1、第5章 线性规划方法,线性规划及其单纯形求解方法 线性规划的对偶理论 运输问题的求解方法:表上作业法,线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业管理等各个领域。 在地理学领域，线性规划，作为传统的计量地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统优化问题的重要手段。,线性规划的数学模型 线性规划的标准形式及方法 线性规划的解及其性质 线性规划问题的求解方法单纯形法 应用实例: 农场种植计划模型,第1节 线性规划及其单纯形求解方法,（一）线性规划模型之实例线性规划研究的两类问题
2、：某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成该项任务；面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最优规划的范畴。以下为一些实例。,一、线性规划的数学模型,运输问题假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有m个产地，n个销地。第i产地的产量为ai（i=1，2，m），第j 销地的需求量为bj(j=1, 2，n)，它们满足产销平衡条件。如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：,设xij表示由产地i供给销地j 的物资数量，则上述问题可以表述为： 求一组实值变量xij(i=1，2，m；j=1，2，n)
3、，使其满足,而且使,资源利用问题,假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，m；j=1,2, ,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， ，n)。试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总产值达到最大?,设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，n)，则上述资源问题就是：,求一组实数变量xj(j=1，2，n)，使其满足,合理下料问题,用某种原材料切割零件A1，A2, ,Am的毛坯，现已设计出在一块原材料上有B1，B2，Bn种不同
4、的下料方式，如用Bj下料方式可得Ai种零件aij个，设Ai种零件的需要量为bi个。试问应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要，又节约原材料？,设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题可表示为：,求一组整数变量xj(j=1，2，n)，使得,（二）线性规划的数学模型,以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： 每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，xn）表示某一规划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未知变量的取值是非负的。每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同，常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内
5、。每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的。,由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式为：在线性约束条件,以及非负约束条件xj0（j=1，2，n） 下，求一组未知变量xj (j=1，2， ，n)的值，使,采用矩阵形式可描述为：在约束条件 AX(，)b X0 下，求未知向量 ，使得 Z=CXmax(min) 其中,二、线性规划的标准形式及方法,(一）线性规划的标准形式 在讨论与计算时，需要将线性规划问题的数学模型转化为标准形式，即在约束条件,xj0（j = 1，2，n） 下，求一组未知变量xj（j = 1，2，n）的值，使,其缩写形式为：在约束条件,x0（j = 1，2，n） 下，求一组未
6、知变量（j = 1，2，n）的值，使得常记为如下更为紧凑的形式,或,（二）化为标准形式的方法,具体的线性规划问题，需要对目标函数或约束条件进行转换，化为标准形式。 目标函数化为标准形式的方法 如果其线性规划问题的目标函数为min Z = CX 显然有 minZ = max(-Z)=max Z 则目标函数的标准形式为 max Z= -CX,约束方程化为标准形式的方法 若第k个约束方程为不等式，即 引入松弛变量 , K个方程改写为则目标函数标准形式为,三、线性规划的解及其性质,(一)线性规划的解 可行解与最优解满足约束条件（即满足线性约束和非负约束）的一组变量为可行解。所有可行解组成的集合称为可行
7、域。使目标函数最大或最小化的可行解称为最优解。,基本解与基本可行解 在线性规划问题中，将约束方程组的mn阶矩阵A写成由n个列向量组成的分块矩阵,如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该线性规划问题的一个基。不失一般性，不妨设则称 为基向量，与基向量相对应的向量 为基变量，而其余的变量为非基变量。,如果 是方程组 的解, 则 就是方程 组 的一个解，它称之为对应于基B的基本解，简称基解。满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解。对应于基本可行解的基，称为可行基。,线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：,(二)线性规划解的性质,凸集和顶点 凸集：若连接n维点集S中的任意两点X(1)和
8、X(2)之间的线段仍在S中，则S为凸集。 顶点：若凸集S中的点X(0)不能成为S中任何线段的内点，则称X(0)为S的顶点或极点。,线性规划解的性质 线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本可行解。若可行解集有界，则线性规划问题的最优值一定可以在其顶点上达到。 因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有限个顶点中去寻找。,四、线性规划问题的求解方法单纯形法,（一）单纯形表 根据以上讨论，令 则基变量 ，非基变量，则有 变形得,相应地，记目标函数记为则对应于基B的基本解为,最优解的判定当 时， 则由目标函数式可看出：对应于B的基本可行解为最优解，这时，B也被称
9、为最优基。由于 与 等价，故可得。 最优解的判定定理 对于基B ，若 ，且 , 则对应于基B 的基本解为最优解， B为最优基。,在上式中，称系数矩阵,为对应于基B的单纯形表，记为T(B) 。,或,对目标函数与约束不等式运用矩阵变形得,如果记,以及,则,(二) 单纯形法的计算步骤,第1步，找出初始可行基，建立初始单纯形表。第2步，判别检验所有的检验系数 （1）如果所有的检验系数 , 则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可行解就是最优解。 （2）若检验系数中，有些为正数，但其中某一正的检验系数所对应的列向量的各分量均非正，则线性规划问题无解。（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的
10、列向量中有正的分量，则需要换基、进行迭代运算。,第3步，选主元。 在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s，对应的非基变量为xs，对应的列向量为 若 则确定brs为主元项。 第4步，在基B中调进Ps，换出Pjr，得到一个新的基第5步，在单纯形表上进行初等行变换，使第s列向量变为单位向量，又得一张新的单纯形表。第6步，转入上述第2步。,例1：用单纯形方法求解线性规划问题,解：首先引入松弛变量 ，把原问题化为 标准形式,具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表5.1.1。,第2步，判别。在初始单纯形表中b01=2, b02=3，所以B1不是最优基，进行换基迭代。第3步，选主元。 根据选主元法则，确
11、定主元项 。第4步 ，换基，得一新基 。,表5.1.1,第5步，进行初等行变换， 得B2下的新单纯形表,第6步，因检验系数有正数b01=1，重复以上步骤可得对应于 B3=p2,p3的单纯形表，检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3, X3=0, X4=0:目标函数最大值为 Z=15。,表5.1.2,表5.1.3,五、应用实例: 农场种植计划模型,某农场I、II、III等耕地的面积分别为100 hm2、300 hm2和200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求3种作物的最低收获量分别为190 000 kg、130 000 kg和350 000 kg。I、II、III等耕地种植3种作物的单
12、产如表5.1.4所示。若3种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/ kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？,表5.1.4 不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm2),表5.1.4,对于上面的农场种植计划问题，我们可以用线性规划方法建立模型。根据题意，决策变量设置如表5.1.5所示, 表中Xij表示在第j等级的耕地上种植第i种作物的面积。3种作物的产量可以用表5.1.6表示。,表5.1.5 作物计划种植面积（单位:hm2) 表5.1.6 3种作物的总产量（单位:kg）,根据题意，约束方程
13、如下,耕地面积约束最低收获量约束 非负约束,（1）追求最大总产量的目标函数为调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数，进行求解运算，可以得到一个最优解（如表5.1.7所示）。在该方案下，最优值，即最大总产量为6 892 200 kg。从表中可以看出，如果以追求总产量最大为种植计划目标，那么，玉米的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。,表5.1.7 追求总产量最大的计划方案（单位：hm2）,(2) 追求最大总产值的目标函数为 进行求解运算，可以得到一个最优解（如表5.1.8所示）。在该方案下，最优值，即最大总产值为6 830 500元。从表中可以看出，如果以追求总产值最大为种植计划目标，那么，水稻的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。,表5.1.8 追求总产值最大的计划方案（单位：hm2）,
