1、矩形、菱形、正方形 课前热身1.如图，将矩形 ABCD沿 BE折叠，若CBA=30则BEA=_AB CDEA2如图，菱形 ABCD的边长为 10cm，DEAB， 3sin5A，则这个菱形的面积= cm23如图 1，由“基本图案”正方形 ABCO绕 O点顺时针旋转 90后的图形是 ( )基本图案图 1 A B C D4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A矩形 B直角梯形 C菱形 D正方形5如图，四边形 ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 6 的平行四边形是是菱形（只填一个条件） 【参考答案】1.60 2.60 3.A 4. A 5.答案不唯一，如 AC=B
2、D， BAD=90o，等BAC BAC BAC BAC CABO O O OO6.对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角）考点聚焦知识点矩形 菱形 正方形大纲要求1理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法2理解几种特殊的平行四边形之间的关系3了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义来源:Z。xx。k.Com4会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题5会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题考查重点和常考题型本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，
3、但更多的是证明题，求值计算题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题备考兵法来源:初中学习网 1在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷2在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，将所求的结论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角考点链接1. 特殊的平行四边形的之间的关系一一一一 一一一一一一 一一一一90一一 一两 组 对 边 平 行两 组 对 边 平 行 一一一一一一一一一一90等 腰 梯 形两 腰
4、 相 等2. 特殊的平行四边形的判别条件要使 ABCD 成为矩形，需增加的条件是_ _ ； 要使 ABCD 成为菱形，需增加的条件是_ _ ；要使矩形 ABCD成为正方形，需增加的条件是_ _ ；要使菱形 ABCD成为正方形，需增加的条件是_ _ .3. 特殊的平行四边形的性质来源:学。科。网 Z。X。X。K边 角 对角线矩形菱形正方形 典例精析例 1（2009 年浙江杭州）如果用 4个相同的长为 3宽为 1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_【答案】14 或 16或 26 【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求
5、解。本题的不同拼法有：例 2（2009 年浙江杭州） 如图，在菱形 ABCD中，A=110，E，F 分别是边 AB和 BC的中点，EPCD 于点 P，则FPC=( )A.35 B.45 C.50 D.55来源:初中学习网【答案】 D 【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。AB CDEFO解答本题应首先延长 PF交 AB的延长线于点 G，根据题意，利用角角边可证明 BGFCPF，于是得到 PC，PF=FG，所以在 EPRt中，EF 是斜边上的中线，于是得到 FE=FG，所以 FEG，又因为 E
6、、F 分别为中点，所以 EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以 B，又因为A=110，所以 07,因此， 01872FP,解得 05P。例 3（2009 年贵州贵阳）如图，已知面积为 1的正方形 ABCD的对角线相交于点 O，过点 O任意作一条直线分别交 AD、 BC于 E、 F，则阴影部分的面积是 【答案】 或 0.25.14【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知 AOE COF,则得图中阴影部分的面积为正方形面积的 ，因为正方形的边长为 1，则其面积为 1，于是这个图14中阴影部分的面积为
7、 。解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在14一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。例 4（2009 年山东威海）如图 1，在正方形 ABCD中， EFGH， ， ， 分别为边ABCDA， ， ，上的点， HE，连接 ， ， 交点为 O（1）如图 2，连接 FG， ， ， ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论；来源:Z*xx*k.ComABCDE PFG图 1D CBAOHGFE E BAD CGFH图 2 图 3（2）将正方形 ABCD沿线段 ,EGHF剪开，再把得到的四个四边形按图 3的方式拼接成一个四边形若正方形 的边长为 3cm， 1cmAEBFCGD，则图
8、3中阴影部分的面积为_ 2cm【分析】 （1）结合条件观察图形 2容易发现：AEHBFCGDH ，得出：四边形 EFGH是菱形；再由D 可知： 90AE，从而证得四边形 EFGH是正方形.（2）连接 EH、HG、GF、FE，由第（1）小题可知：四边形 是正方形，可得阴影部分面积是 1.【答案】 （1）四边形 EFGH是正方形证明： 四边形 ABCD是正方形，来源:初中学习网 XK90BCDA，.H，EFGHABFG E四边形 是菱形由 DHG 知 DHA90AE，四边形 FGH是正方形（2）1迎考精炼一、选择题1.（2009 年吉林长春）菱形 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452A
9、OC，则点 的坐标为（ ）A (21)， B (1)， C (21)， D (12)，2 （2009 年广西南宁）如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A 210cmB 20cC 240cmD 20c3.（2009 年湖南长沙）如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O，602AOB，则矩形的对角线 的长是（ ）A2 B4 C 3D 434 （2009 年湖北孝感）如图，正方形 ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F 分别在边 AB、CD、AD、BC 上小明认为：若 MN = EF，则
10、 MNEF；小亮认为: 若 MNEF，则 MN = EF你认为（ ） A仅小明对 B仅小亮对 C两人都对 D两人都不对 5 （2009 年黑龙江齐齐哈尔市）梯形 AB中， BC ， 1A， 4B，70C， 4，则 的长为（ ）A2 B3 C4 D56 （2009 年山西）如图（1） ，把一个长为 m、宽为 n的长方形（ mn）沿虚线剪开，拼接成图（2） ，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）ABCDODCABxyOC BAA 2mn B n C 2m D 2n二、填空题1.（2009 年广西贺州）如图，正方形 ABCD的边长为 1cm， E、 F分别是 B
11、C、 CD的中点，连接 BF、 DE，则图中阴影部分的面积是 cm22.（2009 年青海）如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可） 来源:初中学习网 XK3.（2009 年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形 ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形 ABCD可以是 4.（2009 年山东烟台）如图，将两张长为 8，宽为 2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 5 （2009 年山东日照）如图，在四边形 ABCD
12、中，已知 AB与 CD不平行， ABD ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出 AD BC且 AB CD. BCEAD Fmn nn（2）（1）A DCBO三、解答题1.（2009 年浙江嘉兴）如图，在平行四边形 ABCD中， BCAE于 E， DAF于 F， BD与 AE、 AF分别相交于 G、 H（1）求证： ABE ADF；（2）若 A，求证：四边形 ABCD是菱形2. (2009年安顺安顺)如图，在 ABC中， D是 BC边上的一点， E是 AD的中点，过 A点作BC的平行线交 CE的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF。（1） 求证： BD=CD；（2） 如果
13、 AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。A DCBGEHFB CDAO（第 5 题图）3.（2009 年湖南益阳）如图， ABC中，已知 BAC45， AD BC于 D， BD2， DC3，求 AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以 AB、 AC为对称轴，画出 ABD、 ACD的轴对称图形， D点的对称点为E、 F，延长 EB、 FC相交于 G点，证明四边形 AEGF是正方形；(2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程模型，求出 x的值.来源:初中学习网4.（2009 年吉林
14、长春）如图，在矩形 ABCD中，点 EF、 分别在边 ADC、 上，ABEDF ， 692E， ， ，求 的长来源:初中学习网 XK5.（2009 年广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120米，下底长AB CDEFB CAEGDF180米，上下底相距 80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为 x米（1）用含 x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7，花
15、坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？6.（2009 年福建龙岩）在 边 长 为 6的 菱 形 ABCD中 ， 动 点 M从 点 A 出 发 ， 沿 A B C 向 终 点C 运 动 ， 连 接 DM交 AC于点 N（1）如 图 1，当点 M在 AB边上时，连接 BN求证： AB ；若ABC = 60，AM = 4，ABN = ，求点 M到 AD的距离及 tan的值；（2）如图 2，若ABC = 90，记点 M运动所经过的路程为 x（6x12） 试问：x 为何值时，ADN 为等腰三角形C BMAND（图 1）C M
16、BNAD（图 2）【参考答案】一、选择题1.C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A二、填空题1. 232. CD 或 ，或 D，或 ，或 ABD3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可）4.17 5. DAC ADB， BAD CDA， DBC ACB， ABC DCB， OB OC， OA OD；(任选其一) 三、解答题1.（1） AE BC， AF CD， AEB AFD90 四边形 ABCD是平行四边形， ABE ADF ABE ADF （2） ABE ADF， BAG DAH AG AH， AGH AHG，从而 AGB AHD ABG ADH ADB四边形 ABCD是平行四
17、边形，四边形 ABCD是菱形 2.（1） FC ， AFEDC E是 A的中点， (3)DFAC， B DC 来源:初中学习网 XK（2）四边形 是矩形 B， 是 的中点 A ， 90ABAFBD， C 四边形 AFBD是平行四边形又 90 四边形 是矩形来源:初中学习网 3.(1)证明：由题意可得： ABDABE， ACD ACF . DAB EAB ， DAC FAC ，又 BAC45， EAF90.又 AD BC E ADB90 F ADC90.又 AE AD， AF AD AE AF.四边形 AEGF是正方形.(2)解：设 AD x，则 AE EG GF x. BD2， DC3 BE2
18、 ， CF3 BG x2， CG x3.在 Rt BGC中， BG2 CG2 BC2( x2) 2( x3) 25 2.化简得， x25 x60解得 x16， x21（舍）所以 AD x6.4.解：四边形 ABCD是矩形，AB=6A=D=90，DC=AB=6又AE=9在 RtABE 中，由勾股定理得：BE= 176922ABE ABEDF ， ，即 1726EF= 3175解：（1）横向甬道的面积为： 21208150mx（2）依题意： 2805x整理得： 7125x，（不符合题意，舍去）甬道的宽为 5米（3）设建设花坛的总费用为 y万元21208. 16055.7yxx 2.4.54x当 0
19、6.25.ba时， y的值最小因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米，6x当米时，总费用最少最少费用为： 20.4.540238.万元6.（1）证明：四边形 ABCD是菱形AB = AD，1 =2又AN = ANABN ADN 解：作 MHDA 交 DA的延长线于点 H，由 ADBC，得MAH =ABC = 60，在 RtAMH 中，MH = AMsin60 = 4sin60 = 2 3， 来源:初中学习网 XK点 M到 AD的距离为 2 3易求 AH=2，则 DH=62=8在 RtDMH 中，tanMDH= 48DHM，由知，MDH=ABN= 故 tan = 43 （2）解：ABC=90，菱形 ABCD是正方形此时，CAD=45C BMAND H12C M BNAD 1234下面分三种情形：）若 ND=NA，则ADN=NAD=45此时，点 M恰好与点 B重合，得 x=6；）若 DN=DA，则DNA=DAN=45此时，点 M恰好与点 C重合，得 x=12；）若 AN=AD=6，则1=2，由 ADBC，得1=4，又2=3，3=4，从而 CM=CN，易求 AC=6 2，CM=CN=ACAN=6 26，故 x = 12CM=12（6 6）=186 综上所述：当 x = 6或 12 或 186 2时，ADN 是等腰三角形学!优中 考 ，网
