1、2.2.1 平面向量基本定理,一,二,一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为( )A.e1-3e2 B.-2e1-4e2 C.3e2-e1 D.3e1-e2 答案:A 2.填空: 平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.,一,二,3.做一做:如图,已知e1,e2,求作向量4e1-e2.,一,二,二
2、、直线的向量参数形式 【问题思考】,提示:x+y=1.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”. (1)若e1与e2不共线,则e1,e2可作为平面向量的基底. ( ) (2)任何向量在基底e1,e2下的表示式a=a1e1+a2e2是唯一的. ( ) (3) ,若A,B,P三点共线,则m+n=1. ( ) (4)在同一平面内,向量的基底是唯一的. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,对平面向量基本定理的理解 【例1】 如果e1,e2是平面内所有向量的一组基底,那么( ) A.若实数1,2使1e1+2e2=0,则1=2=0 B
3、.空间任一向量a可以表示为a=1e1+2e2,这里1,2是实数 C.对实数1,2,1e1+2e2不一定在平面内 D.对平面中的任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2有无数对 解析:基底是该平面内一对不共线向量,向量可以平移,所以不共线的两个向量一定共面.平面内任一向量a,存在唯一实数对1,2使a=1e1+2e2.但a是空间中任一向量时却未必有这个结论.故B,C,D均错,应选A. 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.对同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(,R)
4、 D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,都有a=e1+e2(,R) 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,用基底表示向量,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 用基底来表示向量主要有以下两种类型 (1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解. (2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采用方程思想求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,直线的向量参数方程式的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究
5、一,探究二,探究三,探究四,思想方法,向量法证明几何问题 【例4】 如图所示,点M是AB边上的中点,E是CM的中点,AE的延长线交BC于点F,MHAF,且MH交BC于点H.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟在平面几何中,当选择了适当的基底向量后,平面图形中的相应的边就可用基底向量表示出来,这样就把平面几何问题转化为向量问题,利用向量的共线、模、线性运算等来达到解决平面几何问题的目的.解决这类问题的关键是建立相应的基底向量,充分利用平面图形的性质.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方程的思想在向量中的应用 【典例】 如图所示,
6、在ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于R,T.求证:AR=RT=TC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛利用平面向量基本定理证明几何问题时,一般通过构造方程证明.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练用向量证明三角形三条中线交于一点.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.已知向量a和b不共线,实数x,y满足向量等式(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y的值等于 . 答案:1,1,2,3,4,5,5.已知向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3,问a能否表示成a=b+c(,R)的形式?若能,写出表达式;若不能,请说明理由. 解:能.假设a=b+c(,R),将a,b,c代入a=b+c, 得-e1+3e2+2e3=(4-3)e1+(-6+12)e2+(2+11)e3,
