1、以拐点偏移为背景的函数导数试题命制兼谈试题处理策略厦门大学附属实验中学 363123 田富德 陈小燕文1对极值点偏移问题提出了巧妙的处理策略，轻松解决了一类高考题、省市质检题的压轴题，体现了教学中注重通性通法的解题策略，是文1的一大亮点.笔者将分析法解题思想渗透于本文的自编试题之中.受到文1的启发，极值点偏移问题的处理策略基于轴对称思想进行构造差函数，进而逆用单调性解题.那么我们是否可以基于中心对称思想进行构造差函数处理新的一类试题呢？本文尝试以拐点偏移函数为背景命制新的一类函数导数试题，并给出相应的解题策略.若函数 在某点 处，二阶导为零，三阶导不为零时，这点即为拐点.我们熟悉的三次函()f
2、x0x数 的拐点为原点 .作直线 及 与函数 分别交于3f0()yfxh0()yfxh()yfx两点，则 的中点为 .对于三次函数1020(,),()AxhBxfhAB120,M，拐点横坐标 ，此时认为拐点居中，没有偏离中点 .同样我们可以发现对于一3f 12般的三次函数，若其在定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点（若不单调，其拐点也居中，本文仅探究单调函数）.然而很多含拐点的单调函数，由于拐点左右的“增减速度”不同，函数图象不具有中心对称的性质，常常有拐点横坐标 的情况，出现了拐点的左右偏移.本文尝试以此为120x背景的拐点偏移问题命制相关函数导数试题，并给出处理这类问题的一般策略.1.
3、1 以常见不等式“ ”为背景命制试题1xe构造函数 的导函数 ，则我们可取 .()f()1xfe21()xfe例 1 设函数 ，函数 为 的导函数.2xe()f（）求函数 的单调区间和极值；()f（）已知函数 的图象与函数 的图象关于原点对称，证明：当 时，ygx()yfx0x；()fxg（）如果 ，且 ，证明： .12x12()0fxf120x解：（） 在 上单调递减；在 上单调递增 . 为 极小值，无极()f,0(,)()f()fx大值.（）由题意 ，21()xgxfe令 ，2()()(0)xFffe， .2xe 0xFe因此， 在 上单调递增，从而有 ；()0,)()Fx因此， 在 上单
4、调递增，当 时，有 ，即 .Fx(0)()fxg（）由（）知， ，即 在上单调递增，且 .()fx()fxf因为 ，不妨设 ，于是有 ，12x12120,要证 ，即证 .0x因为 单调递增，故只需证 ，即 ，()fx212()()fxffx22()0ffx因为 ，由（）知上不等式成立，从而 成立.20点评：第（）问证 ，即要证 . 就是直线 （120x1212()yfh）与函数 交点连线段中点的横坐标，不等式右边的 0 恰是函2(0)(),()fhfhf()fx数 的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐点右偏.xe1.2 以常见不等式“ ”为背景命制试题ln1x构造函数 的导函数 ，则我们可取
5、 .()f()ln1fx21()lnfxx例 2 设函数 .2lx（）求函数 的单调区间；()f（）证明：当 ，且 时， .12x12()0fxf12x解：（）函数 的定义域为 .()f,由题意 ， .lnfx()fxx当 时, ,有 单调递增;(01)()0当 时, ,有 单调递减.xfx()fx故 在 取得极大值,有 ,从而 在 上单调递减.()f10f()fx0,)（）因为 ，不妨设 ，12x12x由 及 ，有 .()0ff()f=12,x要证 ,即证 .12x2x由（）知 在 上单调递减，故只需证 ,()f)121()()fxffx即证 ,只要证 在区间 上恒成立.10x()0Fxf2
6、()(2)ln2l),(Ff x,lnxx，21() 0()2()x因此， 在区间 上单调递增，从而 .()Fx0,1 (1F因此， 在区间 上单调递减，当 时，有 .由此得证.(0,)x)(0xF点评：第（）问证 ，即要证 . 就是直线 （12x12121)yfh）与函数 交点连线段中点的横坐标，不等式右边的 1 恰是函2(1)(),()fhfhf()fx数 的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐点左偏.lnxx1.3 以基本不等式“ ”为背景命制试题12(0)构造函数 的导函数 ，则我们可取 .()fx4(0)fxx2()ln4fxx例 3 设函数 ，函数 为 的导函数.2lnf(f（）求
7、函数 在 处的切线方程；()fx=（）证明：当 ，且 时， .1212()6fxf12()fx解：（） ， ，()4)fxk=切线方程为： .6ln0y-+=（）当 时， ，故 在区间 上单调递增.2,)x21()fx()fx2,)+因此，要证 ,只需证 ，即证 .1(f1+1x-因为 ，即 在 上单调递增，21()4(2)0fxx()fx0,)不妨设 ，注意到 ，及 ，所以 .12)3f126f12,x从而只要证 ，即 .（*）216()xx-=-()(6ff-+-令 22()ln4ln4),1)Fxf xx化简得 .2()xx于是有 ，211()2()0()(2)x xx 因此， 在区间
8、上单调递减，当 时，有 .()Fx1,)(1,)x()16Fx所以（*）式成立，即有 成立.12(fx点评：第（）问证 ，由导函数单调性，可转化为证 . 就是直) 1212x线 （ ）与函数 交点连线段中点的横坐标，不等(1)yfh21()(,()ffxhfx()fx式右边的 1 恰是函数 的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐点左偏.ln41.4 以含参不等式“ ”为背景命制试题21()0ax构造函数 的导函数 ，则我们可取 .)f 21()(0fax21()lnfxaax例 4 设函数 ，函数 为 的导函数.2(lnx()f（）设 ，求函数 的单调区间；)gxf()gx（）设 是 的图象上
9、不同的两点，且满足 ，12(,(ABff 12()0fxf线段 的中点横坐标为 ，证明： .B0x01ax解：（）依题意 ，其定义域为 .()g2ln(0,)，2()agxx当 时， ， 单调递减；0,()0()当 时， ， 单调递增.(xag（）因为 ，120 12xaxa又依题意 ，即 在定义域上单调递增，()0f()f所以要证 ，只需证 ，01x212()xfxa即 .（*）22()(ffa不妨设 ，注意到 ，结合函数单调性，所以有 ， .1x)0fa1xa2令 212()()ln()lnFfxxaax1 12ln()l(),aax22332222214(1)()() ()aaxFxxx
10、当 时， ，即 单调递减，1a0()F当 时，有 ，即从而知（*）式成立，故原不等式成立.x1()xa点评：第（）问证 ，可转化为证 . 就是直线 （012xa12x1()yfha）与函数 交点连线段中点的横坐标，不等式右边的 恰是211()(),()fhfxhfxa()f函数 的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐点左偏.ln42 命题策略本文以拐点偏移问题为背景命制一类函数导数的试题，根据拐点的定义，我们要保证函数二阶导有零点，同时还要求一阶导恒大于等于零（或小于等于零），以保证原函数具有单调性.故我们首先由熟知的不等式构造相应的导函数，进而求出原函数，再对函数上下平移或左右平移，来调整拐
11、点的位置，以控制试题的难度.弄清问题的本质，解题则势如破竹，而对原问题进行改编、新编也易如反掌.中学数学教师要有良好的解题基本功，才能更好的服务课堂教学.坚持做题，是命题的基础，对试题命题研究，可以站在解题的至高点上，得出解题的一般规律，以促进数学特长生的培养.解题与命题与数学特长生培养相长，中学数学教师应重视解题研究和命题研究.3 解题策略无论是极值点偏移问题，还是拐点偏移问题，均是已知 与 关系，证明与 有关1()fx2f12,x的不等式.其本质上是证明双变量不等式问题，而先由条件消元再构造函数是解决双变量问题的有效途径之一.在条件为双变量的函数方程时，要由条件将变量 用另一个变量 表示几
12、乎不可能，故将1x2x所证不等式逆用单调性转化为与 、 有关的不等式是一个有效策略，再结合条件代入消元，1()fx2f构造函数即可.文1对极值点偏移问题，给出了巧妙的解题策略，并归纳出规范的解题策略，给出了严格的解题步骤，给学生解题指明了方向.在高考试题创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，笔者更支持在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.笔者在本文自编例题的最后一问的解答均保留了分析法的解题规范，个人认为这样可以让解法显得更流畅一些，也更符合学生的认知规律.分析法解题，可以有效建立起问题已知与求解之间桥梁，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，也是培养学生解题思维的广阔性、逆向性等的重要途径之一.分析法解题，体现了中学数学中的转化与化归思想.4 你来试试以基本不等式“ 为背景命制试题，构造导函数213(0)xx，则我们取原函数 .21()3(0)fx21(3(0)fxx练习 1 设函数 .2)fxx（）探求函数 在区间 上零点的个数；2()gfm(0,（）证明：当 ，且 时， .12x12()f12x参考文献：1邢友宝.极值点偏移问题的处理策略.中学数学教学参考；上旬，2014（7）：19-22.
