1、二道中学 何凯,18.2.3 正方形,学习目标 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的联系和区别； 2.能用正方形的定义、性质进行推理与计算学习重点正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系,矩 形,正方形,矩形怎样变化后就成了正方形呢?,探 究（一）,探 究（二）,菱形怎样变化后就成了正方形呢?,正方形,探究小结,矩 形,正方形,邻边,相等,发现： 一组邻边相等的矩形叫正方形,菱 形,一个角,是直角,正方形,发现： 一个角为直角的菱形叫正方形,正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,对角线相等,对角线互
2、相垂直,正方形的定义：,正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形。,正方形具有矩形性质，同时也具有菱形形性质。,正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？,快速抢答,正方形是中心对称图形，它也是轴对称图形,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行， 四条边都相等,四 个 角都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD 是正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形 A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形 ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形 中心对称图形,正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间
3、的关系：,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等且有一个角是直角,例1：求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO,分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可
4、以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.,A,D,C,B,O,正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？,拓展讨论:,结论： 分成八个等腰直角三角形:ABC、 ADC、 ABD、 BCD ；AOB、 BOC、 COD、 DOA.,例1、直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四边形ABCD为矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边
5、相等的矩形是正方形,2.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？,解：根据勾股定理：BC2= EC2- EB2 = 302 102 = 800BC=这块场地的面积= 800 对角线AC = 40,30,10,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，大家观察 图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245 条件够吗？,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三
6、角形已经满足 了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：四边形ABCD是正方形 OAOB ,12345 又MNABOMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即AMBN,下面大家自己完成证明,例3：已知正方形ABCD， M是AD上的点， ME BD，MF AC，垂足分别为E、F,（1） 若对角线AC=12cm，求ME+MF的长。,A,B,C,D,O,M,F,E,（2）若M是AD上的一个动点，ME+MF的长度是否发生改变？,ME + MF = 6cm,例4已知：如图(4)在
7、正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,证明：CEAF ADCAEM90 又CMDAME 12 又CDAD，ADFMDC RtCDMRtADF (AAS) DM=DF,下面的证明请大家完成,例5：在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想,A,D,C,B,E,F,AB + BE = AC,截短法,1,2,例5：在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想,A,D,C,B,E,G,AB + BE = AC,补长法,1,2,例5：在正方形ABC
8、D中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想,A,D,C,B,E,G,AB + BE = AC,补长法,1,2,3,4,5,、对角线相等的菱形是正方形,、对角线互相垂直的矩形是正方形,、对角线互相垂直且相等的四边 形是正方形, 四条边都相等的四边形是正方形,、四个角都相等的四边形是正方形,、四边相等，有一个角是直角的四 边形是正方形.,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？,真,真,假,假,假,真,2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形,3在四边形ABCD中，
9、O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ） AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCO BODO ABBC DACBD,C,A,变一变 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F。试说明：AP=EF,解:,连接PC,PEBC ， PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,边,对角线,角,正方形的性质,正方形对边平行 四边相等,正方形的四个角都是直角,正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。,正方形是中心对称图形
10、，它也是轴对称图形,正方形是一个完美的图形,5种识 别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究2:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？,探究3:若正方形ABCD的边长为1，则阴影部分面积BMON为多少？,作业,课本P62页第 15 题,练习册 P 28-30 页,课本P68页第 8 题,
