1、第2课时 双曲线方程及性质的应用,1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题. 2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力.,1.本节的重点是直线和双曲线的位置关系中的弦长、中点弦问题. 2.本节的难点是与双曲线有关的综合问题.,直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax+By+C=0， 双曲线： 两方程联立消去y，得mx2+nx+q=0.,2个或1个,m=0或,1个,m0且=0,0个,m0且0,1.研究直线和双曲线位置关系时，联立直线和双曲线的方程消元后得到的方程一定是二次方程吗？ 提示
2、：不一定，可能是一次的，也可能是二次的.当得到一次方程时，直线一定和双曲线的渐近线平行.,2.直线和双曲线有一个公共点，能否判断直线和双曲线一定相切？ 提示：不能，当直线和双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.,3.直线2x-y-10=0与双曲线 的交点是_. 【解析】由 得3x2-32x+84=0,解得x=6或 将其分别代入直线方程得 即交点坐标为 （6,2）和 答案:（6，2）和,正确理解直线与双曲线位置关系及判定 一般地，设直线l：y=kx+m（m0）, 双曲线C： 把代入得 （b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.,（1）当b2-
3、a2k2=0，即 时，直线l与双曲线的渐近线平 行，直线与双曲线C相交于一点. （2）当b2-a2k20，即 时， =(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). 0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； 0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.,直线和双曲线位置关系的判定 【技法点拨】 直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题 直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点但判定直线与双曲线
4、是否相交、相切、相离时应注意：,（1）直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分； （2）直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分 故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,【典例训练】 1.已知双曲线 过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个 公共点，则这样的直线l有_条. 2.已知直线ykx1与双曲线x2y24. (1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范 围； (2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围,【解析】1.（1）当直线l的斜率不存在时，l：x1与双曲线相切，符合题意； （2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x1)1， 代入双
5、曲线方程得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50. 当4k20，即k2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；,当4k20时，令0，所以 综上所述，当 或k2或斜率不存在时满足题意， 所以这样的直线一共有4条. 答案:4,2.(1)联立方程组 消去y 得方程(1k2)x22kx50， 由题意得，此方程有两个不等的正根,(2)由 得(1k2)x22kx50, 由题意知此方程无解则k的取值范围为,【互动探究】第2题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k 的值. 【解析】联立方程组 得方程(1k2)x22kx5 0， 由直线与双曲线只有一个公共点知方程(1k2)x22kx50 只有
6、一个解,当1-k2=0,即k=1时，方程只有一解； 当1-k20时，需满足=4k2+20(1-k2)=0, 解得 综上可知,k的值为1或,【思考】求解第1题时容易忽略哪种情形？“直线与双曲线有两相异交点”和“直线与双曲线的右支有相异两交点”有何区别？ 提示：(1)求解第1题时容易忽略直线l的斜率不存在的情形而出错； (2)直线与双曲线的右支有相异两交点是直线与双曲线有两相异交点的一种情形，消y之后的方程有两正根.,【变式训练】已知直线kx-y+1=0与双曲线 相交于两 个不同点A、B. （1）求k的取值范围； （2）若x轴上的点M（3，0）到A、B两点的距离相等，求k的 值,【解题指南】由于直
7、线与双曲线相交于两个不同的点，所以可直接利用判别式求得k的范围，但注意一元二次方程的二次项系数不能为0；解答(2)的关键是建立关于k的方程，可以从“点M（3，0）到A、B两点的距离相等”上突破，利用中点坐标公式和直线的斜率间关系解答,【解析】（1）由 得（1-2k2）x2-4kx-4=0.解得：-1k1且,（2） 设A（x1,y1），B(x2,y2),则 设P为AB中点，则 即 M(3,0)到A、B两点的距离相等， MPAB，kMPkAB=-1,即解得 或k=-1（舍去），,直线与双曲线的相交弦问题 【技法点拨】 1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式 求出直线和双曲线的
8、两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长.,方法二：利用弦长公式 设斜率为k(k0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2， y2)，则,2.解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方 程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以 及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐 标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的 关系，可求斜率 这是解决与中点有关问题的简便而 有效的方法求弦中点轨迹问题，此方法依然有效,【典例训练】 1.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F
9、的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程 为( ) (A) (B) (C) (D),2.(2012武威高二检测)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-于A,B两点，且M为AB中点. （1）求直线l的方程； （2）求线段AB的长.,【解析】1.选B.由c3，设双曲线方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ，得 又N(12，15)为AB中点， x1x224，y1y230.,a24.双曲线方程为,2.（1）设A（x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得两式相减得M为AB的中点，x1+x2=4,y1+y2=4,l的方程为y-2=4(x-2)，即y=
10、4x-6.,(2)将y=4x-6代入到 中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,【思考】双曲线弦的中点坐标（x0,y0)与弦所在直线斜率k的关 系. 提示：利用点差法可得双曲线中弦的中点坐标与弦所在直线的 斜率关系是： （1）当双曲线的焦点在x轴上时 （2）当双曲线的焦点在y轴上时,【变式训练】已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长,【解析】a1， 又直线l过点F2(2,0)，且斜率ktan451， l的方程为yx2， 由 消去y并整理得2x24x70. 设A(x1，y1)，B(x2，y
11、2)，x1x2 A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上 x1x22，x1x2,与双曲线有关的综合问题 【技法点拨】 与双曲线有关的综合问题的几点认识 （1）双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范围等性质的综合应用，需要综合上述性质解决问题.,（2）双曲线的综合问题往往与向量、三角、不等式等知识结合，考查综合运用数学知识的能力. （3）双曲线的综合问题多以直线与双曲线相交的形式出现.因此常常需联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程根与系数的关系构造相关数量关系.,【典例训练】 1.(2011山东高考)已知双曲线 的两条 渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为
12、 圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ) (A) (B) (D),2.设双曲线C： 与直线l:x+y=1相交于两个不同 点A，B. （1）求双曲线C的离心率e的取值范围； （2）设直线l与y轴的交点为P，若 求a的值.,【解析】1.选A.双曲线 的渐近线方程为 圆C的标准方程为(x3)2y24， 圆心为C(3,0) 又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，又 的右焦点 为圆心C(3,0)，,a2b29. 由得a25，b24. 双曲线的标准方程为,2.（1）将y=-x+1代入双曲线方程 得（1-a2）x2+ 2a2x-2a2=0. 所以 解得 又双曲线的离心率 所以,（2）设A（x1,
13、y1），B（x2,y2）,P(0,1), 因为 所以 所以 由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的两根， 且1-a20, 所以 消去x2,得,【总结】由2题中问题的解答你学会了哪些分析和解决问题的方法？ 提示：将题干中已知的向量关系转化为几何条件，通过几何条件进一步转化为方程研究问题，这是解决本题的主导思想和方法，也是我们研究与椭圆、双曲线有关的综合问题的主要思路.,【变式训练】已知双曲线 的离心率e直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，原点O到直线l的距离是(1)求双曲线的方程； (2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 求直 线m的方程,【解析】(1)依题意，直
14、线l方程为 即bxayab 0，由原点O到l的距离为故所求双曲线方程为 (2)显然直线m不与x轴垂直，设直线m方程为ykx1， 点M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2), 联立方程组,消去y，得(13k2)x26kx60. 依题意，13k20，由根与系数的关系， 知,又当 时，方程有两个不相等的实数根， 方程为,【规范解答】利用根与系数的关系判断直线和双曲线位置关系 【典例】（12分）（2012赣州高二检测）已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）. （1）求过点P（1，2）的直线l的斜率的取值范围，使l与C有两个交点. （2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.,【解
15、题指导】,【规范解答】（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为 x=1，与双曲线C只有一个交点.1分 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1)，代入C的方 程，并整理得 （2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.3分 （）当2-k2=0,即 时，方程有一个根，l与C只有一 个交点.4分,（）当2-k20,即 =2（k2-2k）2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)，6分 当0，即 时，又 故当时，方程有两不等实根，l与C有两个交点.8分,（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1,y1）, B(x2,y2)，则 9分 两式相减得：2(x1
16、-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=2,2(x1-x2)=y1-y2, 即才 10分 由（1）可知直线AB与双曲线C无交点， 所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,【规范训练】（12分）已知双曲线 上存在关于直线l： ykx4的对称点，求实数k的取值范围 【解题设问】双曲线上两对称点的中点是否在直线l上？_.,是,【规范答题】(1)当k0时，显然不成立1分 (2)当k0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐 标为M(x0，y0
17、)，由lAB, 可设直线AB的方程为 将其代入3x2y23中， 得(3k21)x22kbx(b23)k20.4分 显然3k210，0,即k2b23k210.,由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为6分 因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上， 从而有 8分 即k2b3k21， 将代入得k2b2k2b0，b0或b1，,即且k0， 12分,1.如图，axyb0和bx2ay2ab(ab0)所表示的曲线只可能是( ),【解析】选C.直线axyb0可化为yaxb，曲线bx2 ay2ab可化为 若ab0，则A中曲线错误，B中曲线不存在 若ab0，则D中曲线错误，故选C.,2.已知双曲线 的两条渐近
18、线的夹角是60， 则其离心率是( ) (A) (B) (C) (D)2 【解析】选A.双曲线中 渐近线的倾斜角的正切 值满足：0tan1，0 又两渐近线的夹角是60，故=30，由tan30= 可求得答案.,3.过双曲线 的一个焦点F作一条渐近线的 垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双 曲线的离心率为( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选B.如图，不妨设F为右焦点， 向渐近线 所作垂线的垂足为P， 则由题知|PO|=|PF|， POF=45， 即 双曲线的离心率 故选B.,4.直线y=x+1与双曲线 相交于A，B两点，则|AB|= _. 【解析】联立方程得 得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1x2=-8, 所以答案:,5.已知双曲线 过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B 两点若P为AB的中点， (1)求直线AB的方程； (2)求弦AB的长 【解析】(1)易知直线AB的斜率存在 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2y23，得,两式相减得：3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)， 即 所以直线AB的斜率所以直线AB的方程为6xy110.,(2)将y6x11代入3x2y23，得33x2132x1240. 由弦长公式得 所以,
