1、专题 06 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）2018 年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1函数 f(x)sin(2x) 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 f(x)在 上的最小值为( )(| 2) 6 0，2A B 32 12C. D.12 32【答案】A 【解析】函数 f(x)sin(2x )向左平移 个单位得 ysin sin ，又其为奇函数，故6 2(x 6) (2x 3 ) k， Z，解得 k ，又| ，令 k0，得 ，3 3 2 3f(x)sin .(2x 3)又x ，0，22x ，sin ，3 3，23 (2x 3) 32，1当 x0 时，f(x) min ，故
2、选 A. 322已知函数 f(x)sin x cos x，且 f(x) f(x)，则 tan 2x 的值是( )12A B C. D.23 43 43 34【答案】D 【解析】因为 f(x)cos xsin x sin x cos x，所以 tan x3，所以 tan 2x ，故选12 12 2tan x1 tan2x 61 9 34D. 3已知函数 f(x)sin ，则下列结论中正确的是( )(2x 4)A函数 f(x)的最小正周期为 2B函数 f(x)的图象关于点 对称(4，0)C由函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 ysin 2x 的图象8D函数 f(x)在 上单调递增
3、 来源:Zxxk.Com(8，58)【答案】C 【解析】函数 f(x)sin 的图象向右平移 个单位长度得到函数 ysin2x sin 2x 的图象，故选(2x 4) 8 8 4C. 4函数 f(x)2sin(x ) 的部分图象如图 16 所示，则 f(0)f 的值为( )( 0，| 2) (1712)图 16A2 B23 3C1 D132 32【答案】A 5设 ，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为( )A1,1 B1， 2C ，1 D1， 2 2【答案】A 【解析】由 sin cos cos sin sin()1，0， ，得 ， 0，2
4、2 ，且 sin(2 )sin(2)sin sin()cos sin 2， ( 2) sin ， sin sin 1,1 ，故选 A. 2 ( 4) 2， 4 34，54 ( 4) 22，22 2 ( 4)6已知函数 ylog a(x1)3(a0，且 a1)的图象恒过定点 P，若角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P，则 sin2sin 2 的值为( )A. B 513 513C. D313 313【答案】D 【解析】根据已知可得点 P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得 sin ，cos ，所以313 213sin2sin 2sin 22sin cos 22
5、 . (313) 313 213 3137将函数 f(x)sin(2x) 的图象向右平移 个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)在(| 2) 12上的最小值为( )0，2A. B C D32 12 12 32【答案】D 8已知函数 f(x)asin x bcos x(a，b 为常数，a0，xR)在 x 处取得最大值，则函数 yf 是( )4 (x 4)A奇函数且它的图象关于点 (，0) 对称B偶函数且它的图象关于点 对称(32，0)C奇函数且它的图象关于点 对称(32，0)D偶函数且它的图象关于点 (，0) 对称【答案】B 【解析】由题意可知 f 0，(4)即 acos bsi
6、n 0，ab 0，4 4f(x)a(sin xcos x) asin .2 (x 4)f asin acos x.(x 4) 2 (x 2) 2易知 f 是偶函数且图象关于点 对称，故选 B. (x 4) (32，0)9已知函数 f(x)Asin(x )(A0，0,0)的部分图象如图 19 所示，且 f()1， ，则(0，3)cos ( )(2 56)图 19A B223 223C D.223 13【答案】C 【解析】由图易得 A3，函数 f(x)的最小正周期 T 4 ，解得 2，所以 f(x)2 (712 3)3sin(2x) 又因为点 在函数图象上，所以 f 3sin 3，解得(3， 3)
7、 (3) (23 )2 2k，k Z ，解得 2k，kZ.又因为 0，所以 ，则 f(x)3sin ，3 32 56 56 (2x 56)当 时，2 .又因为 f()3sin 1，所以 sin 0，所以 2 (0，3) 56 (56，32) (2 56) (2 56) 13 56，则 cos ，故选 C. (56，) (2 56) 1 sin2(2 56) 22310在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 cos B( )b3cos B asin AA B.12 12C D.32 32【答案】B 【解析】由正弦定理，得 ，即 sin B cos B，tan B .
8、又 0 ，故三角形 ABC 为钝角三角形，反之不一定成立故选 A. 216设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c. 若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b20acos A，则 sin Asin Bsin C ( )A432 B5 67C543 D654【答案】D 【解析】ABC ，abc.又a，b，c 为连续的三个正整数，设 an1，bn，cn1(n2，nN *)3b20acos A， cos A，3b20a ，3b20a b2 c2 a22bc ，3n20n 1n2 n 12 n 122nn 1即 ，3n20n 1 nn 42nn 1化简得 7n227n40 0，(
9、n5)(7n8)0，n5 .(n 87舍 )又 ，asin A bsin B csin Csin Asin Bsin Cabc654.故选 D 17在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csin A acos C，则 sin Asin B 的最3大值是( )A1 B 2C3 D. 3【答案】D 18已知在ABC 中，B2A，ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 43 的两部分，则 cos A_.【答案】 23【解析】由题意可知 SACD S BCD 43，ADDB 43，ACBC43，在ABC 中，由正弦定理得 来源:学#科#网sin B sin A，4
10、3又 B2A ，sin 2A sin A，cos A . 43 2319在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 BC ，且 7a2b 2c 24 ，则ABC 面积3的最大值为_. 【答案】 55【解析】法一：由BC 得 bc ，代入 7a2b 2c 24 ，得 7a22b 24 ，则 2b24 7a 2，由余3 3 3弦定理得 cos C ，所以 sin C ，则ABC 的面积为a2 b2 c22ab a2b 1 cos2C 4b2 a22b 83 15a22bS absin 12C ab 412 83 15a22b 14a283 15a2 141515a283 15a2
11、 141515a2 83 15a22 1415 ，当且仅当 a2 时取等号，则 ABC 的面积的最大值为 .355 8330 55法二：由BC 得 bc ，所以 7a2b 2c 24 ，即为 7a22c 24 ，则ABC 面积为 a 3 312 c2 a24 ，所以最大值为 . 141515a24c2 a2 1415832 55 5520如图 23，ABC 中，AB4，BC2，ABC D60，若ADC 是锐角三角形，则 DADC 的取值范围是_学！科网图 23【答案】(6,4 3【解析】在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB 2BC 22 ABBCcosABC12，即 AC2 .设3ACD(3
12、00，0)若 f(x)在区间 上具有单调性，且 f f6，2 (2)f ，则 f(x)的最小正周期为_(23) (6)【答案】 【解析】f(x)在 上具有单调性，6，2 ，T .T22 6 23f f ，(2) (23)f(x)的一条对称轴为 x .2 232 712又f f ，(2) (6)f(x)的一个对称中心的横坐标为 ，2 62 3 T ，T. 14 712 3 423已知 tan 2，则 sin2 sin(3)cos(2)_. (2 )【答案】35【解析】tan 2，sin 2 sin(3)cos(2 )(2 )cos 2sin cos cos2 sin cos sin2 cos21
13、 tan tan2 11 24 1 . 3524已知函数 f(x)Acos(x )(A0，0,0 )为奇函数，该函数的部分图象如图 17 所示，EFG(点 G 在图象的最高点 )是边长为 2 的等边三角形，则 f(1)_.图 17【答案】 325设函数 f(x)2cos 2xsin 2xa(aR)(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x 时，f(x )的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程0，6【解析】(1)f(x)2cos 2xsin 2xa1cos 2xsin 2x a sin 1a，2 分2 (2x 4)则 f(x)的最小正周期 T ，
14、3 分22且当 2k 2x 2k (kZ)时，f (x)单调递增，即 k xk (kZ)2 4 2 38 8所以 (kZ)为 f(x)的单调递增区间.5 分k 38，k 8(2)当 x 时 2x ，7 分0，6 4 4712当 2x ，即 x 时，sin 1.4 2 8 (2x 4)所以 f(x)max 1a2 a1 .10 分2 2由 2x k 得 x (kZ)，故 yf (x)的对称轴方程为 x ，kZ.12 分4 2 k2 8 k2 826已知函数 f(x)Asin(x )xR，A0，0,0 的部分图象如图 18 所示，P 是图象的最高点，2Q 为图象与 x 轴的交点，O 为坐标原点若
15、OQ4，OP ，PQ .5 13图 18(1)求函数 yf(x )的解析式；(2)将函数 yf(x )的图象向右平移 2 个单位后得到函数 yg(x )的图象，当 x(1,2) 时，求函数 h(x)f(x)g( x)的值域学￥科网【解析】(1)由条件知 cos POQ .2 分42 52 13224 5 55又 cos POQ ，x P1，y P2，P(1,2).3 分xP5由此可得振幅 A2，周期 T4(41) 12，又 12，则 .4 分2 6将点 P(1,2)代入 f(x)2sin ，(6x )得 sin 1.(6 )0 ， ，于是 f(x)2sin .6 分2 3 (6x 3)(2)由
16、题意可得 g(x)2sin 2sin x.7 分6x 2 3 6h(x)f(x)g(x )4sin sin x(6x 3) 62sin 2 x2 sin xcos x6 3 6 61cos x sin x12sin .9 分3 3 3 (3x 6)当 x( 1,2)时， x ，10 分3 6 ( 2，2)sin (1,1)，(3x 6)即 12sin ( 1,3)，于是函数 h(x)的值域为(1,3).12 分(3x 6)27已知函数 f(x)2 sin xcos xsin 2x cos 2x ，x R .312 12(1)求函数 f(x)在 上的最值； 4，2(2)若将函数 f(x)的图象向
17、右平移 个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，4得到 g(x)的图象已知 g() ， ，求 cos 的值65 (43，116) (2 6)(2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，4得到 g(x)2sin .7 分(x 3)由 g() 2sin ，得 sin( 3) 65 ( 3) .8 分35 ， ，43 116 3 32cos .10 分( 3) 45 ，11 分2 2 6 34cos (2 6) 1 cos( 3)2 1 452 .12 分101028在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，
18、B，C 的对边， 2b sin B(2 ac)sin A(2ca)sin C.(1)求 B 的大小；(2)若 b ，A ，求ABC 的面积34【解析】(1)2bsin B(2 ac)sin A(2ca)sin C.由正弦定理得 2b2(2ac)a (2ca)c，1 分化简得 a2c 2b 2ac 0，2 分cos B . 4 分a2 c2 b22ac ac2ac 120 .8 分3bca，即 b32b，b3，10 分由得 b 的取值范围是( ，3).12 分330已知 a，b，c 为ABC 的内角 A，B，C 的对边，满足 ，函数 f(x)sin sin B sin Csin A 2 cos
19、B cos Ccos Ax(0) 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减0，3 3，(1)证明：bc 2a；(2)若 f cos A，证明：ABC 为等边三角形(9)(2)由题意知， ，解得 ，7 分2 43 32f sin cos A，A(0，)，(9) 6 12A ，8 分3由余弦定理知，cos A ，b2 c2 a22bc 12b 2c 2a 2bc .bc 2a ，b 2c 2 2bc ，(b c2 )即 b2c 22bc0，bc .10 分又 A ，ABC 为等边三角形 .12 分331已知函数 f(x)(a2cos 2x)cos(2x)为奇函数，且 f 0，其中 aR，(0，)(4
20、)(1)求 a， 的值；(2)若 f ， ，求 sin 的值(4) 25 (2，) ( 3)解：(1)因为 f(x)( a2cos 2x)cos(2x)是奇函数，而 y1 a2cos 2x 为偶函数，所以 y2cos(2x)为奇函数，由 (0，)，得 ，所以 f(x)sin 2x(a2cos 2x)，2由 f 0 得(a1)0，即 a1.(4)(2)由(1)得 f(x) sin 4x，因为 f sin ，12 (4) 12 25即 sin ，又 ，从而 cos ，45 (2，) 35所以 sin sin cos cos sin( 3) 3 3 .4512 ( 35) 32 4 331032在A
21、BC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ac b，sin B sin C.66 6(1)求 cos A 的值；(2)求 cos 的值(2A 6)解：(1)在ABC 中，由 ，及bsin B csin Csin B sin C，可得 b c.6 6由 ac b， 得 a2c.66所以 cos A .b2 c2 a22bc 6c2 c2 4c226c2 64(2)在ABC 中 ，由 cos A ，可得 sin A .64 104于是 cos 2A2cos 2A1 ，sin 2A2sin Acos A .来源:学科网14 154所以 cos cos 2A cos sin 2As
22、in .(2A 6) 6 6 15 3833如图所示，在四边形 ABCD 中，D 2B，且 AD1, CD3，cos B .33(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 ，求 AB 的长3解：(1)因为D2B，cos B ，33所以 cos Dcos 2B 2cos 2B 1 .13因为 D(0，) ，所以 sin D .1 cos2D223因为 AD1，CD3，所以ACD 的面积 S ADCDsin D 13 .12 12 223 2(2)在ACD 中，AC 2AD 2DC 22AD DCcos D12，所以 AC2 .3因为 BC2 ， ，3ACsin B ABsin ACB所以 ，23sin B ABsin 2B ABsin 2B AB2sin Bcos B AB233sin B所以 AB4.
