1、2.3 变量的相关性,一、两个变量的关系 【问题思考】 1.填写下列表格:,2.函数关系与相关关系有何区别和联系? 提示函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能有很强的相关关系.然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及第三个因素年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大,身高也会高些. 两种关系之间的联系.两类关系在一定条件下可以相互转化,如正方形面积S与其边长x之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积时,由于测量误差等原因,其数值大小表现为一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说,在求得其回归直线之后,
2、又可以用一种确定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计. 在现实生活中,相关关系大量存在.从某种意义上说,函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.,3.做一做:下列关系中,是相关关系的有( ) 学生的学习态度与学习成绩之间的关系; 老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; 家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A. B. C. D. 答案:A,二、两个变量的线性相关 【问题思考】 1.填空: (1)散点图:将样本中n个数
3、据点(xi,yi)(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中得到的图形. (2)正相关与负相关 正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关. 负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.,2.做一做:判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )答案:C,三、最小二乘法 【问题思考】 填空: 设x,Y的一组观察值为(xi,yi),i=1,2,n,且回归直线方程为 =a+bx,当x取值xi(i=1,2,n)时,Y的观察值为yi,差yi- (i=1,2,n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的
4、平方和,即 作为总离差,并使之达到最小.这样,回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条,由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平方和为最小”的方法,叫做最小二乘法.,四、回归直线方程的系数计算公式 【问题思考】 1.填写下列表格:,3.做一做:在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的回归直线方程为( )A.y=x+1 B.y=x+2C.y=2x+1 D.y=x-1答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)立方体的棱长与体积两个变量具有正相关关系.( ) (2)若两个变量x和y
5、不具有线性相关关系,则x和y就不具有相关关系.( ) (3)利用回归直线方程求出的数值一定是准确值.( ) (4)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程,并且该方程能刻画这组数据的规律性.( ) (5)若根据一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)求得回归直线方程为 ,则所求得的回归直线方程对应的直线一定至少经过其中一点.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,思想方法,【例1】 (1)下列两个变量之间的关系为相关关系的是 ( ) A.角度和它的正弦值 B.圆的半径和圆的面积 C.正n边形的边数和内角之和 D.人的年龄和身高 (2)以下是某地
6、搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据:画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.,探究一,探究二,思想方法,(1)解析:角与它的正弦值是函数关系;圆的半径r与面积S=r2,正n边形的边数与内角之和h(n)=(n-2)180都是函数关系.而人的年龄和身高则具有相关关系. 答案:D (2)解:散点图如下:由散点图知销售价格与房屋面积这两个变量是正相关的关系.,探究一,探究二,思想方法,反思感悟两个随机变量x和y相关关系的确定方法 1.散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断. 2.表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. 3.经验法
7、:借助积累的经验进行分析判断.,探究一,探究二,思想方法,变式训练(1)图中的两个变量是相关关系的是 ( )A. B. C. D.,探究一,探究二,思想方法,(2)下列变量之间的关系不是相关关系的是( ) A.二次函数y=ax2+bx+c中,a,c是已知常数,取b为自变量,因变量是判别式=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩田施肥量和粮食亩产量 答案:(1)D (2)A,探究一,探究二,思想方法,【例2】 (1)若回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( )(2)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中
8、记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:请画出上表数据的散点图. 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程 .(参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5),探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,1.将例2(2)中条件不变,已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)中求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤? 解:当x=100时,y=0.7100+0.35=70.35(吨标准煤),90-70.35=19.65(吨标准
9、煤).即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤. 2.如果把例2(2)中的y的值2.5及4.5分别改为2和5,如何求回归直线方程. 解:散点坐标分别为(3,2),(4,3),(5,4),(6,5). 可验证这四点共线,斜率 ,所以直线方程为y-2=x-3,即直线方程为y=x-1.,探究一,探究二,思想方法,线性回归方程的求法与应用 【典例】 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:(1)画出散点图. (2)求线性回归方程. (3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?,探究一,探究二,思想方法,思路导引(1)横
10、坐标表示加工零件个数,纵坐标表示加工时间,建立平面直角坐标系即可绘制散点图. (2)利用散点图中点的走势即可得出变量之间是否线性相关,然后利用最小二乘法求出线性回归方程,利用方程得出(3)中的预测结论.,探究一,探究二,思想方法,解:(1)散点图如图所示.由散点图知二者呈线性相关关系.,探究一,探究二,思想方法,(2)设线性回归方程为y=bx+a. 列表并利用科学计算器进行有关计算.,探究一,探究二,思想方法,(3)由线性回归方程可以得出每多加工10个零件,就多花费6.68时.,探究一,探究二,思想方法,方法提炼1.解决此类问题,因为已知Y与x线性相关,所以只需代入公式进行求解,鉴于代入很烦琐
11、,因此要分步来求解,并且要注意运算结果的正确性. 2.根据线性回归方程来进行预测或估计时,要注意明确方程中的各个量在实际问题的含义,不要混淆,做到有的放矢. 3.线性回归方程中的回归系数b代表x每增加一个单位,y平均增加的单位数,而不是增加单位数,也就是说,此时对y的预测是平均预测.,1,2,3,4,5,6,1.如图所示,各图中的两个变量具有相关关系的是( )答案:C,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,答案:A,1,2,3,4,5,6,4.从某大学随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)和体重y(单位:kg)的回归方程为 =0.849x-85.712,则身高172
12、cm的女大学生,由回归方程可以预测其体重 ( ) A.为60.316 kg B.约为60.316 kg C.大于60.316 kg D.小于60.316 kg 解析:代入方程计算可知,但要注意回归方程得到的数据是模拟数据,与确定性关系得到的数据不一样,因此不能选A项. 答案:B,1,2,3,4,5,6,5.在研究硝酸钠的可溶性程度时,观测它在不同温度的水中的溶解度,得观测结果如下表:则由此得到回归直线的斜率为 . 答案:0.880 9,1,2,3,4,5,6,6.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得数据如下:如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.,
