1、2017 年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 16 题每题满分 54 分，第712 题每题满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1 （4 分）若集合 A=x|x1|2，x R，则 AZ= 2 （4 分）抛物线 y2=2x 的准线方程是 3 （4 分）若复数 z 满足 （i 为虚数单位） ，则 z= 1=124 （4 分）已知 sin（+ ）= ， （ ，0） ，则 tan= 2 13 25 （4 分）以点（2，1）为圆心，且与直线 x+y=7 相切的圆的方程是 6 （4 分）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含
2、 x4 的项的系(21)数是 7 （5 分）已知向量 （x ，y R） ， ，若 x2+y2=1，则=(， ) =(1， 2)的最大值为 |8 （5 分）已知函数 y=f（ x）是奇函数，且当 x0 时，f （x）=log 2（x +1） 若函数 y=g（x ）是 y=f（x ）的反函数，则 g（3）= 9 （5 分）在数列a n中，若对一切 nN*都有 an=3an+1，且= ，则 a1 的值为 (2+4+6+2)9210 （5 分）甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 11 （5 分）已知点 O，A，B，F 分别为椭圆 的中心、： 22+
3、22=1( 0)左顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交于点 P，若 ，则实数 的值为 =12 （5 分）已知 为常数） ， ，且当()=|2 2|( ()=22+1x1， x21，4时，总有 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13 （5 分）若 xR，则“x1”是“ ”的（ ）1 1A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件14 （5 分）关于直线
4、 l，m 及平面 ，下列命题中正确的是（ ）A若 l ， =m ，则 lm B若 l ，m，则 lmC若 l，m ，则 lm D若 l，ml，则 m15 （5 分）在直角坐标平面内，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，则满足 tanPABtanPBA=m（m 为非零常数）的点 P 的轨迹方程是（ ）A B22=1(0) 22=1C D2+2=1(0) 2+2=116 （5 分）若函数 y=f（ x）在区间 I 上是增函数，且函数 在区间 I 上是=()减函数，则称函数 f（x）是区间 I 上的“H 函数”对于命题：函数是（0，1）上的“H 函数” ；函数 是（0，1）上的()
5、=+2()=212“H 函数”下列判断正确的是（ ）A和均为真命题 B为真命题，为假命题C 为假命题，为真命题 D和均为假命题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17 （14 分）在三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是边长为 6 的正三角形，PA底面ABC，且 PB 与底面 ABC 所成的角为 6（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）若 M 是 BC 的中点，求异面直线 PM 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18 （14 分）已知双曲线 C 以 F1（ 2，0 ） 、F 2（2，0）为焦点，且过点P（
6、7 ，12） （1）求双曲线 C 与其渐近线的方程；（2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，且 （O 为坐标原点） 求直线 l 的方程19 （14 分）现有半径为 R、圆心角（AOB）为 90的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件 OECDF，如图所示其中 E，F 分别在 OA，OB 上，C，D 在 上，且 OE=OF，EC=FD，ECD=CDF=90记COD=2，五边形 OECDF 的面积为S（1）试求 S 关于 的函数关系式；（2）求 S 的最大值20 （16 分）已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域内存在实数 t，使得 f（t +2）=f（
7、t ）+f（2） （1）判断 f（x）=3x +2 是否属于集合 M，并说明理由；（2）若 属于集合 M，求实数 a 的取值范围；()=2+2（3）若 f（x）=2 x+bx2，求证：对任意实数 b，都有 f（x）M21 （18 分）已知数列a n，b n满足 bn=an+1an（ n=1，2，3，） （1）若 bn=10n，求 a16a5 的值；（2）若 且 a1=1，则数列a 2n+1中第几项最小？请说明=(1)(2+233)理由；（3）若 cn=an+2an+1（n=1，2，3 ，） ，求证：“数列a n为等差数列”的充分必要条件是“数列 cn为等差数列且 bnb n+1（n=1 ，2，
8、3，） ”2017 年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 16 题每题满分 54 分，第712 题每题满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1 （4 分）若集合 A=x|x1|2，x R，则 AZ= 0，1，2 【考点】1E：交集及其运算 菁优网版权所有【分析】化简集合 A，根据交集的定义写出 AZ 即可【解答】解：集合 A=x|x1|2，x R=x|2x1 2，x R=x|1x3，x R，则 AZ=0 ，1，2故答案为0，1，2【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （4 分）抛物线 y2
9、=2x 的准线方程是 =12【考点】K8：抛物线的简单性质 菁优网版权所有【分析】先根据抛物线方程求得 p，进而根据抛物线的性质，求得答案【解答】解：抛物线 y2=2x，p=1，准线方程是 x=12故答案为：12【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题3 （4 分）若复数 z 满足 （i 为虚数单位） ，则 z= 1+2i 1=12【考点】A5：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 ，1=12得 z=1+2i故答案为：1+2i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题4 （4 分）已知 sin（+ ）= ， （ ，0） ，
10、则 tan= 2 2 13 2 2【考点】GO：运用诱导公式化简求值； GG：同角三角函数间的基本关系 菁优网版权所有【分析】由 （ ，0 ）sin（+ ）= ，利用诱导公式可求得 cos，从而可求2 2 13得 sin 与 tan【解答】解：sin（+ ）=cos，sin（+ ）= ，2 2 13cos= ，13又 （ ，0） ，2sin= ，223tan= =2 2故答案为：2 2【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题5 （4 分）以点（2，1）为圆心，且与直线 x+y=7 相切的圆的方程是 （x 2）2+（y+1） 2=18 【考点】J7：圆的切线
11、方程菁优网版权所有【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程【解答】解：将直线 x+y=7 化为 x+y7=0，圆的半径 r= =3 ，|217|2 2所以圆的方程为（x2） 2+（y+1） 2=18故答案为（x2） 2+（y+1） 2=18【点评】本题考查直线与圆相切的性质，圆的标准方程等知识的综合应用，属于基础题6 （4 分）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 x4 的项的系(21)数是 10 【考点】DC：二项式定理的应用菁优网版权所有【分析】根据题意求得 n=5，再在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求得 r 的值，可得展开式中含 x4 的项的系数【
12、解答】解：二项式 的展开式共有 6 项，故 n=5，(21)则此展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） rx103r，令 103r=4，r=2，5中含 x4 的项的系数 =10，25故答案为：10【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题7 （5 分）已知向量 （x ，y R） ， ，若 x2+y2=1，则=(， ) =(1， 2)的最大值为 +1 | 5【考点】93：向量的模菁优网版权所有【分析】利用 +r 即可得出| |【解答】解：设 O（0，0） ，P（1，2） = +r= +1= +1| (1)2+(2)2 | 12
13、+22 5 的最大值为 +1| 5故答案为： 5+1【点评】本题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8 （5 分）已知函数 y=f（ x）是奇函数，且当 x0 时，f （x）=log 2（x +1） 若函数 y=g（x ）是 y=f（x ）的反函数，则 g（3）= 7 【考点】4R：反函数菁优网版权所有【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解【解答】解：反函数与原函数具有相同的奇偶性g （3）=g （3） ，反函数的定义域是原函数的值域，log 2（x+1） =3，解得：x=7，即 g（ 3）=7，故得 g（3）=
14、7故答案为：7【点评】本题考查了反函数与原函数的性质关系属于基础题9 （5 分）在数列a n中，若对一切 nN*都有 an=3an+1，且= ，则 a1 的值为 12 (2+4+6+2)92【考点】8J：数列的极限菁优网版权所有【分析】由题意可得数列a n为公比为 的等比数列，运用数列极限的运算，解13方程即可得到所求【解答】解：在数列a n中，若对一切 nN*都有 an=3an+1，可得数列a n为公比为 的等比数列，13= ，(2+4+6+2)92可得 = = = = ，2(12)12 21211213111992可得 a1=12故答案为：12【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式，以及
15、数列极限的运算，属于中档题10 （5 分）甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 200 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同，其包含两种情况：甲乙所选的课程全不相同，甲乙所选的课程有 1 门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：甲乙所选的课程全不相同，有 C63C33=20 种情况，甲乙所选的课程有 1 门相同，有 C61C52C32=180 种情况，则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 180+20=200 种情
16、况；故答案为：200【点评】本题考查排列组合的运用，涉及分类计数问题，注意“甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法”的理解11 （5 分）已知点 O，A，B，F 分别为椭圆 的中心、： 22+22=1( 0)左顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交于点 P，若 ，则实数 的值为 = 2【考点】KL：直线与椭圆的位置关系 菁优网版权所有【分析】由题意画出图形，求出 的坐标，代入 ，结合隐含条、 =件求得实数 的值【解答】解：如图，A（ a， 0） ，B （0 ，b） ，F（c，0） ，则 P（ c， ） ，2 ， ，=(， ) =(， 2)由 ，得
17、 ，即 b=c，= =2a 2=b2+c2=2b2， =2则 =2故答案为： 2【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题12 （5 分）已知 为常数） ， ，且当()=|2 2|( ()=22+1x1， x21，4时，总有 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是 (， 16【考点】3R：函数恒成立问题 菁优网版权所有【分析】依题意可知，当 x1，x 21，4时，f（x 1） maxg （x 2） min，利用对勾函数的单调性质可求 g（ x2） min=g（1）=3 ；再对 f（x）=2ax 2+2x 中的
18、二次项系数 a 分 a=0、a0、a0 三类讨论，利用函数的单调性质可求得 f（x）在区间1，4 上的最大值，解 f（ x） max3 即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：依题意知，当 x1，x 21，4时，f（x 1） maxg （x 2） min，由“对勾函数单调性知， =2x+ =2（x+ ）在区间1，4上单调递()=22+1 1 12增，g （x 2） min=g（1）=3； =2ax2+2x，()=|2 2|当 a=0 时，f （x）=2x 在区间1，4上单调递增，f（x ） max=f（4）=83 不成立，故 a0；f（ x）=2ax 2+2x 为二次函数，其对称轴方程为：x=
19、 ，12当 a0 时，f （x ）在区间1，4上单调递增，f（x） max=f（4）=83 不成立，故 a0 不成立；当 a0 时，1若 1，即 a 时，f（x ）在区间1，4上单调递减，12 12f（x） max=f（ 1）=2a+23 恒成立，即 a 时满足题意；122若 1 4，即 a 时，f（x） max=f（ ）= 3，解得： a ；12 12 18 1212 12 163若 4，即 a0 时，f（x ）在区间1，4上单调递增，12 18f（x） max=f（ 4）=32a+83，解得 a （ ，0） ，故不成立，53218综合 123知，实数 a 的取值范围是：（ ， 16故答案为
20、： (， 16【点评】本题考查函数恒成立问题，由题意分析出当 x1，x 21，4时，f （x 1）maxg （x 2） min 是关键，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算能力，属于难题二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13 （5 分）若 xR，则“x1”是“ ”的（ ）1 1A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由
21、x1，一定能得到 得到 1，1但当 1 时，不能推出 x1 （如 x=1 时） ，1故 x1 是 1 的充分不必要条件，1故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法14 （5 分）关于直线 l，m 及平面 ，下列命题中正确的是（ ）A若 l ， =m ，则 lm B若 l ，m，则 lmC若 l，m ，则 lm D若 l，ml，则 m【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系；LP ：空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【分析】在 A 中，l 与 m 平行或异面；在 B 中，l 与 m 相交、平行或异面；在
22、C 中，由线面垂直的性质定理得 lm ；在 D 中，m 与 相交、平行或 m【解答】解：由直线 l，m 及平面 ，知：在 A 中，若 l， =m，则 l 与 m 平行或异面，故 A 错误；在 B 中，若 l，m ，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，若 l，m ，则由线面垂直的性质定理得 lm ，故 C 正确；在 D 中，若 l，ml ，则 m 与 相交、平行或 m，故 D 错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用15 （5 分）在直角坐标平面内，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （1，
23、0） ，则满足 tanPABtanPBA=m（m 为非零常数）的点 P 的轨迹方程是（ ）A B22=1(0) 22=1C D2+2=1(0) 2+2=1【考点】J3：轨迹方程菁优网版权所有【分析】设 P（x ，y） ，则由题意， （m0） ，化简可得结+1( 1)=论【解答】解：设 P（x ，y） ，则由题意， （m0） ，+1( 1)=化简可得 ，2+2=1(0)故选 C【点评】本题考查直接法求轨迹方程，考查斜率公式的运用，属于中档题16 （5 分）若函数 y=f（ x）在区间 I 上是增函数，且函数 在区间 I 上是=()减函数，则称函数 f（x）是区间 I 上的“H 函数”对于命题：函
24、数是（0，1）上的“H 函数” ；函数 是（0，1）上的()=+2()=212“H 函数”下列判断正确的是（ ）A和均为真命题 B为真命题，为假命题C 为假命题，为真命题 D和均为假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用 菁优网版权所有【分析】对函数 ，G（x）= 在（0，1）上的单()=+2+2 =21调性进行判断，得命题是真命题对函数 = ，H（x ）=()=21221在（0，1）上单调性进行判断，得命题是假命题()= 112【解答】解：对于命题：令 t= ，函数 =t2+2t，t= 在 ()=+2 （0，1）上是增函数，函数 y=t2+2t 在（0，1）上是增函数，在（0，1）上是增函数
25、；G（x）= 在（0，1）上是减函数，+2 =21函数 是（ 0，1）上的“H 函数“ ，故命题是真命题()=+2对于命题，函数 = 是（0，1）上的增函数，H（x ）=()=21221是（0，1）上的增函数，故命题是假命题；()= 112故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数的单调性，属于中档题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17 （14 分）在三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是边长为 6 的正三角形，PA底面ABC，且 PB 与底面 ABC 所成的角为 6（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）
26、若 M 是 BC 的中点，求异面直线 PM 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积； LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【分析】 （1）在 RtPAB 中计算 PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱 AC 的中点 N，连接 MN，NP，分别求出PMN 的三边长，利用余弦定理计算 cosPMN 即可【解答】解：（1）PA平面 ABC，PBA 为 PB 与平面 ABC 所成的角，即 ，=6PA 平面 ABC，PAAB ，又 AB=6， ，=23 =13=13 346223=18（2）取棱 AC 的中点 N，连接 MN，NP，M， N 分别是
27、棱 BC，AC 的中点，MNBA， PMN 为异面直线 PM 与 AB 所成的角 PA 平面 ABC，所以 PAAM，PAAN，又 ，AN= AC=3，BM= BC=3，=12=3 12 12AM= =3 ， ， ，22 3 =2+2=21=2+2=39所以 ，=2+222=33926故异面直线 PM 与 AB 所成的角为 33926【点评】本题考查了棱锥的体积计算，空间角的计算，属于中档题18 （14 分）已知双曲线 C 以 F1（ 2，0 ） 、F 2（2，0）为焦点，且过点P（7 ，12） （1）求双曲线 C 与其渐近线的方程；（2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A，B
28、 两点，且 （O 为坐标原点） 求直线 l 的方程【考点】KM：直线与双曲线的位置关系；KB：双曲线的标准方程 菁优网版权所有【分析】 （1）设出双曲线 C 方程，利用已知条件求出 c，a ，解得 b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线 l 的方程为 y=x+t，将其代入方程 ，通过0，求出 t223=1的范围，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用韦达定理，通过 x1x2+y1y2=0，求解 t即可得到直线方程【解答】解：（1）设双曲线 C 的方程为 ，半焦距为2222=1( 0， 0)c，则 c=2， ，a=1 ，（2 分）2=|1|2|=| 92+12252
29、+122|=2所以 b2=c2a2=3，故双曲线 C 的方程为 （4 分）223=1双曲线 C 的渐近线方程为 （6 分）=3（2）设直线 l 的方程为 y=x+t，将其代入方程 ，223=1可得 2x22txt23=0（*） （8 分）=4t 2+8（t 2+3）=12t 2+240 ，若设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，则 x1，x 2 是方程（* ）的两个根，所以 ，1+2=， 12=2+32又由 ，可知 x1x2+y1y2=0，（11 分）即 x1x2+（x 1+t） （x 2+t）=0，可得 ，212+(1+2)+2=0故（t 2+3）+t 2+t2=0，解得 ，
30、=3所以直线 l 方程为 （14 分）=3【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力19 （14 分）现有半径为 R、圆心角（AOB）为 90的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件 OECDF，如图所示其中 E，F 分别在 OA，OB 上，C，D 在 上，且 OE=OF，EC=FD，ECD=CDF=90记COD=2，五边形 OECDF 的面积为S（1）试求 S 关于 的函数关系式；（2）求 S 的最大值【考点】5D：函数模型的选择与应用菁优网版权所有【分析】 （1）设 M 是 CD 中点，连 OM，推出COM=DOM= ，MD=Rsi
31、n ，利用CEO DFO ，转化求解12=DFO= ，在DFO 中，利用正弦定理 ，求解 S=S34 = COD+SODF+SOCE=SCOD +2SODF 的解析式即可（2）利用 S 的解析式，通过三角函数的最值求解即可【解答】解：（1）设 M 是 CD 中点，连 OM，由 OC=OD，可知 OMCD，COM=DOM=， ，MD=Rsin ，12=又 OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得CEODFO，故EOC=DOF，可知 ，（2 分）=12=4又 DFCD ，OMCD，所以 MODF ，故DFO= ，34在DFO 中，有 ，= 可得 （5 分）=(4)34 =()所以 S=SCOD +
32、SODF+SOCE=SCOD +2SODF=1222+()= （8 分）2222(0 4)（2） （10 分）=22122(12)=2(2+122)122= （其中 ） （12 分）522(2+)122 =12当 ，即 时，sin（2+ ）取最大值 12+=2 =42又 ，所以 S 的最大值为 （14 分）42(0， 4) 5122【点评】本题考查函数与方程的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力20 （16 分）已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域内存在实数 t，使得 f（t +2）=f（t ）+f（2） （1）判断 f（x）=3x +2 是否属于集
33、合 M，并说明理由；（2）若 属于集合 M，求实数 a 的取值范围；()=2+2（3）若 f（x）=2 x+bx2，求证：对任意实数 b，都有 f（x）M【考点】3P：抽象函数及其应用菁优网版权所有【分析】 （1）利用 f（x） =3x+2，通过 f（t+2）=f（t）+f （2）推出方程无解，说明 f（ x）=3x +2 不属于集合 M （2）由 属于集合 M，推()=2+2出 有实解，即（a6）x 2+4ax+6（a 2）=0 有实解， (+2)2+2=2+2+6若 a=6 时，若 a6 时，利用判断式求解即可（3）当 f（x）=2 x+bx2 时，方程 f（x +2）=f （x ）+f（
34、2）32 x+4bx4=0，令g（ x）=32 x+4bx4，则 g（x ）在 R 上的图象是连续的，当 b0 时，当 b0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数 b，都有 f（x）M【解答】解：（1）当 f（x ）=3x +2 时，方程 f（t+2）=f（t）+f （2）3t+8=3t+10（2 分）此方程无解，所以不存在实数 t，使得 f（t +2）=f（t）+f （2） ，故 f（x）=3x +2 不属于集合 M （4 分）（2）由 属于集合 M，可得()=2+2方程 有实解a（x+2） 2+2=6（x 2+2）有实解 (+2)2+2=2+2+6（a 6）x 2+4ax+6（a2） =0
35、 有实解，（7 分）若 a=6 时，上述方程有实解；若 a6 时，有=16a 224（a 6） （a2）0，解得 ，126312+63故所求 a 的取值范围是 （10 分）1263， 12+63（3）当 f（x）=2 x+bx2 时，方程 f（x +2）=f （x ）+f（2）2 x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b32x+4bx4=0， （12 分）令 g（ x）=32 x+4bx4，则 g（x ）在 R 上的图象是连续的，当 b0 时，g（0 ）= 10，g（1）=2+4b0，故 g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当 b0 时，g（0 ）= 10， ，故 g（x）在 内至少有
36、一(1)=321 0 (1， 0)个零点；故对任意的实数 b，g（x ）在 R 上都有零点，即方程 f（x+2）=f（x）+f （2）总有解，所以对任意实数 b，都有 f（x）M （16 分）【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力21 （18 分）已知数列a n，b n满足 bn=an+1an（ n=1，2，3，） （1）若 bn=10n，求 a16a5 的值；（2）若 且 a1=1，则数列a 2n+1中第几项最小？请说明=(1)(2+233)理由；（3）若 cn=an+2an+1（n=1，2，3 ，） ，求证：“数列a n为等差数列”的充分必要条
37、件是“数列 cn为等差数列且 bnb n+1（n=1 ，2，3，） ”【考点】8I：数列与函数的综合；8B ：数列的应用；8H ：数列递推式菁优网版权所有【分析】 （1）判断b n是等差数列然后化简 a16a5=（a 16a15）+（a 15a14）+（a 14a13）+（a 6a5）利用等差数列的性质求和即可（2）利用 a2n+3a2n+1=22n+12312n，判断 a2n+3a 2n+1，求出 n7.5，a 2n+3a 2n+1 求出 n7.5，带带数列a 2n+1中 a17 最小，即第 8 项最小 法二：化简 ，求出=(1)(2+233)=(2)+233(12)a2n+1=a1+b1+
38、b2+b3+b2n= ，利用基本不等式求出131233+(22+1+2332)最小值得到数列a 2n+1中的第 8 项最小（3）若数列a n为等差数列，设其公差为 d，说明数列c n为等差数列 由bn=an+1an=d（n=1，2，3， ） ，推出 bnb n+1，若数列c n为等差数列且bnb n+1（n=1，2，3， ） ，设c n的公差为 D，转化推出bn+1=bn（n=1，2 ，3， ） ，说明数列 an为等差数列得到结果【解答】解：（1）由 bn=10n，可得 bn+1bn=（9n）（10 n）=1，故b n是等差数列所以 a16a5=（a 16a15）+（a 15a14）+（a 1
39、4a13）+（a 6a5）=（4 分）15+14+13+5=11(15+5)2 =1110=0（2）a 2n+3a2n+1=（a 2n+3a2n+2）+（a 2n+2a2n+1）=b 2n+2+b2n+1=（2 2n+2+2312n）（2 2n+1+2322n）=2 2n+12312n（6 分）由a2n+3a 2n+122n+12312n0n 7.5，a 2n+3a 2n+122n+12312n0n7.5，（8 分）故有 a3a 5a 7a 15a 17a 19a 20，所以数列a 2n+1中 a17 最小，即第 8 项最小 （10 分）法二：由 ，（5 分）=(1)(2+233)=(2)+2
40、33(12)可知 a2n+1=a1+b1+b2+b3+b2n= =1+(2)1(2)23 +(232)1(12)21+12（8 分） （当且仅当131233+(22+1+2332) 131233+223422n+1=2332n，即 n=8 时取等号）所以数列a 2n+1中的第 8 项最小 （10 分）（3）若数列a n为等差数列，设其公差为 d，则 cn+1cn=（a n+1an）+2（a n+2an+1）=d +2d=3d 为常数，所以数列c n为等差数列 （12 分）由 bn=an+1an=d（n=1，2，3 ，） ，可知 bnb n+1（n=1，2，3，） （13 分）若数列c n为等差
41、数列且 bnb n+1（n=1 ，2，3，） ，设c n的公差为 D，则 cn+1cn=（a n+1an）+2（a n+2an+1）=b n+2bn+1=D（n=1，2，3，） ，（15 分）又 bn+1+2bn+2=D，故（b n+1bn）+2（b n+2bn+1）=D D=0，又 bn+1bn0，b n+2bn+1 0，故 bn+1bn=bn+2bn+1=0（n=1，2，3，） ，（17 分）所以 bn+1=bn（n=1 ，2 ，3 ， ） ，故有 bn=b1，所以 an+1an=b1 为常数故数列a n为等差数列综上可得， “数列 an为等差数列”的充分必要条件是 “数列c n为等差数列且bnb n+1（n=1，2，3， ） ” （18 分）【点评】本题考查
