23个典型的数列专题.doc

1、23 个 典 型 的 数 列 专 题 解 答1、 等 差 数 列 中 ， 前 三 项 依 次 为 ， 求 ：nax1,65105?a解 ： 由 等 差 数 列 中 项 公 式 得 ： ， 则 ： .2x2首 项 为 ： ， 公 差 为 ： ；13x1dx则 数 列 通 项 为 ： . 故 ： .1 3()312nna0531592na由 等 差 数 列 公 式 就 可 以 通 解 .2、 前 100 个 自 然 数 （ 1 到 100） 中 ， 除 以 7 余 2 的 所 有 数 之 和 S 是 ？解 ： 这 些 数 构 成 的 数 列 为 ： ；()5nan在 100 之 内 ， n 的 最

2、 大 数 m 为 ： ， 即 ;1m这 些 数 之 和 S 为 ：15(1)(7) 7652k余 数 是 常 数 的 问 题 要 转 化 为 等 差 数 列 问 题 .3、 在 等 差 数 列 中 ， 前 n 项 和 为 . 若 ， ， ，nanS10a16S170则 最 大 时 ，nS?解 ： 等 差 数 列 通 项 为 ： ， 求 和 公 式 为 ： ；1()nad1()2nad则 ： ， 即 ： ， ， 即 ： ；16502ad1502170d80， 即 ： ， 即 ： .故 最 大 时 ， .7S89nS通 项 公 式 和 求 和 公 式 都 要 很 熟 啊 .4、 数 列 的 通 项

3、 公 式 ， 若 它 的 前 n 项 和 为 ， 求 ： na1nan9nS?n解 ： 通 项 ： ；1n 则 ： ， 于 是 ：119nkSkn9n相 当 于 裂 项 法 .5、 等 差 数 列 ， 其 公 差 不 为 0， 其 中 ， 、 、 依 次 构 成 等 比 数 列 ， 求 公 比na2a36?q解 ： 等 差 数 列 通 项 ： ， 则 ： ， ，1()nd32d624ad构 成 等 比 数 列 ， 则 ： ， 即 ： ；236a()()a即 ： .因 为 ， 故 ： ；224ad02所 以 ： .3223qa由 比 例 中 项 直 接 列 式 ， 导 出 与 的 关 系 . d

4、2a6、 已 知 等 差 数 列 的 前 n 项 和 ， 且 , . 设 ，nanS113S14nanb求 证 ： 是 等 比 数 列 ， 并 求 其 前 n 项 和 .nbnT证 明 ： 通 项 ： ， 求 和 公 式 ： ；1()ad1()2Sad则 ： ， 即 ： ， 故 ： .1032S153d5于 是 ： ； 则 ： ，(1)5nna254nnb2(1)314nb则 ： ，2()3255144nnb故 是 首 项 为 ， 公 比 为 ,n12514nbq的 等 比 数 列 ， 通 项 为 ： .2354n其 求 和 公 式 ：251 451134nnn nqTb7、 若 ， 且 两

5、个 数 列 ： 和 均 为 等 差 数 列 ， 求 ：xy12,xay123,xby13?axyb解 ： 设 两 个 等 差 数 列 的 公 差 分 别 为 ： 和 ，1d2则 : , .113yxaxd324yxbd故 ： 13()4ybx利 用 等 差 数 列 的 等 差 性 质 来 求 本 题 .8、 已 知 正 项 数 列 的 前 n 项 和 满 足 ： ， 且 、 、 成 等 比 数nanS21056nna1a315列 ， 求 数 列 的 通 项 ?解 ： 由 已 知 ： 2+1+1056nnSa由 - ： 211()()nnna移 项 合 并 ： ， 即 ：5011()(5)0nn

6、aa由 于 正 项 数 列 ， 所 以 ： ， 即 ： ；1()na150nn由 此 得 到 是 公 差 为 5 的 等 差 数 列 . 设 ： ， 则 ： ， ；1()n310a157a由 、 、 成 等 比 数 列 得 ： ， 即 ： ；a352 211(0)(70)a即 ： ， 故 ： . 所 以 ：2211071 53nn本 题 由 等 式 条 件 得 出 公 差 是 5， 由 等 比 条 件 确 定 首 项 . 9、 已 知 数 列 的 前 n 项 和 ,试 求 数 列 的 前 n 项 和na(1)23nSn1na?nT解 ： 由 已 知 ： 1()2=4=()2(1)366nS及

7、： 和 ：216k12nk得 到 上 面 求 和 公 式 可 分 成 两 部 分 ， 一 个 求 和 ， 一 个 求 和 .nana故 ： . 那 么 ： ；2(1)nan1()n所 以 ： . 11()nk nT要 熟 悉 一 些 基 本 的 求 和 公 式 ， 还 有 裂 项 求 和 方 法 . 10、 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 其 首 项 ， 且 满 足 ， 求 通 项nanS1a3(2)nnSa?n解 ： 由 已 知 ： 3(2)nnS11a由 ： ；1()()nnn移 项 合 并 ： ， 即 ： 1na由 此 递 推 得 ：121 2()()nnn kka aa 将

8、 递 推 进 行 到 底 ！11、 如 果 数 列 中 ,相 邻 两 项 和 是 二 次 方 程 (n=1,2,3)的 两 个nana1230nxc根 ,当 时 ,试 求1210?c解 ： 由 韦 达 定 理 ： 3n1nnac由 式 可 得 ： ， 即 ： 121()()3naa23 式 表 明 ： 和 都 是 公 差 为 -3 的 等 差 数 列 .351,.,k462,.,k又 因 ， 代 入 式 可 得 ： ， 于 是 得 到 等 差 数 列 为 ：1225；()3kakk.2 3那 么 ： ，1025012105148a代 入 式 得 ： 1()(48)296ca本 题 由 韦 达

9、定 理 得 出 为 等 差 数 列 ， 算 出 首 项 得 到 ， 再 计 算 出 .nananc12、 有 两 个 无 穷 的 等 比 数 列 和 ,其 公 比 的 绝 对 值 都 小 于 1,其 各 项 和 分 别 是nb和 ,对 一 切 自 然 数 都 有 ： ， 求 这 两 个 数 列 的 首 项 和 公1nkSa12nkT 2nab比 .解 ： 由 和 得 ： ， 及 . 数 列 的 首 项1q1br1aq12()r设 这 两 个 等 比 数 列 的 通 项 公 式 分 别 为 ：11()nna12nbrr将 两 式 代 入 ， 并 采 用 赋 值 法 ， 分 别 令 和 得 ：2n

10、ab1n2， 即 ： 21a()(1)qr， 即 ： 2b2由 得 ： r将 式 代 入 式 得 ： 22(1)()q因 为 ： ， 则 上 式 化 简 为 ： ， 即 ：q1q13将 代 入 式 得 ： 这 是 这 两 个 数 列 的 公 比 .139r将 和 分 别 代 入 式 和 式 得 ：9r；11144()4333nnnnnaq11862()9nnnbr本 题 采 用 赋 值 法 求 解 .13、 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 ， ， 当 时 ， 满 足 ： ； 求 证 ：nanS12an120nnaS数 列 为 等 差 数 列 ； 并 求 的 通 项 公 式nSn?nS解

11、 ： 由 得 ： ， 即 ： ，120nnaS1120nnSS120nS则 ： ， .1n1a上 式 表 明 ： 是 一 个 首 项 为 2， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . nS则 ： ， 即 ： ， ；12(1)n1nS1()n于 是 ： 故 ：12(1)2()nnaSn 1()2(2)nan注 意 求 和 化 通 项 的 方 法 .14、 已 知 等 比 数 列 的 首 项 ， 且 满 足 ： .na12101032102()SS（ 1） 求 的 通 项 ； （ 2） 求 的 前 n 项 和 .nSnT解 ： 将 、 、 代 入 上 面 等 式 得 ：30301qSa021qSa

12、101qa10002()()()化 简 得 ： 12110qq即 ： 000()()()整 理 得 ： ， 即 ：1212则 ： 或1nnaq 111()22nnnaq注 意 求 和 化 通 项 的 方 法 .第 14 题 第 (2)问 解 答 ：(2)A.对 于 等 比 数 列 ： ， 其 求 和 公 式 为 ： 12an12nS故 ： 1()2211nnkTkSk1 ()2k2 231.n nkR则 ： 2314.1n nk由 - 得 ： 231()()().()2n nnR311.n22()21nnn综 合 1和 2得 ： (1)21nkTk(2)B.对 于 等 比 数 列 ： ()2n

13、a其 求 和 公 式 为 ： 111()()3322() nnS 故 ： ()11k knkTk 1 ()36k2 231() .(1)3221k nnU则 ： 121.()3nn 由 + 得 ： 1213()().()(22nnn nU 211.()()32nn 21.()()3nn(1)()332nn2()1()92nn故 ： (1)nnnU于 是 ： (1)2()()1363221 nk nkT15、 若 等 差 数 列 的 第 m 项 等 于 k， 第 k 项 等 于 m(其 中 )， 求 数 列 的2lognx knx前 项 的 和 。mk解 ： 等 差 数 列 通 项 为 ： ；2

14、21l=log+(n-)dnx则 ： 21log()mx2lkxk由 两 式 相 减 得 ： ， 故 ： .()d1首 项 为 ： ，21log=xk通 项 为 ： ；2ln2l1()nmnkn则 的 通 项 为 ：xkx前 项 求 和 ：mk1122mkmkkmkk kS 求 公 差 和 求 首 项 是 求 通 项 的 关 键 .16、 如 果 数 列 中 , ， ， 求 通 项na1561132nna?na解 ： 整 式 递 推 数 列 用 待 定 系 数 法 .令 ： ， 则 ：11()()23nnnn 111()()32362nnnnnaa与 比 较 得 ：11 13232nnnnaa

15、3令 ： ， 则 ： ，11()nb3()2nnb11532()26ba于 是 ： ， 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 ；3nn13q其 通 项 为 ： 2()3nb故 ： 的 通 项 为 ：na2()nnab待 定 系 数 法 确 定 新 构 建 的 等 比 数 列 通 项 .17、 设 数 列 ， ， 且 当 时 满 足 ： ， 求 通 项 n142132na?na解 ： 整 式 递 推 数 列 用 待 定 系 数 法 .令 ： ，13()nnacac则 ： 1 132nac 与 比 较 得 ： ， .2n c令 ： ， 则 ： ，1nbac1nb16ba故 ： 是 首

16、 项 为 ， 公 比 为 3 的 等 比 数 列 .n16b132nnq于 是 ： na待 定 系 数 法 是 如 何 构 造 等 比 数 列 的 ？18、 设 数 列 ， ， ， 且 满 足 ： ， ， 求 通 项n12a213nnaa*()N?na解 ： 本 题 是 二 阶 递 推 数 列 ， 且 看 如 何 解 ：待 定 系 数 法 ： 令 ： 211()nn则 ： 21nn naaa与 比 较 系 数 得 ：213nn 32若 将 、 看 成 是 一 元 二 次 方 程 的 两 个 根 ， 则 又 韦 达 定 理 得 到 这 个 方 程 为 ：， 而 这 正 是 采 用 特 征 根 法

17、 的 特 征 方 程 .20x上 述 方 程 的 解 为 ： ， 或 ： ， 这 两 组 解 推 出 的 数 列 通 项 的 结 果1,22,1是 一 样 的 . 取令 ： ， 则 ，1nnba121nnba21ba于 是 ： ， 则 是 首 项 为 1， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 其 通 项 为 ：2nn， 故 ： ， 即 ：1nbq 12nnab11nna再 用 待 定 系 数 法 ， 令 ： 1()nrpr则 ： 1124nnnnnapr 与 比 较 得 ： ，112r令 ： ， 则 ： 12nnnncra 1120nca由 于 ， 于 是 ：1p111.0nnc即 ： ，

18、 故 ： .20na现 在 用 特 征 根 法 求 解 ：特 征 方 程 ： ， 其 两 个 根 为 ： ，23x1x2代 入 特 征 根 法 的 二 异 根 解 得 ： 2nnacc用 ， 代 入 上 式 ， 以 确 定 、1a2 1则 ： ， ， 解 得 ： ，1c 22c21c0故 ： 121nnx对 于 二 阶 递 推 数 列 ， 采 用 特 征 根 法 比 较 简 洁 .19、 已 知 正 项 数 列 ， ， 且 满 足 ： ， 求 通 项na11(4)2nnaa?na解 ： ， 则 ：21(4)()2nna2令 ： ， 则 ： ， ，1bnb1b1b代 入 上 式 得 ： 2n于

19、是 ： ；221b；2323 1；6724312b；1415254； 112221nnnnb故 ：12nna这 是 递 推 数 列 的 递 推 法 . 另 ： 也 可 取 对 数 再 做20、 已 知 数 列 中 ， ， 且 满 足 ： ， ， 求 通 项na121246nna*()N?na解：将 化简为： 1246nn160nna用不动点法解不动点方程： ；24x即： ，方程的根为二重根： ；210x12x那么，二重根的不动点解为：（ 为待定常数） 12nncax通分化简得： ；121nnnaxxcax即： ； 112nnnn即： 1144240nnncaaca将式与式对比得： . 令： ，

20、则： ，112nnbx21nnbxa125ba代入式得： 1nb即： 是一个首项为 、公差为 1 的等差数列. 故： .n25253(1)nnb代入： ，即：1na51053326nabn不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之 .21、 已 知 数 列 中 ， ， 且 满 足 ： ， 求 通 项na13142na?na解 ： 将 化简为： 142n10nna用不动点法解不动点方程： ；42x即： ，方程的根为二异根： ， ；2-30x12x设 二 异 根 解 式 满 足 ： ， 即 ： 122nnax12nna化 简 ： ；11 0nnn 即 ： 120naa 比 较 两 式 得 ： 3令

21、： ， 则 ： ，112nnxba12nab12ab代 入 式 得 ： 13nnb于 是 ： 是 首 项 为 、 公 比 为 的 等 比 数 列 ，b32即 ： . 代 入 得 ：1232nn1nab123nnb不 动 点 法 根 为 二 异 根 时 ， 可 构 造 等 比 数 列 求 之 .22、 已 知 数 列 中 ， ， 且 满 足 ： ， 求 通 项na15123na?na解 ： 将 化简为： 13n10nna用不动点法解不动点方程： ；23x即 ： ， 方 程 的 二 异 根 为 ： ，230x123x设 二 异 根 解 式 满 足 ： ， 即 ： 122nnax1nna化 简 ：

22、11330nnna比 较 两 式 得 : 令 ： ， 则 ： ，13nbnab13ab代 入 式 得 ： 1nn于 是 ： 是 首 项 为 、 公 比 的 等 比 数 列 .bb3故 ： 1133nnn代 入 ， 即 ： 得 ： 或 nabnab13nna113nna不 动 点 法 为 二 异 根 时 ， 可 构 造 等 比 数 列 求 之 .23、 已 知 数 列 中 ， ， 且 满 足 ： ， ， 求 通 项na1421()nna2nab?nb解 ： 由 得 ： 或2nnb2nnban代 入 得 ：21()nna22 21411nnn nnbb b即 ： 21nb则 ： 141a221b4

23、2382431b16254 11221nnnb递 推 下 去 找 规 律 .吧中的数列题吧题 1、设数列 中的每一项都不为 0，证明 为等差数列的充要条件是对任何nana，都有： .*nN1231.n证明：若 为等差数列，则设：n()d当 时，有： ，于是0d.a成立.1231.nn当 时， ，于是0d1kkkada111nnkkka1231.kaad 1nadna1nd故，充分条件成立.若 ，则当 时，满足上1231.nnaa121.na式，此时 是公差为 0 的等差数列.n若 ，当 互不相等时，设1231nn121,.n，则上式变为：kkda11 11nkkkkkadda111nnnnkk

24、ka即： 111nnkkkkdaad于是： 112111. 0n nnk kdadda对于任何 都成立，则：*N， ， ，210d32d10nkd10nkd于是： .na即： 为等差数列. 故必要条件成立.na吧题 2：对任一正整数 ，都存在正整数 ，使得 成等差数列.a,()bc2,abc证明：设： ， ，bmcn(N则：由 成等差数列得： ，即： 2,21mn由式得： 为偶数，则 为奇数. 设： ，1nk()N代入式得： ()4k即： 2由式得： 为奇数. 设： ，m21j()代入式得： ，即：(1)jk221jk即： 2j由式，得到 4 种情况：1 都是偶数；此时， ， ，则 .,k()

25、1jj0j2 都是奇数；此时， ， ，则 .jk2jk13 为奇数， 为偶数；此时， ， ，()则： ，故： ， ，1()3jkjjj4于是： ，25m27nk则： ，ba7ca4 为偶数， 为奇数；此时， ， ，jk1j1j则： ，即： ，1j3k不符合 和()jN()综合上述 4 条：1和 2不满足 ，4不满足 ，只有 3满足要求，bc(,)jN故： ， . 证毕.5ba7c吧题 3：设数列 满足 ，其中， ， ，n21()na1a*()n求证： 12证明：设： ，则： .1na1na代入 ，即：代入 得：2()4214a124n等式两边同除以 得： . 即： . nnn代入 得： 证毕.

26、1a12吧题 4：已知数列 对任意正整数 都有： ，且 ，求该数n1nna10a列的通项 ?解：由 等号两边同时除以 得：1nna()1()na即： ，即： 1nna1na令： ，则： ，b1ab0b代入式得： 1.nn即： 是一个首项为 1、公比也是 1 的等比数列.故： ，即：nabn所以， 数列的通项是： ，是一个等差数列.a吧题 5：已知数列 对任意正整数 有： ，且 ，n12.(1)nna3a求该数列的通项 ?a解：由 得： 12.()nnS()nS由式： 111()2()23nnnSaa由-式得： 1)naS即： ()3即： 1(2)3n由式得： 32121527(1)3. .nnaan则： 2()4n