1、3 勾股定理的应用,知识点一,知识点二,知识点一 圆柱体表面上的最短线路问题 将如图所示的圆柱侧面剪开展成一个长方形,连接AB,线段AB就是点A到点B的最短线路.名师解读 教科书中,蚂蚁行走的最短线路问题,不仅涉及立体图形问题,而且涉及勾股定理的应用.蚂蚁从圆柱下底面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点,且要求所走的路程最短,看上去是一个曲面上的路线问题,但实际上可以将圆柱的侧面展开为长方形,而转化为平面图形上的路线问题.然后利用“两点之间的所有连线中,线段最短”这个结论,结合勾股定理就可以比较容易地解决问题了.,知识点一,知识点二,知识点二 长方体表面上的最短线路问题 长方体的每个面都是平
2、面.若求同一个面上的两点之间的距离比较容易,若求不同面上的两点之间的距离,就必须把它们转化到同一个平面内,即把长方体设法展开成为一个平面,使计算距离的两个点处在同一个平面中,这样就可以利用勾股定理加以解决了. 名师解读 在长方体表面上求两点之间的最短距离,一定要弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题.,拓展点一,拓展点二,拓展点一 生活中的最短线路问题 例1 小明与小亮到荒岛去玩寻宝游戏.如图所示,他们登陆后,先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地
3、点离登陆点的距离.分析:实际问题构造直角三角形应用勾股定理解决实际问题.,拓展点一,拓展点二,解:如图所示,过点B作BDAC于点D,连接AB. 在RtABD中, AD=8-3+1=6(km), BD=2+6=8(km). 由勾股定理,得 AB2=AD2+BD2=62+82=102, 所以AB=10 km. 故宝藏的地点离登陆点的距离是10 km.,拓展点一,拓展点二,拓展点一,拓展点二,拓展点二 运用勾股定理解折叠问题 例2 如图所示,直角三角形纸片ABC,C=90,AC=6,BC=8,折叠ABC的一角,使点B与点A重合,展开得折痕DE,求BD的长. 分析:由折叠知AD=BD,并设BD=x在R
4、tACD中,由勾股定理求AD的长. 解:由折叠知AD=BD. 设BD=x,则AD=x,CD=8-x. 在RtACD中,由勾股定理,得 AC2+CD2=AD2, 即62+(8-x)2=x2,拓展点一,拓展点二,教材问题详解 做一做(P13) 解答 (1)能.连接BD,测量AD,AB,BD的长度,如果AD2+AB2=BD2,则ADAB,连接AC,测量BC,AC的长度,如果AB2+BC2=AC2,则BCAB. (2)ADAB.因为AD2+AB2=302+402=502=BD2,所以A=90. 所以AD边垂直于AB边. (3)能.如下图所示,可在AD边上取一点E,使AE=6 cm,在AB边上取一点F,
5、使AF=8 cm,再量一下EF的长度,如果EF=10 cm,则说明AD边垂直于AB边,因为AE2+AF2=62+82=102=EF2,所以A=90.用同样的方法可判断BC边与AB边是否垂直.,教材习题详解 随堂练习(P14) 解 甲、乙两人相距13 km. 习题1.4(P14) 1.解 82+152=172, 长方形的长为17 cm. S阴影=173=51(cm2). 阴影长方形的面积是51 cm2. 2.解 图(2)正确. 3.解 由于152-92=225-81=144=122,而1211.7, 故云梯能到达墙的顶端.,4.解 如图,连接AB,AB即为最短路线. AB2=(8+8)2+122=400, AB=20. 蚂蚁要爬行的最短路程是20 cm. 5.解 设水池深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,由勾股定理,解得x=12,这时x+1=13. 所以水池深度为12尺,芦苇长为13尺. 点拨 解答古代数学问题的关键是理解题意. 6.略,
