1、典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断 f(x) f(-x)是否为 0 是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例 1】 判断下列函数的奇偶性： ；yx ；42 ；3 1y【例 2】 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 4()fx5()fx1()fx21()fx【例 3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： 且 ；21()xaf(01)a ；f 2()5|fxx板块二 .函数的奇偶性与对称性【例 4】 判别下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ；（3） .31()fx()|1|fxx23()fx【例 5】 判断函数 f(x)= 的奇偶性2x1-+
2、2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例 6】 判断下列函数的奇偶性： 1()xfx ，其中 且 ， 为奇函数()2xFa0a1()Fx【例 7】 若函数 f(x)= g(x)是偶函数，且 f(x)不恒为零，判断函数 g(x)的奇偶3(x)性【例 8】 函数 与 有相同的定义域，对定义域中任何 ，有()yfx()ygx x， ，则 是（ ）()0f12()()1fxFfgA奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【例 9】 已知 ， 则
3、乘积函数 在公21()|xf2()lg1x()()Fxfgx共定义域上的奇偶性为（ ） A是奇函数而不是偶函数 B是偶函数而不是奇函数C既是奇函数又是偶函数 D既非奇函数又非偶函数【例 10】 已知函数 是奇函数； （x0 ）是偶函数，且()fx2()1)(xFf不恒为 0，判断 的奇偶性()fxf题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例 11】 函数 为奇函数，则 的取值范围是（ ） 2()|axfaA 或 B 或10 1 1 C Da0【例 12】 设 是 上的奇函数，且当 时， ，那么当()fxR,)x3()1)fx时， =_,0()f【例 13】 已知偶函数 f(x
4、)的定义域为 R，当 x0 时，f(x)= ，求 f(x)的解23-析式设 x0，则x0 【例 14】 已知函数 为 上的奇函数，且当 时 求函数()fxR0x()1)fx的解析式()fx【例 15】 已知函数 ，当 为何值时， 是奇函2()1)()2fxmxn,mn()fx数？【例 16】 已知 是偶函数， 时， ，求 时 的解析式.()fx0x2()4fxx0()fx【例 17】 已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，求()fxR0x2()fx的解析式.f【例 18】 图象关于 对称，当 时， ，求当 时()yfx1x1x 2()1fx1x的表达式f【例 19】 已知函数 是奇函数,且
5、,求21()(,)axfbcZ(1)2,)3ff的值.,abc2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数 f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和即 f(x)= F(x)+G(x) 其中 F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)f(-x)12利用这一结论，可以简捷的解决一些问题【例 20】 定义在 R 上的函数 f(x)= ，可表示成一个偶函数 g(x)和一个奇函数2x1h(x)之和,求 g(x)，h(x)【例 21】 已知 是奇函数， 是偶函数并且 ，则求 与()fx()gx()1fxg()fx的表达式()g【例 22】 已知 是奇函数， 是偶函数，且
6、，求 、()fx()gx1()fxg()fx()g3.利用函数奇偶性求函数值【例 23】 已知 f（x） 求 f(2).,.10)(832 fbxa且【例 24】 已知 （ 、 、 为实数） ，且23()ln(1)4fxabxcxabc则 的值是（ ） 3(lgo105f g)fA B-3 C3 D随 、 、 而变 abc【例 25】 若 是定义在 上的奇函数，则 =_；()fxR(0)f若 是定义在 上的奇函数， ，且对一切实数 都有3)2fx，则 =_；(4)(ff(25)f设函数 且 ）对任意非零实数 满足yx0x12,，则函数 是_（指明函数的奇偶性）1212()()fxff ()yf
7、x【例 26】 已知函数 若 、 、 且 ， ，3()fxx12x3R120x230x则 （ ） 310x123()ffA大于零 B小于零 C等于零 D大于零或小于零【例 27】 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 与 满32|()|xxfMmM足（ ） A B2Mm 4C D 【例 28】 函数 在 上有定义，且满足 是偶函数； ；()fxR()fx(0)25f是奇函数；求 的值()1g(205)f题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例 29】 已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在()fx(0,)()fx上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结(
8、,0)论【例 30】 已设函数 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 上是减函数，实()fx (,0)数 a 满足不等式 ，求实数 a 的取值范围.223)(3)fafa【例 31】 已知 为 上的奇函数，且在 上是增函数()yfx)， (0)，求证： 在 上也是增函数；0，若 ，解不等式 ，1()2f 41(log)fx【例 32】 已知函数 ，当 时恒有 ()fx,Ry()()fxyfy求证：函数 是奇函数；若 ，试用 表示 (3)fa(24)f如果 时 ，且 Rx()0fx10.5试判断 的单调性，并求它在区间 上的最大值与最小值()f ,6【例 33】 设函数 （ 且 对任意非零实数 ，
9、恒有()yfx0)x12,x，1212()fx求证： ；()f求证： 是偶函数；yx已知 为 ， 上的增函数，求适合 的 的取值()f0)1()02fxx范围【例 34】 知 都是奇函数， 的解集是 ， 的解集是(),fxg()0fx2(,)ab(0gx， ，那么求 的解集2,ab2a()fg2.函数对称性【例 35】 设函数 对于一切实数 都有 ，如果方程 有()fxx(2)()fxf()0fx且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_【例 36】 当实数 k 取何值时，方程组 有惟一实数解.1,|)(24yxk【例 37】 设 a 是正数，而 是|2|),(,1|),(2 ayxyByxAXOY 平面内的点集，则 的一个充分必要条件是 （1986 年上海中B5a学生竞赛题）.【例 38】 试证 是整数.19)()1(1900上例可推广为：设 m、 n 为自然数，证明 是整数.mnn)1()(
