1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的观 看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 47 几 何 证 明 选 讲选 择 题1.(2015天 津 高 考 理 科 T5)如 图 ,在 圆 O 中 ,M,N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 ,弦 CD,CE 分 别 经 过 点M,N.若 CM=2,MD=4,CN=3,则 线 段 NE 的 长 为 ( )A. B.3 C. D.83 103 52【 解 析 】 选 A.根 据 相 交 弦 定 理 可 知 ,CMMD=AMMB,又 因 为
2、M,N 为 弦 AB 的 三 等 分 点 ,所 以 ,AMMB=ANNB.因 为 CM=2,MD=4,即 CNNE=ANNB=CMMD=8,由 CN=3,得 NE= .832.(2015天 津 高 考 文 科 T6)如 图 ,在 圆 O 中 ,M,N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 ,弦 CD,CE 分 别 经 过 点M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则 线 段 NE 的 长 为 ( )A. B.3 C. D.83 103 52【 解 析 】 选 A.根 据 相 交 弦 定 理 可 知 ,CMMD=AMMB,又 因 为 M,N 为 弦 AB 的 三 等 分 点 ,所 以 ,AMMB=
3、ANNB.因 为 CM=2,MD=4,即 CNNE=ANNB=CMMD=8,由 CN=3,得 NE= .83二 、 填 空 题3. (2015湖北高考理科T15)(选修 4-1:几何证明选讲)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且BC=3PB,则 ABC . 【解题指南】利用圆的切割线定理和三角形相似求解.【解析】设 PB=1,因为 BC=3PB,所以 PC=4,又因为 PA 是圆的切线,所以PAB=BCA,P=P,所以PBAPAC,所以 PA2=PBPC=4,PA=2, 1.2ABPC答案: 126. （2015重庆高考理科14）如题（14）图，圆 O 的弦 AB，CD
4、相较于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与DC4。的延长线交于点 P，若 PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2:1，则 BE= _.【解题指南】首先根据切割线定理可求出 CD的长，然后利用相交弦定理结合线段的比例可求出 BE 的长.【解析】由切割线定理可知， 2PA，所以2361PAC，139CDP，因为 CE：ED=2:1，所以 CE=6，ED=3由相交弦定理可知 EDB，所以 2.9EA5. (2015广 东 高 考 理 科 T15)(几 何 证 明 选 讲 选 做 题 )如 图 ,已 知 AB 是 圆 O 的 直 径 ,AB=4,EC 是 圆 O 的 切 线 ,切 点 为 C,B
5、C=1,过 圆 心 O 作 BC 的 平 行 线 ,分 别 交 EC 和 AC 于 点D 和 点 P,则 OD= .【 解 题 指 南 】 可 作 辅 助 线 OC,然 后 利 用 直 角 三 角 形 射 影 定 理 求 得 .【 解 析 】 如 下 图 所 示 ， 连 接 ， 因 为 ， 又 ， 所 以 ， 又 为/DBCAOPAC线 段 的 中 点 ， 所 以 ， 在 中 ， ， 由 直 角 三 角 形 的AB12PBRtO12B射 影 定 理 可 得 即2OCD281CP答 案 :86. (2015广 东 高 考 文 科 T15)(几 何 证 明 选 讲 选 做 题 )如 图 ,AB 为
6、 圆 O 的 直 径 ,E 为 AB的 延 长 线 上 一 点 ,过 E 作 圆 O 的 切 线 ,切 点 为 C,过 A 作 直 线 EC 的 垂 线 ,垂 足 为 D.若AB=4,CE=2 ,则 AD= .3【 解 题 指 南 】 作 辅 助 线 OC,先 利 用 切 割 线 定 理 求 出 BE,再 利 用 平 行 线 分 线 段 成 比 例 求 出AD.【 解 析 】 连 结 ， 则 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 由 切DAC/DA割 线 定 理 得 ： ， 所 以 ， 即 ， 解 得 ：24122410或 （ 舍 去 ） ， 所 以 ，26C63答 案 :3三、解答题7.(
7、2015新 课 标 全 国 卷 理 科 T20)(10 分 )选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲如 图 ,AB 是 O 的 直 径 ,AC 是 O 的 切 线 ,BC 交 O 于 点 E.(1)若 D 为 AC 的 中 点 ,证 明 :DE 是 O 的 切 线 .(2)若 OA= CE,求 ACB 的 大 小 .3【 解 析 】 (1)连 结 AE,由 已 知 得 ,AE BC,AC AB.在 Rt ABC 中 ,由 已 知 得 ,DE=DC,故 DEC= DCE.连 结 OE,则 OBE= OEB.又 ACE+ ABC=90,所 以 DEC+ OEB=90,所 以 OED=90,DE 是
8、 O 的 切 线 .(2)设 CE=1,AE=x,由 已 知 得 AB=2 ,BE= ,由 射 影 定 理 可 得 ,AE2=CEBE,所 以 x2=3 12-x2,即 x4+x2-12=0.可 得 x= ,所 以 ACB=60.12-x2 38.(2015新 课 标 全 国 卷 文 科 T22)(10 分 )选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲如 图 ,AB 是 O 的 直 径 ,AC 是 O 的 切 线 ,BC 交 O 于 点 E.(1)若 D 为 AC 的 中 点 ,证 明 :DE 是 O 的 切 线 .(2)若 OA= CE,求 ACB 的 大 小 .3【 解 析 】 (1)连 结
9、AE,由 已 知 得 ,AE BC,AC AB.在 Rt ABC 中 ,由 已 知 得 ,DE=DC,故 DEC= DCE.连 结 OE,则 OBE= OEB.又 ACE+ ABC=90,所 以 DEC+ OEB=90,所 以 OED=90,DE 是 O 的 切 线 .(2)设 CE=1,AE=x,由 已 知 得 AB=2 ,BE= ,由 射 影 定 理 可 得 ,AE2=CEBE,所 以 x2=3 12-x2,即 x4+x2-12=0.可 得 x= ,所 以 ACB=60.12-x2 39. (2015新 课 标 全 国 卷 理 科 T22)如 图 O 是 等 腰 三 角 形 ABC 内 一
10、 点 ,圆 O 与 ABC 的 底 边 BC 交 于 M,N 两 点 ,与 底 边 上 的 高交 于 点 G,且 与 AB,AC 分 别 相 切 于 E,F 两 点 .(1)证 明 :EF BC.(2)若 AG 等 于 圆 O 的 半 径 ,且 AE=MN=2 ,求 四 边 形 EBCF 的 面 积 .3【 解 题 指 南 】 (1)要 证 明 EF BC,可 证 明 AD BC,AD EF.(2)先 求 出 有 关 线 段 的 长 度 ,然 后 把 四 边 形 EBCF 的 面 积 转 化 为 ABC 和 AEF 的 面 积 之差 求 解 .【 解 析 】 (1)由 于 ABC 是 等 腰
11、三 角 形 ,AD BC,所 以 AD 是 CAB 的 平 分 线 ,又 因 为 O 分别 与 AB,AC 相 切 于 点 E,F,所 以 AE=AF,故 AD EF,从 而 EF BC.(2)由 (1)知 ,AE=AF,AD EF,故 AD 是 EF 的 垂 直 平 分 线 ,又 EF 为 O 的 弦 ,所 以 O 在 AD 上 .连 结 OE,OM,则 OE AE.由 AG 等 于 O 的 半 径 得 AO=2OE,所 以 OAE=30.因 此 ABC 和 AEF 都 是 等 边 三 角 形 .因 为 AE=2 ,所 以 AO=4,OE=2.3因 为 OM=OE=2,DM= MN= ,所
12、以 OD=1.12 3于 是 AD=5,AB= .1033所 以 四 边 形 EBCF 的 面 积 为 ()().10. (2015新 课 标 全 国 卷 文 科 T22)如 图 O 是 等 腰 三 角 形 ABC 内 一 点 ,圆 O 与 ABC的 底 边 BC 交 于 M,N 两 点 ,与 底 边 上 的 高 交 于 点 G,且 与 AB,AC 分 别 相 切 于 E,F 两 点 .(1)证 明 :EF BC.(2)若 AG 等 于 圆 O 的 半 径 ,且 AE=MN=2 ,求 四 边 形 EBCF 的 面 积 .3【 解 题 指 南 】 (1)要 证 明 EF BC,可 证 明 AD
13、BC,AD EF.(2)先 求 出 有 关 线 段 的 长 度 ,然 后 把 四 边 形 EBCF 的 面 积 转 化 为 ABC 和 AEF 的 面 积 之差 求 解 .【 解 析 】 (1)由 于 ABC 是 等 腰 三 角 形 ,AD BC,所 以 AD 是 CAB 的 平 分 线 ,又 因 为 O 分别 与 AB,AC 相 切 于 点 E,F,所 以 AE=AF,故 AD EF,从 而 EF BC.(2)由 (1)知 ,AE=AF,AD EF,故 AD 是 EF 的 垂 直 平 分 线 ,又 EF 为 O 的 弦 ,所 以 O 在 AD 上 .连 结 OE,OM,则 OE AE.由 A
14、G 等 于 O 的 半 径 得 AO=2OE,所 以 OAE=30.因 此 ABC 和 AEF 都 是 等 边 三 角 形 .因 为 AE=2 ,所 以 AO=4,OE=2.3因 为 ， 所 以 .于 是 ， .,MDND所 以 四 边 形 EBCF 的 面 积 为 ()().11. (2015江苏高考T21 本小题满分 10 分)如图,在ABC 中,AB=AC,ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证:ABDAEB.【解题指南】利用等弦对等角,同弧对等角,得到ABD=E,又公共角BAE,所以两三角形相似.【证明】因为 AB=AC,所以ABD=C.又因为C=E,所以ABD=
15、E,又BAE 为公共角,所以ABDAEB.12.（2015 陕西高考）如图, 切O 于点 ,直线 AO 交O 于 D, 两点,CD,垂足为 C.(1)证明:CD=D.(2)若 D=3DC,C= ,求O 的直径.2【解题指南】(1)利用同角的余角相等及弦切角定理即可得证.(2)根据三角形的角平分线定理及勾股定理即可求解.【解析】(1)因为 DE 是O 的直径,则BED+EDB=90,又 BCDE,所以CBD+EDB=90,即BED=CBD,又 AB 切O 于点 B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.(2)由(1)知 BD 平分CBA, 则 3BADC，又 2BC，从而 32，所以 24BC， 所以 3AD，由切割线定理得 2ABE，即 6A故 DE=AE-AD=3,即O 的直径为 3.关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
