1、第二部分 题型研究,题型五 几何探究题,类型四 旋转变换问题,例 4 (2017河南)如图，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点,例4题图,(1)观察猜想 图中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；,解：(1)PMPN，PMPN； 【解法提示】ABAC，ADAE，BDCE， M，P，N分别为DE，DC，BC的中点， PM CE，PN BD，,PMPN，DPMDCE，CNPB， DPNPNCPCNBPCN. A90， BACB90， MPNMPDDPNACDPCNBACBB90， PMPN.,(2)探
2、究证明 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由； 【思维教练】根据旋转的性质及中位线性质易得MPNP，再利用三角形中角度间的关系进一步验证是否存在特殊角,(2)PMN为等腰直角三角形； 理由如下： ABAC，ADAE，BACDAE90， ABC和ADE均为等腰直角三角形， BADDACDACCAE， BADEAC， BADCAE(SAS)， ABDACE，BDCE.,又M，P，N分别是DE，CD，BC的中点， PM是CDE的中位线， PM CE.同理：PN BD. PMPN，MPDECD，PNCDBC. MPDECDACDACEACDABD，
3、 DPNPNCPCNDBCPCN， MPNMPDDPNACDABDDBCPCNABCACB90， PMN为等腰直角三角形；,(3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值 【思维教练】由(2)得到，当ADE旋转时，PMN无论怎么变化都是等腰直角三角形，其面积可表示为 PM2，要使其面积最大，则PM要最大故问题转化为在旋转过程中寻找PM的最大值,(3)PMN面积的最大值为. 【解法提示】由(2)可知，当ADE旋转时，PMN为等腰直角三角形， SPMN PM2， 要使PMN的面积最大，即PM最大， 由(2)得，PM CE，即当CE最大时，MP最大 如解图所示，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CEAEAC14，,故PMN为最大面积为SPMN 77 .,例4题解图,
