1、1课时分层作业(七) 椭圆的几何性质(建议用时：40 分钟)基础达标练一、填空题1若椭圆 1(0 a36)的焦距为 4，则 a_.x236 y2a解析 0 a36，36 a2 2， a32.答案 322椭圆 25x29 y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是_. 【导学号：71392069】解析 方程可化为 1，易知 a5， b3， c4，y225 x29所以长轴长为 10，短轴长为 6，离心率为 .45答案 10,6，453已知椭圆 1 与椭圆 1 有相同的长轴，椭圆 1 的短轴长与x2a2 y2b2 x225 y216 x2a2 y2b2椭圆 1 的短轴长相等，则 a2_， b2_.y
2、221 x29解析 因为椭圆 1 的长轴长为 10，焦点在 x轴上，椭圆 1 的短轴x225 y216 y221 x29长为 6，所以 a225， b29.答案 25 94已知椭圆 G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 ，且 G上一点到 G的两32个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G的方程为_解析 由题意得 2a12， ，所以 a6， c3 ， b3.ca 32 3故椭圆方程为 1.x236 y29答案 1x236 y295椭圆 1 的离心率为 ，则实数 m的值为_x2m y24 12解析 当椭圆的焦点在 x轴上时， a2 m， b24，且 m4，则e2 1 1 ， m ；c2a2 b
3、2a2 4m 14 1632当椭圆的焦点在 y轴上时， a24， b2 m，且 0 m4，则 e2 1 1 ， m3.c2a2 b2a2 m4 14答案 3 或1636椭圆 1( ab0)的左焦点 F到过顶点 A( a，0)， B(0， b)的直线的距离等x2a2 y2b2于 ，则椭圆的离心率为_. b7【导学号：71392070】解析 由题意知直线 AB的方程为 1，即 bx ay ab0.x a yb左焦点为 F( c,0)，则 .| cb ab|a2 b2 b7 (a c) ，7 a2 b27( a c)2 a2 b2 a2 a2 c22 a2 c2，即 5a214 ac8 c20，8
4、e214 e50，解得 e 或 e .12 54又0b0)，x2a2 y2b2得 y2 b2 ， y .(1c2a2) b4a2 b2a设 P ，椭圆的右顶点 A(a,0)，上顶点 B(0， b)( c，b2a) OP AB， kOP kAB， ，b2ac ba b c.而 a2 b2 c22 c2， a c， e .2ca 22又 a c ，解得 a ， c ， b ，10 5 10 5 5所求椭圆的标准方程为 1.x210 y2510设直线 y x b与椭圆 y21 相交于 A， B两个不同的点x22(1)求实数 b的取值范围；(2)当 b1 时，求| AB|. 【导学号：71392071
5、】解 (1)将 y x b代入 y21，x224消去 y，整理得 3x24 bx2 b220. 因为直线 y x b与椭圆 y21 相交于 A， B两个不同的点，x22所以 16 b212(2 b22)248 b20，解得 b .3 3所以 b的取值范围为( ， )3 3(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)当 b1 时，方程为 3x24 x0.解得 x10， x2 .43所以 y11， y2 .13所以| AB| .(x1 x2)2 (y1 y2)2423能力提升练1已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 ，过 F2的直线x2a2 y2b2 33l交
6、 C于 A， B两点若 AF1B的周长为 4 ，则 C的方程为_3解析 根据题意，因为 AF1B的周长为 4 ，所以3AF1 AB BF1 AF1 AF2 BF1 BF24 a4 ，所以 a .又因为椭圆的离心率3 3e ，所以 c1， b2 a2 c2312，所以椭圆 C的方程为 1. ca 33 x23 y22答案 1x23 y222若 A为椭圆 x24 y24 的右顶点，以 A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为_解析 由题意得，该三角形的两直角边关于 x轴对称，且其中一边在过点 A(2,0)，斜率为 1的直线上，且此直线的方程为 y x2，代入 x24 y24
7、，得 5x216 x120，解得 x12， x2 .把 x 代入椭圆方程，得 y ，所以三角形的面积65 65 45S .12 85 (2 65) 1625答案 16253过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A的斜率为 k的直线交椭圆 C于另一个点x2a2 y2b2B，且点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F，若 k ，则椭圆离心率的取值范围是13 125_. 【导学号：71392072】解析 因为 k ，所以点 B在第一象限由题意可知点 B的坐标为 .因为点13 12 (c， b2a)A的坐标为( a，0)，所以 k ，所以 .b2a 0c a 13b2a 0c a12又因为 b2 a2
8、c2，所以 1 e，所以 1 e ，解得b2a 0c a b2ac a2 a2 c2a2 ac a ca 13 12e ，故椭圆离心率的取值范围是 .12 23 (12， 23)答案 (12， 23)4.如图 225，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点x2a2 y2b2分别为 F1， F2，点 P(3,1)在椭圆上， PF1F2的面积为 2 .2图 225(1)求椭圆 C的标准方程；(2)若点 Q在椭圆 C上，且 F1QF2 ，求 QF1QF2的值；3(3)设直线 y x k与椭圆 C相交于 A、 B两点，若以 AB为直径的圆经过坐标原点，求实数 k的值解 (1)椭圆过点 P(3,1)， 1.9a2 1b2又 S 2c12 ，解得 c2 . PF1F2 12 2 2又 a2 b2 c2解得 a212， b24，椭圆的标准方程为 1.x212 y24(2)当 F1QF2 时，36有Error! QF1QF2 .163(3)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 4x26 kx3 k2120，故 x1 x2 ， x1x2 ， y1y2 .3k2 3k2 124 k2 124以 AB为直径的圆经过坐标原点， x1x2 y1y2 k260，解得 k ，OA OB 6此时 1200，满足条件，因此 k .6
