1、2016 年竞赛与自主招生专题第三讲 不等式 的性质及证明从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题 目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，不等式部分通常占 10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。一、知识精讲基本不等式：1. ，当且仅当 时等号成立。),(2
2、2Rbaaba2. ，当且仅当 时等号成立。自主招生中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强 ，一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有：（1）比较法：在证明 AB 或 A0）与 1 比较大小，最后得出结论；B（2）放缩法：（为了证明 ，引进一些中间量如 ，依次证明AB,CD等） ；,CDB（3）分析法：即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（如构造函数、构造图形）等。来源
3、:学科网来源:学,科,网 Z,X,X,K2、竞赛题精练【2014 年华约】6.已知数列 na满足: 110,nnapq.(1)若 1,求 na;(2)若 |1,|pq,求证:数列 n有界.6.【解】(1)当 1时, 1nnap,则 11()(2)nnap由累加法得 1221nnn ,即 231()()napp (1)当 1p时, (1);2na当 n时, 10a也适合;当 时, 3()nnpp (2)由(1)-(2)得 231()nnna p ,所以1 12()()nnnnppp,当 1时, 10a也适合;于是 12()1()nnnapp.(2)由 1|nnnn nqqaa,所以 1|nnna
4、p,于是 11|)|(2)nap由累加法得 1221(2)nnnaan故 212()|()| )n ppapp,而 1()|()|0nnnn,于是当 2时,有 2|()npa,显然 1a也成立.于是 na有上界.【2014 年华约】7.已知 *,nNx求证: 2(1)nxe.7.【证明】原不等式等价于 2()xn.当 2xn,上述不等式左边 非正,不等式成立;当 时 ,由 1(0)ye及贝努力不等式 (1)(1,)nyy,从而222()xn nnxxx,即证三、例题精讲例 1.（2011 复旦千分考）设有集合 ，2|log(34),0xS满足 ，则实数 的取值范围是（ ） 。2|log(),0
5、xTkxSTk（A） （ B） （C） （D）2k2k2答案 B 分析与解答 ：先解不等式 或2221log(34)34xx解得：220134x即 ；再解不等式 或|S2221log()x xkk2201xk或 ， 或2()0x21()0xk21xk201xk若 ，则 T： 不满足条件；若 ，则 T： 或 满2k2x212x1x足条件；若 ，21T： 或 满 足条件；若 ，则 T： 满足条件；若 ，x2kx2k2x21k则 T： 或 满足条件。综上， 。12例 2.（2010 复旦）设实数 ，且满足 ，则函数,0xy5xy的最大值是（ ） 。2(,)fxy（A） （ B） （C） （D）978
6、19564952答案 C分析与解答：由于 ， ，所以 ，,0xy52x502x222(,)5104fxyxyxx，当且仅当 时取等号 。349310()3,2y例 3.（2004 同济）求证：对于任何实数 ，三个数 中至,ab|,|,1|aba少有一个不小于 。2分析与解答：解法一：用反证法。若 ，则 11|,|,|22aba1,2,1,2aba由+得： 。由得： ，矛盾！12a132解法二 ：由绝对值不等式性质，得，| 1|2ababa故 中至少有一个不 小于 。|,|,1|a2例 4.（2011“华约” ） ，数列 满足2(),(),)3xfffbnx，且 。1()nnxf1x（1）求 的
7、通项；（2）求证： 。12nxe分析与解答：（1） ， ，所以 ，12(),()3ffabab3ab1ab，所以2()1xf1nnx。令 ， 。1()nnxx1()2nnx1,12， 。11 1(),()(22nnnxxx1()2nx（2） 0112()()n ee 。1()4时由均值不等式1n 1()()242n n 11()12422nn。所以 。注意到1n11()()()4nn单调递增，且()n。所以 。lim1nne11()()242ne来源:学,科,网例 5.（2011“华约” ）如图： ，且 ，,4ABCADFExyzSBC1yzx求 面积的最大值。 （原题为选择题）BDEB CA
8、DFE分析与解答：连结 ，BFDEBDFABFABCEDESSS。3312(1)4(1)44()7yzxzxyzx等号成立时， ，即 。z,3z例 6.（2008 复旦）设 ，则 有性质（ ）852()1fxx()fx（A）对任何实数 ， 总是大于 0（B）对 任何 实数 ， 总是小于 0x()f（C）当 时，0（D）以上均不对分析与解答：解法一：注意到含 的偶次方幂的项，其系数为正；含 的奇次方幂的项，其x x系数为负，故 时，0显然成立。825()1fx再注意到对 ，而 ，故当 时，2,Rx853(1)xx1x也成立。8520x最后当 时， ，1852825() ()(fxxxx25,x故
9、 仍成立。()0f综上，对 ， ，选 。xR()0fA解法二：配方法 8524213()()1f xx。4135)06x注：配方法是最基本的方法，尤其在证明 时常用。()fx例 7.设 ，且 ，求证Rxn,.21 1.21nx.221 xn分析与解答： 222 21 112()().()(.1nnx xx x，也即2211.)nxx，因此222 21 12().)(.)nnn xxx。.2212 n例 8.（201 1“北约” ）求 的最小值。()|1|2|201|fxxx分析与解答：首先设 ， 。则由绝对值的12naa 12()|nfaa几何意义知， 为奇数时，当 时， 有最小值； 为偶数时
10、，当2nx()fx任何值时， 有最小值。来源:学+科+网来源:学科网12,nxa()f回到原题， 20111()|233fxxxxx 个，共有：个点。设01+2=06。34511,23aa 20361a因为 。6现在求 和 的值。设 ，则 ，1053105341053t121053t。2t可得 。且 ，故 时， 的值最小。4t1053105342a4x()fx1 111491()223208322 47f 例 9.已知 ，且 ，求 的最小值。,xyzR1xyz49xyz分析与解答：方法（一）利用 ，再用基本不等式即可证明。149()()xyz方法（二）设 ，故有 。010149 49xyzxx
11、xyzxyz yz。当且仅当24612同时成立时上述不等式取 “=”，来源: 学&科&网 Z&X&X&K19,xyz即 ，代入 ，解得 ，此时23,1xyz36，故 的最小值为 36。1236149xyz例 10.（2012“华约” ）已知实数 ， ， ，当106、i 501ix1032、i取到最大值时，有多少个-6？102ix分析与解答：设 ，则 ，且 ，6iiax0,16ia10ia。10101022 2139iii ix于是原问题转化为当 取最大值时，有几个 。021ia 0ia当 中有不少于两个数，且同时不等于 0，不等于 16 时，设为 。ia ,pq 时，则16pq2222 216
12、()()16316pqpq（看作一个关于 的一次函数，3p，单调递减） 。160q0即 ，故不改变其他数字，用 16 代替 ，222(16)pqpqp代替 ， 增大；16pq021ia 时，则 。故用 0 代替 ，222()()pqpqp代替 ， 增大。pq102ia综上，当 取最大值时，至多只有一个 ，且 。102i 0ia16i而 ，故 中应取 6 个 16,1 个 14,3 个 0，即有 3 个-6.64ia5、真题精练来源:学科网 ZXXK1.（2009 复旦）若实数 满足：对任意正数 ，均有 ，则 的取值xa21xax范围是（ ）（A） （B） （C） (1,)1,(,1)a（D）不
13、能确定2.（2007 复旦）设 为非负实数，且满足方程,abc，则 的最大值和最小值（ ） 。59459468260abcabc（A）互为倒数 （B）其和为 13 （C）其乘积为 4 （D）均不存在3.（2006 复旦）下列不等式中正确的是（ ）来源:Zxxk.Com（A） （B）12067k12089k（C） （D）120k 1203k4.（2004 交大）已知 是非负整数，且 ， ，则,xyz10xyz20xyz的取值范围是 。53xyz5.（2009 交大）已知不等式组 有唯一解，则 215372xaa。6.（2003 复旦） 是各不相同的自然数， ，求证：12,na a。12aan7.
14、（2005 复旦） 满足何条件，可使 恒成立？,ab21xab8.（200 4 复旦）求证： 。33112n来源:学.科.网来源:Zxxk.Com9.（2000 交大）已知正整数列 ，对大于 的 ，有12,na 1n，123na。试证： 中至少有一个小于 。1 12,n【参考答案】1.B。对 ，有 ，故 ，即 ，从而 。0a21xa2min(1)xa21x1,x2.C。 ，所以 或 。从而594594(2)(6)0bcbc594bc36，所以 ，当且仅当4)36,时取最大值， 时取最小值。9,0cab,9bac3.C。因为 111 12k kkk所以20120()2(09)k(191)48144. 。 ，故 ， ，所以30(23)0xyzxyzxy0xyz。5xyz5. 。由条件， ，所以 ，得：322 2171553axaa23。a6.原式 2211111()() ()()22nnnn 7. 。因为 ，所以 ，,0ab22()0xx2|xxab即 且 。由前一式得 且 ；22xa22()ab由后一式得，得： 。所以2 2()0,()4()0b。,0a8. ，所以原式11112()()nnnn。39.若结论不成立，则对任意 有 。设 ，则 ，且1,2in 1iaiib0i，12nb，()()2b而 ，矛盾。1111)()2nnnbb
