1、常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由“题”组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上,高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的.不仅如此,试题的表示方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的“题”研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法.在本篇中,我们把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以使同学们在解答高
2、考题时能做到准确、快捷.结论一子集个数问题:若一个集合A含有n(nN*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如,每个元素都有两种选择,则n个元素有2n种选择.例1设集合A=(x,y)x24+y216=1 ,B=(x,y)|y=3x ,则AB的子集的个数是( ).A.4B.3C.2D.1变式1 已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR ,B=x|00且a1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.3第二篇 常考二级结论及其应用 4 结论七1.二次函数解析式的三种形式.二次函数f(
3、x)=ax2+bx+c(一般式)ax+b2a 2+4ac-b24a(顶点式)(a0,xR).a(x-x1)(x-x2)(双根式)2.二次函数的基本性质.(1)当a0时,f(x)在-,-b2a 上为减函数,在-b2a,+ 上为增函数,f(x)在x=-b2a处取得最小值为f-b2a =4ac-b24a,无最大值;(2)当a0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是( ).A.xR,12ax2-bx12ax20-bx0B.xR,12ax2-bx12ax20-bx0C.xR,12ax2-bx12ax20-bx0D.xR,12ax2-bx12ax20-bx0变式1 已知函数f(x)=x2+ax+b(
4、a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)g(x),若函数f(x)=x2+tx+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得m14C.minf(m),f(m+1)=14D.minf(m),f(m+1)14结论八经典不等式.(1)指数形式exx+1(xR),当且仅当x=0时取等号;(2)对数形式ln(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时取等号.证明:(1)令g(x)=ex-x-1(xR),则g(x)=ex-1.令g(x)=0,解得x=0.g(x),g(x)随x的变化如表2-1所示.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)5 表2-1x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g
5、(x)极小值所以g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,当x=0时,g(x)有最小值0,即xR,ex-x-1g(0)=0.所以exx+1(xR)恒成立,当且仅当x=0时取等号.(2)由exx+1两边取以e为底的对数,则ln(ex)ln(x+1),即ln(x+1)x(x-1).例8已知函数f(x)=1ln(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为( ).A. B. C. D.变式1 已知函数f(x)=ex,xR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2 设函数f(x)=1-e-x.求证:当x-1时,f(x)xx+1.5第二篇 常考二级结论及其应用 6
6、结论九函数的对称性问题:已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2轴对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点a+b2,c2 中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对称.尤其要注意三角函数图像的对称性问题.例9已知函数f(x)=Asin(x+)的图像如图2-2所示,f2=-23,则f(0)=( ).A.-23B.23C.-12D.12图2-2图
7、2-3变式1 已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin2x的图像向右平移(00且b1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式3 设f(n)=3+33+35+37+32n+9n( ),则f(n)=.9第二篇 常考二级结论及其应用 10 结论十五已知数列an的前n项和为Sn,前n项乘积为Tn.(1)若an为等差数列,公差为d,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列,公差为n2d;(2)若an为等比数列,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(当n为偶数时,q-1),公比为qn;(3)若an为等比数列,公比为q,则Tn,T2nTn,T3nT2n,仍为等比数列,公
8、比为qn2.例15设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=( ).A.2B.73C.83D.3变式1 设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ).A.63B.45C.36D.27结论十六1.已知圆O的方程为(x-m)2+(y-n)2=R2,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若点P在圆O上,则直线l与圆O相切,P为切点,l为切线;(2)若点P在圆O外,则直线l与圆O相交,两交点分别为过点P作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线;(3)若点P在圆O内(不为圆心),则直线l与圆O相离,圆心到直
9、线l的距离d满足:R2=|OP|d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2;(2)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1;(3)过抛物线C:y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线;(2)当点M在抛物线
10、C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线;(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程、看判别式);(2)在求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:所求切线一定有两条;设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)11 例16过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ).A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.
11、4x-y-3=0D.4x+y-3=0变式1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ).A.相切B.相交C.相离D.不确定变式2 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .结论十七中点弦相关结论:(1)若椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)时,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k=-b2x0a2y0(y00),即kkOP=-b2a2;若椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0)时,相应结论为k=-a2x0b2y0(y00),即
12、kkOP=-a2b2.(2)P(x0,y0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内部一点,以P为中点的弦所在直线斜率k=b2x0a2y0(y00),即kkOP=b2a2;若双曲线方程为y2a2-x2b2=1时,相应结论为k=a2x0b2y0(y00),即kkOP=a2b2.(3)P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)内部一点时,以P为中点的弦所在直线斜率k=py0(y00);若方程为x2=2py时,相应结论为k=x0p.例17直线m与椭圆x22+y2=1分别交于点P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为( ).A.
13、2B.-2C.12D.-12变式1 过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线相交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是( ).A.y2=2x-1B.y2=2x-2C.y2=-2x+1D.y2=-2x+2变式2 若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是 .变式3 若焦点是0,22( )的椭圆截直线3x-y-3=0所得弦的中点的横坐标为12,则椭圆方程为 .11第二篇 常考二级结论及其应用 12 结论十八在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定
14、值.(1)如图2-7(a)所示,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值b2x0a2y0;(2)如图2-7(b)所示,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值-b2x0a2y0;(3)如图2-7(c)所示,已知抛物线y2=2px(p0),定点P(x0,
15、y0)(x0y00)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB为定值-py0.(a)(b)(c)图2-7下面以双曲线为例给出证明,椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线PA的方程为y=k(x-x0)+y0,令m=y0-kx0,联立方程y=kx+mx2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,则x1x0=-a2m2+a2b2b2-a2k2,解得x1=-a2(y0-kx0)2+a2b2(b2-a
16、2k2)x0.同理x2=-a2(y0+kx0)2+a2b2(b2-a2k2)x0.故直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=(-kx2+y0+kx0)-(kx1+y0-kx0)x2-x1=2kx0-k(x1+x2)x2-x1=-b2x0a2y0为定值.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)13 例18已知椭圆C:x24+y23=1,A为椭圆上的定点,其坐标为A1,32,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.求证:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分
17、别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.求证:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.结论十九若圆锥曲线中的内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点a2-b2a2+b2a,0.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点-a2-b2a2+b2a,0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点a2+b2a2-b2a,0.
18、同理,对于左顶点(-a,0),则定点为-a2+b2a2-b2a,0.13第二篇 常考二级结论及其应用 14 AA1xyOB图2-8(3)对于抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两动点A,B,若OAOB=0,则弦AB所在直线过定点(2p,0).同理抛物线x2=2py(p0)上异于顶点的两动点A,B,若OAOB,则弦AB过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明,双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:如图2-8所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=ty+m(ma).联立x2a2+y2b2=1x=ty+m,消x得(a2+b2t2)y2
19、+2b2mty+b2m2-a2b2=0,=(2b2mt)2-4(a2+b2t2)(b2m2-a2b2)0,y1+y2=-2b2mta2+b2t2y1y2=b2(m2-a2)a2+b2t2(*)因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以A1AA1B=0.则(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,亦即(ty1+m)(ty2+m)-at(y1+y2)+2m+a2+y1y2=0,(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0.将(*)式代入上式得(t2+1)b2(m2-a2)a2+b2t2+(m-a)t-2b2mta2+b2t2
20、+(m-a)2=0,化简得m=(a2-b2)aa2+b2,因此直线l过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理可证,若以AB为直径的圆过左顶点(-a,0),则l过定点-a(a2-b2)a2+b2,0.类比椭圆,对于双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)上异于右顶点的两动点A,B,若以AB为直径的圆过右顶点(a,0),则lAB过定点a(a2+b2)a2-b2,0.同理,若该圆过左顶点(-a,0),则lAB过定点-a(a2+b2)a2-b2,0.例19已知椭圆x24+y23=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点
21、,并求出该定点的坐标.临门一脚(含密押三套卷)(文科版)15 变式1 已知抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-9所示,O为坐标原点,直线l在x轴上的截距为a(a0)且交抛物线y2=2px(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.当a=2p时,求证:MON=2.图2-915第二篇 常考二级结论及其应用 16 结论二十AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦(焦点弦),过点A,B分别作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图2-10(a)所示,
22、以AB为直径的圆与准线l相切于点E;(2)如图2-10(b)所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1ABB1;(3)如图2-10(c)所示,以AF为直径的圆与y轴相切.(a)(b)(c)图2-10证明:(1)如图2-10(a)所示,由抛物线的定义知,AA1=AF,BB1=BF.设点P为弦AB的中点,则EP=AA1+BB12=AB2,故点E在以AB为直径的圆上.又EPAA1,所以EPA1B1,故准线与圆P相切,切点为点E.(2)如图2-10(b)所示,联结A1F,B1F,由抛物线的定义知,AA1=AF,所以AA1F=AFA1,同理BB1F=BFB1.又因为AA1BB1,所以B
23、1BF+A1AF=180,所以2AFA1+2BFB1=180,即B1FA1=90,A1FB1F.所以点F在以A1B1为直径的圆上,所以EA1=EF=EB1,所以BFE=EFB1+BFB1=EB1F+BB1F=90,即EFBF,所以EFAB,故以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F.结合结论二十(1)可知,AEBE,在RtAEB中,EFAB,所以RtBEFRtEAF,即BFEF=EFAF,所以EF2=AFBF=AA1BB1.(3)如图2-10(c)所示,设准线与x轴的交点为点F1,AF的中点为点P,过点P作PQy轴,垂足为点Q,延长PQ交准线l于点P1,则由P为AF的中点知,PP1=AA1+FF
24、12=AA12+p2,即PQ=AA12=AF2,所以点Q在以AF为直径的圆上.又PQy轴,所以以AF为直径的圆与y轴相切,切点为点Q.例20已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=( ).A.12B.22C.2D.2临门一脚(含密押三套卷)(文科版)17 变式1 过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自点M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为点M1,N1.当a=p2时,求证:AM1AN1.结论二十一图2-11焦点三角形的面积.(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a
25、b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则PF1F2的面积SPF1F2=b2tan2,其中=F1PF2;(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则PF1F2的面积SPF1F2=b2tan2,其中=F1PF2.证明:(1)若PF1F2为一般三角形,如图2-11所示,则SPF1F2=12|PF1|PF2|sin(用表示F1PF2).由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|( )2-2|PF1|PF2|(1
26、+cos)=4c2,从而2|PF1|PF2|(1+cos)=4a2-4c2=4b2,|PF1|PF2|=2b21+cos,则SPF1F2=12|PF1|PF2|sin=b2sin1+cos=2b2sin2cos22cos22=b2tan2.(2)双曲线中的相关结论请读者们自己证明.17第二篇 常考二级结论及其应用 18 例21如图2-12所示,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ).A.2B.3C.32D.62图2-12变式1 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.变式2 F1和F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,当F1F2P的面积为1时,PF1PF2= .变式3 已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为( ).A.43B.53C.233D.3临门一脚(含密押三套卷)(文科版)
