第四章---正则表达式.ppt

1、第4章 正则表达式,正则文法擅长语言的产生,有穷状态自动机擅长语言的识别。 本章讨论正则语言的正则表达式描述。它在对正则语言的表达上具有特殊的优势,为正则语言的计算机处理提供了方便条件。 简洁、更接近语言的集合表示和语言的计算机表示等。,第4章 正则表达式,主要内容 典型RE的构造。 与RE等价FA的构造方法。 与DFA等价的RE的构造。 重点 RE的概念。 RE与DFA的等价性。 难点：RE与DFA的等价性证明。,在前面我们已经用到了一些类似正则表达式来表示语言(红色部分)： L(G)=0n|n1 L(G)=anbn |n1 L(G)=0n1m2k|n,m,k1 这种表示法的优点： 比文法和

2、有穷状态自动机简单； 更接近集合表示和计算机表示。,4.1 启示,产生语言anbmck|n,m,k1 aicnbxam|i0,n1,m2,x为d和e组成的串 的正则文法为 AaA|aB|cE BbB|bC CcC|c E cE|bF FdF|eF|aH HaH|a,4.1 启示,接受此语言的NFA M,4.1 启示,计算集合 set(q) set(A)=an|n0=a* set(B)= set(A)abn|n0=anabm|m,n0=a*ab*=a+b* set(C)= set(B)bc*=a*ab*bc*=a+b+c* set(D)= set(C) c=a+b+c*c=a+b+c+,4.1

3、启示,set(E)= set(A)cc*=a*cc*=a*c+ set(F)= set(E)bd,e*=a*c+bd,e* set(H)= set(F)aa*=a*c+b d,e*aa*=a*c+d,e*a+ set(I)= set(H)a=a*c+b d,e*a+a L(M)= set(D)set(H)= a+b+c+a*c+b d,e*a+a,4.1 启示,根据集合运算的定义, d,e=de。 从而,d,e*=(de)*。 这样可以将L(M)写成如下形式：L(M)= a+b+c+a*c+b (de)*a+a 记作：a+b+c+a*c+(d+e)*a+a= aa*bb*cc*+a*cc*b(

4、d+e)* aaa*,4.2 RE的形式定义,正则表达式(regular expression,RE) 是上的RE,它表示语言； 是上的RE,它表示语言； 对于a,a是上的RE,它表示语言a； 如果r和s分别是上表示语言R和S的RE,则：r与s的“和” (r+s)是上的RE,(r+s)表达的语言为RS；r与s的“乘积” (rs)是上的RE,(rs)表达的语言为RS；r的克林闭包(r*)是上的RE,(r*)表达的语言为R*。 只有满足、的才是上的RE。,4.2 RE的形式定义,例 4-1 设=0,1 0,表示语言0； 1,表示语言1； (0+1),表示语言0,1； (01),表示语言01； (0

5、+1)*),表示语言0,1*； (00)(00)*),表示语言0000*；,4.2 RE的形式定义,(0+1)*)(0+1)(0+1)*),表示语言0,1+； (0+1)*)000)(0+1)*),表示0,1上的至少含有3个连续0的串组成的语言； (0+1)*)0)1),表示所有以01结尾的0、1字符串组成的语言； (1(0+1)*)0),表示所有以1开头,并且以0结尾的0、1字符串组成的语言。,4.2 RE的形式定义,约定 r的正闭包r+表示r与(r*)的乘积以及(r*)与r的乘积：r+=(r(r*)=(r*)r) 闭包运算的优先级最高,乘运算的优先级次 之,加运算“+”的优先级最低。所以,

6、在意义明确时,可以省略其中某些括号。 (0+1)*)000)(0+1)*)=(0+1)*000(0+1)*,4.2 RE的形式定义,(0+1)*)(0+1)(0+1)*)=(0+1)*(0+1)(0+1)* 在意义明确时,RE r表示的语言记为L(r),也可以直接地记为r。 加、乘、闭包运算均执行左结合规则。,4.2 RE的形式定义,相等(equivalence) r、s是字母表上的一个RE,如果L(r)=L(s),则称r与s相等,记作r=s 。 相等也称为等价。 基本结论 结合律：(rs)t=r(st)(r+s)+t=r+(s+t) 分配律：r(s+t)=rs+rt(s+t)r=sr+tr,

7、4.2 RE的形式定义, 交换律： r+s=s+r。 幂等律： r+r=r。 加法运算零元素：r+=r。 乘法运算单位元：r=r=r。 乘法运算零元素：r=r=。 L()=。 L()=。 L(a)=a。,4.2 RE的形式定义, L(rs)=L(r)L(s)。 L(r+s)=L(r)L(s)。 L(r*)=(L(r)* 。 L(*)=。 L(r+)*)=L(r*)。 L(r*)*)=L(r*)。 L(r*s*)*)=L(r+s)*)。 如果L(r) L(s),则r+s=s。,4.2 RE的形式定义, L(rn)=(L(r)n 。 rnrm=rn+m 。 一般地, r+r,(rs)n rnsn,

8、rssr。 幂 r是字母表上的RE,r的n次幂定义为 r0=。 rn=rn-1r。,4.2 RE的形式定义,例 4-2 设=0,1 00表示语言00； (0+1)*00(0+1)*表示所有的至少含两个连续0的0、1串组成的语言； (0+1)*1(0+1)9表示所有的倒数第10个字符为1的串组成的语言；,4.2 RE的形式定义,L(0+1)*011)=x|x是以011结尾的0、1串； L(0+1+2+)=0n1m2k|m,n,k1； L(0*1*2*)=0n1m2k|m,n,k0； L(1(0+1)*1+0(0+1)*0)=x|x的开头字符与尾字符相同。,4.3 RE与FA等价,正则表达式r称为

9、与FA M等价,如果L(r)=L(M)。 从开始状态出发,根据状态之间按照转移所确定的后继关系,依次计算出所给FA的各个状态q对应的set(q),并且最终得到相应的FA接受的语言的RE表示。 寻找一种比较“机械”的方法,使得计算机系统能够自动完成FA与RE之间的转换。,4.3.1 RE到FA的等价变换,0对应的FA,01对应的FA,4.3.1 RE到FA的等价变换,0+1对应的FA,4.3.1 RE到FA的等价变换,0*对应的FA,4.3.1 RE到FA的等价变换,定理 4-1 RE表示的语言是RL。 证明： 施归纳于正则表达式中所含的运算符的个数n,证明对于字母表上的任意正则表达式r,存在F

10、A M,使得L(M) = L(r) 。 M恰有一个终止状态。 M在终止状态下不作任何移动。,4.3.1 RE到FA的等价变换,n=0,r=,r=,r=a,4.3.1 RE到FA的等价变换,设结论对于n=k时成立,此时有如下FA： M1=(Q1,1,q01,f1) M2=(Q2,2,q02,f2) L(M1)=L(r1), L(M2)=L(r2) 。 Q1Q2=。,n=k,4.3.1 RE到FA的等价变换,n=k+1,r=r1+r2,取q0,fQ1Q2,令M=(Q1Q2q0,f,q0,f) (q0,)=q01,q02； 对qQ1,a,(q,a)=1(q,a);对qQ2,a,(q,a)=2(q,a

11、)； (f1,)=f； (f2,)=f。,4.3.1 RE到FA的等价变换,n=k+1,r=r1+r2,4.3.1 RE到FA的等价变换,M=(Q1Q2,q01,f2) 对qQ1-f1,a (q,a)=1(q,a)； 对qQ2-f2,a (q,a)=2(q,a)； (f1,)=q02,4.3.1 RE到FA的等价变换,r=r1r2,4.3.1 RE到FA的等价变换,M=(Q1q0,f,q0,f) 其中q0,fQ1,定义为 对qQ1-f1,a, (q,a)=1(q,a)。 (f1,)=q01,f。 (q0,)=q01,f。,4.3.1 RE到FA的等价变换,r=r1*,4.3.1 RE到FA的等

12、价变换,按照定理4-1证明给出的方法构造一个给定RE的等价FA时,该FA有可能含有许多的空移动。 可以按照自己对给定RE的“理解”以及对FA的 “理解” “直接地”构造出一个比较“简单”的FA。 定理证明中所给的方法是机械的。由于“直接地”构造出的FA的正确性依赖于构造者的“理解”,所以它的正确性缺乏有力的保证。,4.3.1 RE到FA的等价变换,例 4-3 构造与 (0+1)*0+(00)*等价的FA。,4.3.1 RE到FA的等价变换,按照对(0+1)*0+(00)*的“理解” “直接地”构造出的FA。,4.3.2 RL可以用RE表示,计算DFA的每个状态对应的集合字母表的克林闭包的等价分

13、类,是具有启发意义的。 这个计算过程难以“机械”地进行。 计算q1到q2的一类串的集合：Rkij 。 图上作业法。,4.3.2 RL可以用RE表示,定理4-2 RL可以用RE表示。 设DFA M=(q1,q2,qn,q1,F) Rkij=x|(qi,x)=qj而且对于x的任意前缀y(yx,y),如果(qi,y)=ql,则lk。,4.3.2 RL可以用RE表示,R0ij=,a|(qi,a)=qj 如果ij,a|(qi,a)=qj 如果i=j,Rkij= Rk-1ik( Rk-1kk)* Rk-1kj Rk-1ij,4.3.2 RL可以用RE表示,图上作业法 启示,4.3.2 RL可以用RE表示,

14、图上作业法操作步骤 预处理： 用标记为X和Y的状态将M“括起来”：在状态转移图中增加标记为X和Y的状态, 从标记为X的状态到标记为q0的状态引一条标记为的弧；从标记为q(qF)的状态到标记为Y的状态分别引一条标记为的弧。 去掉所有的不可达状态。,4.3.2 RL可以用RE表示, 对通过步骤(1)处理所得到的状态转移图重复如下操作,直到该图中不再包含除了标记为X和Y外的其他状态,并且这两个状态之间最多只有一条弧。 并弧 将从q到p的标记为r1,r2,rg并行弧用从q到p的、标记为r1+r2+rg的弧取代这g个并行弧。,4.3.2 RL可以用RE表示,去状态1 如果从q到p有一条标记为r1的弧,从

15、p到t有一条标记为r2的弧,不存在从状态p到状态p的弧,将状态p和与之关联的这两条弧去掉,用一条从q到t的标记为r1r2的弧代替。 去状态2 如果从q到p有一条标记为r1的弧,从p到t有一条标记为r2的弧,从状态p到状态p标记为r3的弧,将状态p和与之关联的这三条弧去掉,用一条从q到t的标记为r1r3*r2的弧代替。,4.3.2 RL可以用RE表示,去状态3 如果图中只有三个状态,而且不存在从标记为X的状态到达标记为Y的状态的路,则将除标记为X的状态和标记为Y的状态之外的第3个状态及其相关的弧全部删除。, 从标记为X的状态到标记为Y的状态的弧的标记为所求的正则表达式。如果此弧不存在,则所求的正

16、则表达式为。,4.3.2 RL可以用RE表示,例 4-4 求图4-14所示的DFA等价的RE 。,4.3.2 RL可以用RE表示,预处理：,4.3.2 RL可以用RE表示,去掉状态q3：,4.3.2 RL可以用RE表示,去掉状态q4：,4.3.2 RL可以用RE表示,合并从标记为q2的状态到标记为Y的状态的两条并行弧。,4.3.2 RL可以用RE表示,去掉状态q0：,11*0,4.3.2 RL可以用RE表示,并弧：,4.3.2 RL可以用RE表示,去掉状态q1：,4.3.2 RL可以用RE表示,去掉状态q2：,1*0(11*0)*0(00*111*0+00*10+11*0)(11*0)*0)(

17、00*+00*1)就是所求。,4.3.2 RL可以用RE表示,几点值得注意的问题 如果去状态的顺序不一样,则得到的RE可能在形式是不一样,但它们都是等价的。 当DFA的终止状态都是不可达的时候,状态转移图中必不存在从开始状态到终止状态的路。此时,相应的RE为。 不计算自身到自身的弧,如果状态q的入度为n,出度为m,则将状态q及其相关的弧去掉之后,需要添加n*m条新弧。 (4)对操作的步数施归纳,可以证明它的正确性。,4.3.2 RL可以用RE表示,推论4-1 正则表达式与FA、正则文法等价,是正则语言的表示模型。,4.4 正则语言等价模型的总结,4.4 正则语言等价模型的总结,4.5 小结,本章讨论了RL及其与FA的等价性。字母表上的RE用来表示上的RL。、a（a）,是上的最基本的RE,它们分别表示语言、a,以此为基础,如果r和s分别是上的表示语言R和S的RE,则r+s、rs 、r*分别是上的表示语言RS、RS、 R*的RE。如果L(r)=L(s),则称r与s等价。,4.5 小结,RE对乘、加满足结合律；乘对加满足左、 右分配律；加满足交换率和幂等率；是加运算的零元素；是乘运算的单位元；是乘运算的零元素。RE是RL的一种描述。容易根据RE构造出与它等价的FA。反过来,可以用图上作业法构造出与给定的DFA等价的RE。RL的5种等价描述模型转换图。,