1、函数及其图像,1. 常量、变量：在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做 ；可以取不同数值的量叫做 2函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是 ，y是x的 3函数自变量取值范围：由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义,要点梳理,常量,变量,自变量,函数,4函数的图象和函数表示方法：(1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是这个函数的图象(2)
2、函数的表示法： ； ； ,解析法,列表法,图象法,1理解并掌握平面中确定点的位置的方法 在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据利用纵横交错法确定点的位置，要知道横向、纵向的格数；利用“方位角距离”来确定点的位置，需知道该点相对于参考点的方位角和距离确定位置的方法，除了上面所述的两种，还有区域法等用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单位长度直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中研究的基本对象“点”与代数中研究的基本对象“数”联系起来，从而将“数”与“形”相结合，这样就使得我们可以用代数的方法来研究几何图形, 难点正本 疑点清源 ,2了解函数三种表示方法的特点 解析法
3、是用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式，如s80t，Ar2等解析法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化过程中函数与自变量之间的全部相依关系，适合于作理论分析和计算、推导许多定律、法则都用解析式(即公式)来表示但在求对应值时，需要逐个计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无法用解析式表示出来 列表法指用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难找到函数关系式的情况缺点是不能把自变量与函数的全部对应值列出来，而且从表格中也不易看出自变量与函数之间的对
4、应规律,图象法是指用图象来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法在给定的函数中，把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象函数的变化情况和某些性质在图象上能够很直观地显示出来，以后我们通常借助函数的图象来探索函数的性质其缺点在于从图象上找自变量与函数的对应值一般只是近似的，且只反映出变量间关系的一部分而不是全体 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长，综合运用这三种方法来研究有关函数问题，并且函数三种表示法可以相互联系与转化,1函数y 中自变量x的取值范围是( )Ax0 Bx2Cx2 Dx2解析：x2
5、0，x2.,基础自测,C,2根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是( )A男生在13岁时身高增长速度最快B女生在10岁以后身高增长速度放慢C11岁时男女生身高增长速度基本相同D女生身高增长的速度总比男生慢解析：女生在7岁到11岁时，身高增长的速度比男生快，故选D.,D,3甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少( )A12天 B14天 C16天 D18天解析：甲独做的工作效率 10
6、 ；甲、乙合做的工作效率 (1410) . 8.实际完成这项工程所 用时间为104822(天)，而甲单独完成所需时间为40(天)，402218(天),D,4下列函数的图象，经过原点的是( )Ay5x23x Byx21Cy Dy3x7解析：当x0时，y502300，图象过原点(0,0),A,5在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示有下列说法：起跑后1小时内，甲在乙的前面；第1小时两人都跑了10千米；甲比乙先到达终点；两人都跑了20千米其中正确的说法有 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：说法错误，应该是乙比甲先到达终点,C
7、,题型一 确定自变量的取值范围 【例 1】 函数y 中，自变量x的取值范围是_ _解析： 中x作为被开方数，x0；中x1作为分母，x10，x0且x1.,题型分类 深度剖析,x0且x1,探究提高 代数式有意义的条件问题：(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数；(2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为0的全体实数；(3)若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数；(4)若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数不等于0的全体实数；(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意，只能就已知的解析式进行求
8、解，而不能进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式,知能迁移1 下列函数中，自变量x的取值范围为x1的是 ( )A. y B. y1C. y D. y解析：由1x0，得x1.,D,题型二 由自变量取值，求函数值,【例 2】 已知y2x4，且1x6，242x464， 2分即62x42.y2x4，6y2，即2y6. 4分,解法2：y2x4，x .1分1x3，1 3. 2分24y6，24y64，6y2，2y6. 4分,探究提高 结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定函数的取值范围,知能迁移2 已知函数f(x) ，那么f(1)_. 解析：当x1时，f(1) .,题型三 确定实际背景下
9、的函数关系式,【例 3】 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x(m)，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系为_ _(不要求写自变量的取值范围)解析：yABBCx x215x.探究提高 本题利用了几何中的公式，用自变量表示因变量, x215x,知能迁移3 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元在这20名工人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件(1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关
10、系式；(2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？解：(1)y6x1505(20x)260900x260001300x400x26000.(2)y24000，400x2600024000，400x2000，x5.答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适,题型四 观察图象，求解实际问题,【例 4】 甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区离学校有9 km，甲以匀速行驶，花了30 min到校，乙的行程信息如图中折线OABC所示，分别用y1、y2表示甲、乙在时间x(min)时的行程，请回答下列
11、问题(1)分别用含x的解析式表示y1、y2(标明x的范围)，并在图中画出函数y1的图象；(2)甲、乙两人在途中有几次相遇？分别是出发后的多长时间相遇？,探究提高 要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况分析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察图象求解,知能迁移4 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明
12、理由；(2)求返程中y与x之间的函数表达式；(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离,解：(1)120260；120(52.5)1202.548.6048，往、返速度不相同(2)设返程中y与x之间的函数关系式为ykxb.得y48x240.(2.5x5)(3)当x4时，y48424048.答：这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离是48 km.,方法与技巧 1. 自变量x取值范围常见类型：(1)若解析式是整式，则x可取全体实数；(2)若解析式是分式，则必须使得分母不为0；(3)若解析式是二次根式，则必须使得被开方数不小于0；(4)对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义2. 理解图象上任意一点的横坐标与纵坐标和解析式中的x、y的相互对应关系，重视数形结合的思想方法,思想方法 感悟提高,
