1、第3讲 导数及其应用,专题六 函数与导数,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点. 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型. 3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.,热点一 导数的几何意义,解析,答案,
2、例1 (1)(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.y2x B.yx C.y2x D.yx,解析 方法一 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， 即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx. 故选D.,方法二 f(x)x3(a1)x2ax为奇函数， f(x)3x22(a1)xa为偶函数， a1，即f(x)3x21，f(0)1， 曲线yf(x)在点(0,
3、0)处的切线方程为yx. 故选D.,解析,答案,(2)若直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则实数b_.,ln 2,解析 设直线ykxb与曲线yln x1和曲线yln(x2)的切点分别为(x1，ln x11)，(x2，ln(x22). 直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，,(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直
4、直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.,解析,答案,跟踪演练1 (1)(2018全国)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_.,2xy0,解析 y2ln(x1)，,令x0，得y2， 由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)， 切线方程为y2x，即2xy0.,(2)若函数f(x)ln x(x0)与函数g(x)x22xa(x0)有公切线，则实数a的取值范围是 A. B.(1，) C.(1，) D.(ln 2，),解析,答案,解析 设公切线与函数f(x)ln x切于点A(x1，ln x1)(x10)，,h(t)在(0,
5、2)上为减函数，,热点二 利用导数研究函数的单调性,1.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0. 2.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.,解答,例2 (2018聊城模拟)已知函数f(x)2exkx2. (1)讨论函数f(x)在(0，)内的单调性；,解 由题意得f(x)2exk，x(0，)， 因为x0，所以2ex2. 当k2时，f(x)0，此时f(x)在(0，)内单调递增.,综上，当k2时，f(x)在(0，)内单调递增；,(2)若存在正数m，对于任意的x
6、(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立，求正实数k的取值范围.,解答,解 当00. 这时|f(x)|2x可化为f(x)2x， 即2ex(k2)x20. 设g(x)2ex(k2)x2， 则g(x)2ex(k2)，,当k2时，,所以存在x00，使得对于任意的x(0，x0)都有f(x)2x可化为f(x)2x， 即2ex(k2)x20. 设h(x)2ex(k2)x2， 则h(x)2ex(k2).,()若2k4，则h(x)0在(0，)上恒成立， 这时h(x)在(0，)内单调递减，且h(0)0， 所以对于任意的x(0，x0)都有h(x)0，不符合题意.,则对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒
7、成立. 综上可得k的取值范围为(4，).,利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导函数f(x). (3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0即可； 若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.,跟踪演练2 (1)(2018河南省中原名校质量考评)已知f(x)(x22ax)ln x x22ax在(0，)上是增函数，则实数a的取值范围是 A.1 B.1 C.(0,1 D.1,0),解析,答案,f(x)在(0，)上是增函数， f(x)0在(0，)上恒成立， 当x1时，f(x)0
8、满足题意， 当x1时，ln x0，要使f(x)0恒成立， 则xa0恒成立. xa1a，1a0，解得a1， 当0x1时，ln x0，要使f(x)0恒成立， 则xa0恒成立， xa1a，1a0，解得a1. 综上所述，a1.,(2)(2018资阳三诊)已知定义在R上的偶函数f(x)(函数f(x)的导函数为f(x) 满足f f(x1)0，e3f(2 018)1，若f(x)f(x)，则关于x的不等 式f(x2) 的解集为 A.(，3) B.(3，) C.(，0) D.(0，),解析,答案,解析 f(x)是偶函数， f(x)f(x)，f(x) f(x)f(x)， f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)
9、， 即f(x)f(x)0，设g(x)exf(x)， 则exf(x)ex f(x)f(x)0， g(x)在(，)上单调递增，,相减可得f(x)f(x3)，f(x)的周期为3，,不等式的解集为(3，)，故选B.,1.若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. 2.设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.,热点三 利用导数求函数的极值、最值,解答,例3 (2018北京)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex. (1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；,解 因为
10、f(x)ax2(4a1)x4a3ex， 所以f(x)ax2(2a1)x2ex. 所以f(1)(1a)e. 由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1. 此时f(1)3e0. 所以a的值为1.,解答,(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.,解 由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.,当x(2，)时，f(x)0. 所以f(x)在x2处取得极小值.,所以f(x)0. 所以2不是f(x)的极小值点.,(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的
11、大小或存在情况来求解. (3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,解答,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：,解答,对于任意x10，)，x21，)，,当a2时，因为exx1，,即g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)1恒成立，符合题意.,所以g(x)在0，)上单调递增， 且g(0)2a0，则存在x0(0，)， 使得g(x0)0， 所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 又g(x0)g(0)1， 所以g(x)1不恒成立，不符合题意. 综合可知，实数
12、a的取值范围是(，2.,真题押题精练,1.(2017浙江改编)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是_.(填序号),真题体验,答案,解析,解析 观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0， 对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、 增、减、增. 观察图象可知，排除. 如图所示，f(x)有3个零点， 从左到右依次设为x1，x2，x3， 且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故正确.,2.(2017全国改编)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_.,解析,答案,1,
13、解析 函数f(x)(x2ax1)ex1， 则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 ex1x2(a2)xa1. 由x2是函数f(x)的极值点，得 f(2)e3(42a4a1)(a1)e30， 所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1， f(x)ex1(x2x2). 由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且x0；当2x1时，f(x)0；,当x1时，f(x)0. 所以x1是函数f(x)的极小值点. 所以函数f(x)的极小值为f(1)1.,3.(2017山东改编)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数
14、中具有M性质的是_.(填序号) f(x)2x; f(x)x2； f(x)3x; f(x)cos x.,解析,答案,解析 若f(x)具有性质M， 则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立， 即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立. 对于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意. 经验证，均不符合题意.,xy10,答案,解析,即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1， 切线方程为y2x1，即xy10.,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“在某一点处的切线”问题，也是易错易混点.,
15、1.设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于 A.4 B.3 C.2 D.1,解析 依题意有f(1)1,1f(1)20， 即f(1)3， 所以f(1)f(1)4.,答案,解析,押题依据,押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.,解析 由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，,3.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_.,答案,解析,押题依据,押题依据 函数
16、单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别.,2,解析 函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，,依题意g(x)0在(1,2)上恒成立， 得2x2a在(1,2)上恒成立， a2，a2.,答案,解析,押题依据,押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决.考查了转化与化归思想，是高考的一个热点.,因此函数f(x)在0,1上单调递增， 所以当x0,1时，f(x)minf(0)1. 根据题意可知存在x1,2， 使得g(x)x22ax41，,则要使ah(x)在1,2上能成立， 只需使ah(x)min，,
