1、1第 3章 三角恒等变换滚动训练五(3.13.3)一、填空题1cos555_.答案 6 24解析 cos555cos(720165)cos165cos15cos45cos30sin45sin30 .6 242sin 220sin80sin40的值为_答案 34解析 原式sin 220sin(6020)sin(6020)sin 220(sin60cos20cos60sin20)(sin60cos20cos60sin20)sin 220sin 260cos220cos 260sin220sin 220 cos220 sin22034 14 sin220 cos220 .34 34 343在 ABC
2、中，若 tanAtanB1，则 ABC是_三角形答案 锐角解 析 A， B 是 ABC 的 内 角 ， 且 tan AtanB 1， 得 角 A， B 均 为 锐 角 ， 然 后 切 化 弦 ，得 sinAsinBcos AcosB，即 cos(A B)0，cos( C)0，cos C0，cos C0，角 C为锐角， ABC是锐角三角形4已知 f(x)sin 2 ，若 a f(lg5)， b f ，则 a b_.(x4) (lg 15)答案 1解析 f(x)sin 2 ，(x4) 1 cos(2x 2)2 1 sin2x2 a f(lg5)， b f f(lg5)，(lg 15)2 a b 1
3、.1 sin2lg52 1 sin2lg525 ysin sin2 x， x0，的单调增区间为_(2x3)答案 12， 712解析 ysin sin2 x(2x3)sin2 xcos cos2 xsin sin2 x3 3 sin2x cos2xsin .12 32 (2x 3)ysin 的单调增区间是 ysin 的单调减区间，(2x3) (2x 3)令 2 k2 x 2 k， kZ，2 3 32 k x k， kZ，12 712令 k0，得 x .12， 7126若 0 ， 0，cos ，cos ，则2 2 (4 ) 13 (4 2) 33cos _.( 2)答案 539解析 0 ， .2
4、4 434cos ，sin .(4 ) 13 (4 ) 223 0， .2 44 22cos ，sin .(4 2) 33 (4 2) 63cos cos( 2) (4 ) (4 2)cos cos sin sin(4 ) (4 2) (4 ) (4 2) .13 33 223 63 53937已知函数 f(x)cos ，则 f(x)在0，上的单调增区间为x2(3sin x2 cos x2)_答案 0，3解析 f(x)cosx2(3sin x2 cos x2) sinx sin .32 1 cosx2 (x 6) 12由 2k x 2 k ， kZ，2 6 2可得 2k x2 k ， kZ.2
5、3 3当 k0 时，函数 f(x)的单调增区间为 .23， 3又 x0，所以 f(x)在0，上的单调增区间为 .0，38化简 _.sin4x1 cos4x cos2x1 cos2x cosx1 cosx答案 tanx2解析 原式 2sin2xcos2x2cos22x cos2x1 cos2x cosx1 cosx sin2x1 cos2x cosx1 cosx 2sinxcosx2cos2x tan .cosx1 cosx sinx1 cosx x29若 sin( ) ， ，则 sin2 cos 2 的值为_45 (0， 2) 2答案 425解析 sin( ) ，sin ，45 45又 ，(0
6、，2)cos ，1 sin235因此，sin2 cos 2 2sin cos (1cos )2 122 .45 35 12 (1 35) 2425 45 425410. _.3tan12 34cos212 2sin12答案 4 3解析 原式 3sin12cos12 322cos212 1sin1223(12sin12 32cos12)cos122cos24sin12 23sin 482cos24sin12cos12 23sin48sin24cos24 4 . 23sin4812sin48 311函数 ysin 2x2sin xsin sin 的图象的对称中心是_(x3) 32答案 (kZ)(k
7、2， 1)解析 ysin 2x2sin xsin sin(x3) 32sin 2x2sin x 1(12sin x 32cos x) sin xcosx1 sin 2x1.332令 2x k( kZ)，得 x (kZ)k2该函数的对称中心为 (kZ)(k2， 1)二、解答题12已知 cos ， ，求 的值(4 ) 35 2 32 1 cos2 sin21 tan解 由 cos ，得 cos sin ，(4 ) 35 22 22 35解方程组Error!得Error! 或Error! ，cos 0，2 32Error!tan 7， 1 cos2 sin21 tan 2sin2 2sin cos1
8、 tan5 .2( 7210)2 2( 7210)( 210)1 7 287513已知向量 m(cos x，sin x)， n(2 sin x，2 cos x)，函数 f(x) mn， xR.2 2(1)求函数 f(x)的最大值；(2)若 x 且 f(x)1，求 cos 的值(32， ) (x 512)解 (1)因为 f(x) mncos x(2 sin x)sin x(2 cos x)2 22 (sin xcos x)4sin (xR)，2 (x4)所以 f(x)的最大值是 4.(2)因为 f(x)1，所以 sin .(x4) 14又因为 x ，即 x .(32， ) 4 ( 54， 34)
9、所以 cos .(x4) 154cos cos(x512) (x 4) 6cos cos sin sin(x4) 6 (x 4) 6 .154 32 14 12 35 18三、探究与拓展14函数 f(x)sin 2xsin xcosx1 的最小正周期是_，单调减区间是_答案 (kZ)38 k ， 78 k 解析 由题意，知 f(x) sin2x1 sin2x cos2x sin ，所以最小正周期 T.令1 cos2x2 12 12 12 32 22 (2x 4) 322 k2 x 2 k( kZ)，得 k x k (kZ)，故单调减区间2 4 32 38 78为 (kZ)38 k ， 78 k
10、 15设 f(x)4cos sinx cos(2 x )，其中 0.( x6)(1)求函数 y f(x)的值域；6(2)若 f(x)在区间 上为单调增函数，求 的最大值32， 2解 (1) f(x)4 sinx cos2 x(32cos x 12sin x)2 sinx cosx 2sin 2x cos 2x sin 2x3 sin2x 1( 0)3因为1sin2 x 1，所以函数 y f(x)的值域为1 ，1 3 3(2)因为 ysin x在闭区间 (kZ)上为单调增函数，所以 f(x)2k 2， 2k 2 sin2x 1( 0)在闭区间 (kZ)上为单调增函数3 k 4 ， k 4 依题意，知 对某个 kZ 成立，此时必有 k0，于是32， 2 k 4 ， k 4 Error!解得 0 ，故 的最大值为 .16 16
