1、2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件,两个向量平行的坐标表示 【问题思考】 1.(1)若a,b都是非零向量,且ab,则a与b有何关系? (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),ab,它们的坐标应满足什么条件? 提示:(1)a=b(R).,2.填空: 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1b2-a2b1=0; 如果b不平行于坐标轴,即b10且b20,则ab _,即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例. 3.做一做:已知a=(-1,1),b=(2,x-1),且ab,则x= . 答案:-1,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”. 1.若ab,
2、则a=b. ( ) 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab,则 . ( ) 3.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),且a1b2=a2b1,则ab. ( ) 4.若a=(1,1),b=(m,m),则无论m取何实数,都有ab. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思想方法,向量共线(平行)的判定 【例1】 已知A,B,C三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟利用向量的坐标运算求出需要判定平行的向量的坐标,依据它们的坐标关系来判定平行.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究
3、三,思想方法,利用向量共线求参数值,反思感悟a=(x1,y1),b=(x2,y2),abx1y2=x2y1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,向量平行的应用 【例3】已知三点A(0,8),B(-4,0),C(5,-3),点D在线段AB上,且满足 .点E在BC上,若BDE的面积是ABC面积的一半,求点E的坐标.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟 利用向量证明三点共线的思路 先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数,使得两个向量共线.由于两个向量还过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.若A,B,C三点共线,则由这三个点组成的任意两个向
4、量共线.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2如图所示,已知直角梯形ABCD,ADAB, AB=2AD=2CD,过点C作CEAB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DEBC; (2)D,M,B三点共线.分析:利用向量法证明几何问题,首先是建立适当的直角坐标系,将图中点的坐标转化为向量坐标.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,用坐标法解决向量问题 【典例】 如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量法证明PA=EF. 审题视角由于本题所给图形是正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标法来求解.
5、证明建立如图所示的平面直角坐标系, 设正方形的边长为a,则A(0,a).,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题,通过向量的坐标运算使问题得到解决,这是数形结合思想的重要体现,利用向量坐标法,选取适当的位置建立平面直角坐标系是关键.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.以下命题错误的是( ) A.若i,j分别是与平面直角坐标系中x轴、y轴同向的单位向量,则|i+j|=|i-j| B.若ab,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则必有 C.零向量的坐标表示为(0,0) D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线
6、段的终点坐标减去始点坐标 解析:对选项B,两个向量中,若有与坐标轴共线的向量或零向量,则坐标不能写成比例式. 答案:B 2.已知A(1,-3), ,若A,B,C三点共线,则C点的坐标可以是( ) A.(9,1) B.(9,-1) C.(-9,1) D.(-9,-1) 答案:A,3.已知向量m=(-7,2+k),n=(k+13,-6),且mn,则k的值为 . 答案:1或-16 4.若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x= 时,a与b共线且方向相同. 解析:a=(x,1),b=(4,x), 若ab,则xx-14=0, 即x2=4,x=2. 当x=-2时,a与b方向相反. 当且仅当x=2时,a与b共线且方向相同. 答案:2,
