1、二次函数章节知识点复习建议丹阳实验学校 王夕云作为初中阶段数学学习的主要内容，二次函数是函数内容中最重要、也是学生掌握、灵活运用最困难的部分，其概念、性质、图像与其他数学知识有着广泛的联系，在实际生活和生产应用中，具有鲜明的数学模型作用，因此二次函数在各地中考试卷中普遍分量较重。本人根据连续 10 年任教毕业班的经验认为：在进行二次函数的复习教学中，应立足于初中数学函数教学的地位，着眼于中考方向，根据学生对二次函数的学习及掌握情况，从梳理知识点出发采用以习题带知识点的形式，上好复习课。一、中考目标要求1、直接考查二次函数的图象与性质：利用对二次函数的概念、性质和图象特征的认识，从题目所给的条件
2、和图象中获取信息，凭借抽象、联想、类比等手段，转化为二次函数系数的关系理解，会用描点法画出二次函数的图象，或根据二次函数的性质画出二次函数的草图，或从图象上认识二次函数的性质，重点考查“数形结合”等数学思想。2、结合已知条件（代数的或几何的）确定解析式：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，灵活考查函数关系式的建立和转化能力，是目前中考中常见要求。关键是结合题目中的已知条件和数学语言描述，领会题意并运用掌握的代数、几何知识解决问题。3、结合实际问题背景考查二次函数的建模：此类问题多结合现实背景，考生需要将题目中的语句转化为数学语言，利用二次函数建立函数模型，解决简单的实际问题。4、综合
3、考查函数知识和函数思想：主要体现在与方程、不等式知识的横向联系，动态几何问题的应用及侧重函数的意义、性质、思想和方法等方面。以二次函数为背景的压轴题综合性强，涉及初中数学的函数、几何作图、方程、相似形等知识，结合动态问题、存在性问题、最值问题等方面，能最大限度的调动考生的综合应变能力、计算能力；对提高学生的分析、判断能力起到其他知识不能替代的作用，具有较好的区分度和选拔功能。二、学生应掌握的知识要点1、形如 yax 2bxc （a、b、c 是常数，a0）的函数，那么 y 叫做 x 的二次函数。二次函数的解析式有三种，分别为：一般式：y=ax 2+bx+c，顶点式：y=a（xh） 2+k， 交点
4、式（两根式）：y=a（xx 1）（xx 2） ，2、由于二次函数的图象为抛物线，应从开口方向（大小） 、对称轴方程、顶点坐标、与 x 轴的交点个数及坐标、与 y 轴的交点个数及坐标、增减性、最大（小）值、对称性、函数值的正负性、抛物线的平移规律、抛物线与对应的一元二次方程的关系等方面来研究二次函数的图象和性质。3、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图像的几个特殊点：当 x=1 时，y=a+b+c 当 x= -1 时，y=a-b+c当 x=2 时，y=4a+2b+c 当 x= -2 时，y=4a-2b+c 以上知识要点可以通过列表比较、区别加强理解和记忆，附表如下：性质一般式：yax 2bx
5、c（a、b、c 是常数，a0）顶点式：y=a（xh）2+k， （a0）交点式：y=a（ x x1） （ x x2） ，（ a0 ）开口方向和大小 当 a0 时，开口向上，当 a0 时， y 有最小值；当 a0；与 x 轴有一个交点=0 与 x 轴没有交点 0 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧， y随 x 的增大而增大；当 a0， 0）个单位得到函数 y=ax2k，将 y=ax2沿 x 轴方向（左加右减）平移 h（h0）个单位得到 y=a（xh） 2.在平移之前先将函数 y=ax2+bx+c 的一般式化为顶点式，再来平移，若沿 y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（
6、上加下减） ，若沿 x 轴平移则直接在含 x 的括号内进行加减（左加右减）也可以直接在一般式 y=ax2+bx+c 中进行，如把：y=x 2+2x-3 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后的解析式为：y=（x-2） 2+2（x-2）-3+1，化简整理得到：y=x 2-2x-2。 a、b 的符号共同决定了对称轴的位置，当 b=0 时，对称轴是直线 x=0，即对称轴为 y 轴。可以让学生记住口诀“a，b 同号轴在左， a，b异号轴在右” ；学生通过上面这个框架结构表格很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生将知识系统化，条理化，网络化，从而加深对知识的理解。并增强学生运用知识
7、的能力。以习题巩固理解知识点，例题 1： 开口向_,对称轴方程_,顶点坐标_24yx,它是最_点；与 x 轴有_个交点，交点坐标为_；与 y 轴的交点为_；在 x 轴上截得的长度为_；当 x_时 y 随 x 的增大而减小；当x 满足_时，y0；若它与直线 y= kx-6 只有一个交点，则 k=_；将图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y轴向下得到平移个 2 单位，得到新二次函数的解析式为_；与它关于原点对称的抛物线的解析式为_；（此题设计意图：通过问题串的形式展现知识点，学生在回答这些问题的同时也就是复习知识点，巩固知识的时候，学生自主完成，不仅体现学生的自主学习意识，调动学生学习积
8、极性，也能为复习知识点扫清障碍。 ）例题 2：已知二次函数 的图象如图所示，有下)0(2acbxy列 5 个结论： ； ； cab；2a+b=0；9a+3b+c 0 ， （04cba )(m的实数）其中正确的结论有（ ）1mA. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个（设计意图：本题虽是一道选择题，但它包含了二次函数图象和性质的大多数知识点对学生的识图能力、挖掘信息的能力、综合运用知识的能力要求较高，通过对此题的思考、分析、总结经验，学生对二次函数知识点的理解运用会更上一个层次。 ）三、复习时要注意的问题1.抓好基础训练有关二次函数的解析式的三种形式需要学生牢牢记住并深刻理解，即会用
9、三种形式求抛物线的解析式，会用配方法或公式法求抛物线的对称轴、顶点、最大（小）值，会求抛物线与坐标轴的交点，会根据四点画出二次函数的草图。2.分层次进行教学教师应对练习题进行适当的筛选，对于优秀的学生在复习中要充分调动他们的积极性，要预备一些综合性、灵活性强的题目，使其能力得到进一步提高。对于基础较差的学生多做一些基本题和简单题，以巩固他们的基础和增强学习的信心。3.重视数形结合思想本章的数学思想方法有：从特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数思想、建模思想等，其中最重要的是数形结合的思想。学生在这一方面比较薄弱，往往是题目要求画图了才画图，比较被动，不能形成主动画图解题的习惯。学生可以从图象
10、中识别出抛物线关于哪条直线对称，但对主动应用抛物线的对称性解题却有一定的困难。教师应加强这一方面的训练，并在研究函数增减性的时候，教会学生利用图象来解释和记忆。四、二次函数易错点及原因分析例 1.函数 图象是抛物线，则 .21()myxm错解：根据题意， =2 得 m= 1；原因：忽视 yax 2bxc 中的 a0。应强调概念的内涵。例 2.一名男生推铅球，铅球行进高度 （单位：m ）与水平距离 （单位：m ）之间的关yx系是 则他将铅球推出的距离是 m153x错解：由 y=0 解出 x=10 和-2，得到答案距离是 12 米。原因：错把铅球当足球，学生对抛物线的知识点与现实生活中情境联系不上
11、。建议教学时应把二次函数尽可能贴近生活，让学生自己建立抛物线模型来解决具体生活问题。例 3.已知抛物线 y=x26x+5， 问题：（1）当 0x4 时，y 的取值范围是 。（2）当 0y5 时，x 的取值范围是 。错解：把 x=0 和 4 分别代入解析式得到 5 和3，答：3y5原因：将一次函数的性质错误地迁移到二次函数中，对二次函数的增减性性质理解不透，教学时应加强数形结合思想的引导，养成“见形思图”和“见图化形”的习惯。例 4.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 的图象时，列了如下表格：2yaxbcx 210 1 2 y 642根据表格上的信息回答问题：该二次函数 在 时， yaxbc3xy错解（繁解）:根据表格提供的信息，解出二次函数的解析式，然后将 代入解析式得到 y= 。 4原因：对二次函数图象性质认识肤浅，函数的三种表达形式：列表法、图象法、解析法之间不能互相转化变换，不能运用二次函数的轴对称性解决问题。老师平时教学中对于图表信息类题目，要充分挖掘图表中的所有信息，善于观察发现特点，如本题中（0， ） ， （ 2， ）两点的纵坐标相同，就可以得出对称轴是直线 x= 1021又 与 x=1 关于 x= 1 对称，故 时 y 的值与 x=1 时 y 的值相等。3x3x
