1、第2讲 数列求和及综合应用,高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.,1.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；,真 题 感 悟,解 (1)因为a13a2(2n1)an2n， 故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，,又n1时，a12适合上式，,2.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；,解 (1)设an的公比为q，,又an0，,又
2、S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.,2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.,(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)0时，应特别注意n1时的情况，防止产生错误.,考 点 整 合,3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数
3、的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.,温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.,热点一 an与Sn的关系问题,(1)求数列an的通项公式； (2)求数列cn的前n项和An，并求出An的最值.,解 (1)因为an5Sn1，nN*， 所以an15Sn11，,(2)bn1log2|an|2n1， 数列bn的前n项和Tnn2，,因此An是单调递增数列，,探究提高 1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求
4、出Sn与n之间的关系，再求an. 2.形如an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列.,【训练1】 已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；,由Sn1an，Sn11an1， 得an1an1an，则an1(1)an，,解得1.,热点二 数列的求和 考法1 分组转化求和 【例21】 (2018合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.,解 (1)an为等差数列，,因此an的通项公式an2n1.,(2)bn2an(1)nan22n1(
5、1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，,探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.,考法2 裂项相消法求和 【例22】 (2018郑州调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn2n25n.(1)求证：数列3an为等比数列；,(1)证明 Sn2n25n， 当n2时，anSnSn14n3. 又当n1时，a1S17也满足an4n3. 故an4n3(nN*).,数
6、列3an是公比为81的等比数列.,(2)解 bn4n27n，,探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.,【训练2】 (2018日照质检)已知数列an满足a11，an1an2n1(nN*).(1)求数列an的通项公式；,解 (1)因为anan12n1(n2)， 又an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1， 所以an(2n1)(2n3)31n2(n2). 因为a11也满足ann2，所以ann2.,考法3 错位相减求
7、和 【例23】 (2018潍坊一模)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，已知S410，且a1，a3，a9成等比数列.(1)求an的通项公式；,解 (1)设an的公差为d，由题设,解之得a11，且d1. 因此ann.,探究提高 1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.,【训练3】 (2018邯郸调研)已知Sn为等比数列an的前n项和，且S4S33a3，a29.(1
8、)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解 (1)设等比数列an的公比为q，由S4S32a3，可得,又a1q9，可得a13， 则数列an的通项公式为ana1qn13n.,(2)由(1)知bn(2n1)3n， 则数列bn的前n项和 Tn13332(2n1)3n， 3Tn132333(2n1)3n1， 两式相减得 2Tn3232333n(2n1)3n1,3n16(12n)3n1(22n)3n16， 故Tn(n1)3n13.,热点三 与数列相关的综合问题,(1)求数列an的通项公式； (2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的
9、前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.,an1f(an)，且a11. an1an2则an1an2， 因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列. an12(n1)2n1.,等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3. bn3n1.,又nN*，n1，或n2,故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.,探究提高 1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.,【训练4】 (2018北京燕博园检测)已知数列an满足nan(n1)an12n22n(n2，3，4，)，a16.,证明 (1)因为nan(n1)an12n22n，,1.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项得到的数列anbn求和.(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.,2.裂项求和的常见技巧,3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.,
