是什么？,答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.,梳理 由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性.根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法.也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立.,知识点三 反证法的一般步骤,思考
3、(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？,答案 常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾.,(2)反证法适用范围主要有哪些方面？,答案 一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.,梳理 反证法的证题步骤 (1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立. (2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等. (3)结论：因为推理正确，
4、所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立.,1.反证法属于间接证明问题的方法.( ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 反证法是 A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B.对其否命题的证明 C.对其逆命题的证明 D.分析法的证明方法,类型一 反证法概念的理解,答案,解析,解析 反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立.,反思与感悟 对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，
5、从而侧面说明原命题成立.,跟踪训练1 (1)命题“在ABC中，若 AB，则ab”的结论的否定应该是 A.ab B.ab C.ab D.ab,答案,解析,解析 “ab”的否定应为“ab或ab”，即“ab”.,(2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，则a，b，c中存在偶数”时，下列假设正确的是_.(填序号) 假设a，b，c都是偶数；假设a，b，c都不是偶数；假设a，b，c至多有一个是偶数；假设a，b，c至多有两个是偶数.,答案,解析,解析 “a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”.,命题角度1 证明一般性命题,类型
6、二 反证法的应用,证明,反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤： 第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q； 第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾； 第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.,证明,从而abc，这与a，b，c不成等差数列矛盾，,证明,命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题,又x，y都是正实数，,xy2，与xy2矛盾， 假设不成立，原命题结论正确.,反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表：,跟踪训练3 已知函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明,证明 假设
7、方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根， 即f()f()0，且，不妨设， f(x)在区间a，b上单调递增， f()f()，这与f()f()0矛盾， f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明,命题角度3 证明否定性命题,2acbcab. 又a，b，c成等差数列， 2bac. 2acb(ac)b2b， b2ac. 由，得4b2(ac)2， 把代入上式得4ac(ac)2，,(ac)20，ac. 把ac代入得ba，故abc， 公差为0，这与已知矛盾.,反思与感悟 证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.,证明,所以假设不成立，所以原结论成立
8、.,达标检测,1,2,3,4,答案,5,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,2.异面直线在同一个平面上的射影不可能是 A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一个点与一条直线 D.同一条直线,解析 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C； BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B； BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.,3.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过_来证明原命题的正确性.,
9、答案,1,2,3,4,5,逆否命题,1,2,3,4,5,答案,解析,4.用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_.,a1或b1,解析 结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”.,1,2,3,4,5,证明,5.证明：方程2x3有且仅有一个实根.,方程2x3至少有一个实根. 设x1，x2是方程2x3的两个不同实根，,由得2(x1x2)0，x1x2， 这与x1x2矛盾. 方程2x3有且仅有一个实根成立.,用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,规律与方法,本课结束,
