1、专题限时集训(四) 数列求和与综合问题(建议用时：60 分钟)一、选择题1(2018昆明模拟 )已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2，则 a3a 8 的值是( )A200 B100 C20 D10C 当 n1 时， a1S 11；当 n2 时， anS nS n 1n 2(n1) 22n1，所以 an2n1，所以 a3a 851520，故 选 C.2. 的值为( )122 1 132 1 142 1 1n 12 1A. B. n 12n 2 34 n 12n 2C. D. 34 12( 1n 1 1n 2) 32 1n 1 1n 2C ， 1n 12 1 1n2 2n 1nn 2 121
2、n 1n 2 122 1 132 1 142 1 1 1n 12 1 12 13 12 14 13 15 1n 1n 2 .12(32 1n 1 1n 2) 34 12( 1n 1 1n 2)3已知数列a n满足 an 1 ，若 a1 ，则 a2 018( )11 an 12A1 B. C1 D212D 由 a1 ，an1 ，得12 11 ana2 2，a 3 1， a4 ，a5 2，因此数列 an是11 a1 11 a2 11 a3 12 11 a4周期为 3 的周期数列，a 2 018a 36722 a 22，故 选 D.4已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a 22，且对于任
3、意n1，nN *，满足 Sn1 S n1 2(S n1)，则 S10( )A91 B90 C55 D54A 由 Sn1 S n1 2( Sn1)得( Sn1 S n)(S nS n1 )2，即 an1 a n2(n2) ，又 a2a 11，因此数列 an从第 2 项起，是公差为 2 的等差数列，则 S10a 1(a 2a 3a 10)192 291.9825设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sm1 2，S m0，S m1 3，则m( )A3 B4 C5 D6C 法一 ：S m1 2，S m0， Sm1 3， a mS mS m1 2，a m1 S m1 S m3， 公差da m1 a
4、 m1，由公式 Snna 1 dna 1 ，nn 12 nn 12得Error!由得 a1 ，代入 可得 m5.1 m2法二：数列a n为等差数列，且前 n 项和为 Sn，数列 也 为等差数列Snn ，即 0，解得 m5.经检验为原方程的Sm 1m 1 Sm 1m 1 2Smm 2m 1 3m 1解故选 C.6(2018厦门模拟 )已知函数 f(n)Error!，且 anf(n)f (n1)，则a1a 2a 3a 2 018 等于( )A2 017 B2 018 C2 017 D2 018D 当 n 为奇数时， ann 2(n1) 22n1，当 n 为偶数时，ann 2(n 1) 22n1 ，
5、所以 a13，a 25， a37， a49，故a1a 22，a 3a 42，所以 a1a 2a 3a 2 0182 2 018，故 选 D.2 01827(2018河南百校联盟模拟)已知正项数列a n中，a11，a 22,2a a a (n2)，b n ，记数列b n的前 n 项和2n 2n 1 2n 11an an 1为 Sn，则 S33 的值是( )A. B. C4 D399 33 2D 2a a a (n2)，数列a 为等差数列，首项为 1，公差为2n 2n 1 2n 1 2n2213.a 13( n1) 3n2，a n0，a n ，2n 3n 2b n ( )，故数列b n的前 n1a
6、n an 1 13n 2 3n 1 13 3n 1 3n 2项和为 Sn13 4 1 7 4 3n 1 3n 2 ( 1)， 则 S33 ( 1)3.故选 D.13 3n 1 13 333 18(2018南阳模拟 )设数列a n的通项公式 an 11 11 2 11 2 3(nN *)，若数列 an的前 n 项积为 Tn，则使 Tn100 成立的最小11 2 3 n正整数 n 为( )A9 B10 C11 D12C 因 为 2 ，所以 an211 2 3 n 2n 1n (1n 1n 1) ，该数列的前 n 项积为 Tn2 n(1 12 12 13 1n 1n 1) 2nn 1 ，由题意知(1
7、22334 nn 1) 2nn 1100， 100， 100，使 Tn100 成立的最小正整数 n 为 11，故299 1 21010 1 21111 1选 C.二、填空题9已知数列a n的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 2Sn23a n(nN *)，则 an_.23n1 (nN *) 因为 2Sn23a n，所以 2Sn1 23a n1 ，由，得 2Sn1 2S n3a n1 3a n，所以 2an1 3a n1 3a n，即 3.an 1an当 n1 时，22S 13a 1，所以 a12，所以数列 an是首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以 an23 n1 (nN *)10(
8、2018晋城模拟 )已知数列a n的前 n 项和 Sn，且 Sn1 S n2a n1 ，且a11，则 an_.anError! 因为 Sn1 S n2a n1 ，所以 SnS n1 2a n，得an1 a n2a n1 2a n，(n2)，即 3，当 n 1 时， (a1a 2)a 12a 2.解得an 1ana22， a nError!11已知数列a n前 n 项和为 Sn，若 Sn2a n2 n，则 Sn_.n2n(nN *) 由 Sn2a n 2n得当 n1 时， S1a 12；当 n2 时，Sn2(S nS n 1)2 n，即 1，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差Sn2n S
9、n 12n 1 Sn2n数列，则 n，S nn2 n(n2)，当 n1 时，也符合上式，所以 Snn2 n(nN *)Sn2n12设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a212，S n kn21(nN *)，则数列的前 n 项和为 _1Sn令 n1 得 a1S 1k1，令 n2 得 S24k1a 1a 2k 112，n2n 1解得 k4，所以 Sn4n 21， ，则1Sn 14n2 1 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)数列 的前 n 项和为 1Sn 12(1 13) 12(13 15) 12( 12n 1 12n 1) 12(1 12n 1).n2n 1三、解答题13(2
10、016全国卷 )等差数列a n中，a 3a 44，a 5a 76.(1)求a n的通项公式；(2)设 bna n，求数列b n的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90， 2.62.解 (1)设数列a n的首项为 a1，公差 为 d，由题意有Error!解得Error!所以a n的通 项公式为 an .2n 35(2)由(1)知， bn .2n 35 当 n1,2,3 时，1 2， bn1；2n 35当 n4,5 时，2 3， bn2；2n 35当 n6,7,8 时，3 4， bn3；2n 35当 n9,10 时，4 5， bn4.2n 35所以数列 bn的前 10 项和
11、为 132233 4224.14已知等差数列a n的公差 d0，它的前 n 项和为 Sn，若 S570，且a2，a 7，a 22 成等比数列，(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列 的前 n 项和为 Tn，求证： T n .1Sn 16 38解 (1)由已知及等差数列的性质得 S55a 3，a 314，又 a2，a7, a22 成等比数列，所以 a a 2a22.27所以(a 16d) 2(a 1d)( a121d)且 d0，解得 a1 d，a 16，d4.32故数列 an的通 项公式为 an4n2，nN *.(2)由(1)得 Sn 2n 24n， ，na1 an2 1Sn 12n2 4n 14(1n 1n 2)T n14(1 13 12 14 1n 1n 2) .38 14( 1n 1 1n 2)又 TnT 1 ，38 14(12 13) 16所以 T n .16 38
