1、2.2.2 间接证明,第2章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 阅读下列证明过程， 若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数. 证明：假设a，b，c都是奇数， 则a2，b2，c2都是奇数， a2b2为偶数， a2b2c2，这与已知矛盾， a，b，c不可能都是奇数. 请问上述证法是直接证明吗？为什么？,知识点一 间接证明,答案 不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发.,梳理 间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命
2、题成立，像这种 的方法通常称为间接证明. 就是一种常用的间接证明方法.间接证明还有、 等.,不是直接证明,反证法,同一法,枚举法,王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？,知识点二 反证法,答案 运用了反证法思想.,思考2 反证法解题的实质是什么？,答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.,梳理 (1)反证法
3、证明过程 反证法证明时，要从 开始，经过 ，导致 ，从而达到 (即肯定原命题). (2)反证法证明命题的步骤 假设 不成立，即假定原结论的反面为真. 归谬从 和 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果. 存真由 ，断定反设不真，从而肯定原结论成立.,否定结论,正确的推理,逻辑矛盾,新的否定,命题的结论,反设,已知条件,矛盾结果,反设,思考辨析 判断正误 1.反证法属于间接证明问题的方法.( ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.( ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ),题型探究,类型一 用反证法证明否定性命题,例1 已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：
4、a2b2c2d2abcd1.,证明 假设a2b2c2d2abcd1. 因为adbc1， 所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20. 所以ab0，cd0，ad0，bc0， 则abcd0， 这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立. 所以a2b2c2d2abcd1.,证明,反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤,跟踪训练1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列.求证：,
5、a，b，c成等比数列，b2ac， ,ac，从而abc. 这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立.,证明,类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题,证明,例2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1. 因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾. 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设
6、词”如下：,证明,跟踪训练2 已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.,证明 假设a，b，c，d都不是负数， 即a0，b0，c0，d0. abcd1， b1a0，d1c0， acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1 (aca)(acc)1a(c1)c(a1)1. a(c1)0，c(a1)0， a(c1)c(a1)11， 即acbd1，与acbd1相矛盾， 假设不成立，a，b，c，d中至少有一个是负数.,类型三 用反证法证明唯一性命题,证明,例3 求证：方程2x3有且只有一个根.,证明 2x3，xlog23. 这说明方程2x3有根. 下面用反证
7、法证明方程2x3的根是唯一的. 假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)， 则 3, 3，两式相除得 1， b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾. 假设不成立，从而原命题得证.,反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.,证明,跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明 假设方程f(x)0在区间a，b上
8、至少有两个实根， 设，为其中的两个实根. 因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数， 所以f()f(). 这与假设f()0f()矛盾， 所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,达标检测,1.证明“在ABC中至多有一个钝角”，第一步的假设应是_ _.,答案,1,2,3,4,5,三角形中至少,有两个钝角,1,2,3,4,5,2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中_.,答案,每一个内角都小于60,1,2,3,4,5,3.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是_. (填序号) 与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；
9、 与事实矛盾.,答案,答案,1,2,3,4,5,a与b相交,4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设_.,1,2,3,4,5,证明,5.已知：平面和一点P. 求证：过点P与垂直的直线只有一条.,证明 如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P).,假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB， 设PA，PB确定的平面为，且a， 于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， 假设不成立，原命题成立.,用反证法证题需把握三点 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,规律与方法,本课结束,
