1、第二讲 线性规划及单纯型法,2.1线性规划问题及其模型 2.2.1线性规划图解法 2.2.2 线性规划解的性质 2.3单纯形法原理 2.4单纯形法计算步骤 2.5单纯形法的进一步讨论 2.6习题课,线性规划问题的提出线性规划的基本概念线性规划的数学模型线性规划问题的标准形式,2.1 线性规划问题及其数学模型,问题的提出,例: 生产计划问题：某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示。该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？,决策变量（Decision variables） 目标函数
2、（Objective function） 约束条件（Constraint conditions） 可行域（Feasible region) 最优解（Optimal solution),基本概念,第1步 -确定决策变量,设 I的产量II的产量利润,第2步 -定义目标函数,Max Z = x1 + x2,Max Z = 2 x1 + 3 x2,第2步 -定义目标函数,第3步 -表示约束条件,x1 + 2 x2 8 4 x1 164 x2 12x1、 x2 0,该计划的数学模型,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,线
3、性规划问题的共同特征,一组决策变量X表示一个方案,一般X大于等于零。 约束条件是线性等式或不等式。 目标函数是线性的。 求目标函数最大化或最小化,线性规划模型的一般形式,线性规划问题的标准形式,标准形式为:,目标函数最大 约束条件等式 决策变量非负,简写为,用向量表示,用矩阵表示,C价值向量 b资源向量 X决策变量向量,min Z=CX 等价于 max Z = -CX “” 约束：加入非负松驰变量,一般线性规划问题的标准形化,例：,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,min Z=CX 等价于 max Z = -
4、CX “” 约束：加入非负松驰变量,一般线性规划问题的标准形化,例：,“” 约束： 减去非负剩余变量；,Max,例 ：,可正可负（即无约束）；,解 ：标准形为,图解法线性规划问题求解的几种可能结果由图解法得到的启示,2.2.1 线性规划的图解法,例1的数学模型,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,| | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9,x1,x2,x1 + 2x2 8,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2
5、8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,4x1 16,4 x2 16,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,可行域,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,| | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9,x1,x2,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,可行域,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2,目标函数 Max Z =
6、2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,2x1 + 3x2 = 6,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2,目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12x1、 x2 0,x1+ 2x2=84x1 =16,图解法,图解法求解步骤,由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值。,线性规划问题求解的 几种可能结果,(a) 唯一最优解,(b)无穷多最优解,线性规划问题求解的 几种可能结果,(c)无
7、界解Max Z = x1 + x2-2x1 + x2 4 x1 - x2 2 x1、 x2 0,x1,线性规划问题求解的 几种可能结果,(d)无可行解Max Z = 2x1 + 3x2x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x1、 x2 0可行域为空集,线性规划问题求解的 几种可能结果,图解法的几点结论: （由图解法得到的启示）,可行域是有界或无界的凸多边形。 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的顶点得到。 若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的所有点都是最优解。 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函数值，比较即得。,2.2.1 线性规划的图解法
8、,结束,2.2.2 线性规划解的性质,线性规划解的概念 线性规划问题的几何意义（单纯形法原理）,线性规划问题解的概念,标准型可行解:满足AX=b, X=0的解X称为线性规划问题的可行解。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解。,基：若B是矩阵A中mm阶非奇异子矩阵（B0），则B是线性规划问题的一个基。不妨设：, j=1，2，,m 基向量。，j=1，2，,m 基变量。, j=m+1,n 非基变量。,线性规划问题解的概念,求解,线性规划问题解的概念,基解：称上面求出的X解为基解。 基可行解：非负的基解X称为基可行解 可行基：对应基可行解的基称为可行基,线性规划问题解的概念,线性规划解的关
9、系图,非可行解,可行解,基可行解,基解,线性规划问题解的概念,最优解？,例：求基解、基可行解、最优解。,线性规划问题解的概念,最优解,线性规划问题解的概念,解：,线性规划问题的几何意义,基本概念 凸集：,线性规划问题的几何意义,顶点:若K是凸集，XK；若X不能用不同的两点 的线性组合表示为：则X为顶点.,凸集,线性规划问题的几何意义,凸组合：,n=2，k=3,线性规划问题的几何意义,定理1: 若线性规划问题存在可行域,则其可行域:是凸集.,基本定理,证明:,线性规划问题的几何意义,只要验证X在D中即可,引理：可行解X为基可行解 X的正分量对应的列向量线性无关,定理3：若可行域有界，线性规划问题
10、的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。,定理2：线性规划问题的基可性解X对应于可行域D的顶点。证明：反证法。分两步。,几点结论：,线性规划问题的可行域是凸集。 基可行解与可行域的顶点一一对应，可行域有有限多个顶点。 最优解必在顶点上得到。,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2,可行域为凸集 目标函数不同时 等值线的斜率不同 最优解在顶点产生,目标函数等值线的斜率,最优解,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2,可行域为凸集 目标函数不同时 等值线的斜率不同 最优解在顶点产生,目标函数等值线的斜率,最优解,图解法,9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,x2
11、,可行域为凸集 目标函数不同时 等值线的斜率不同 最优解在顶点产生,目标函数等值线的斜率,最优解,结合图形法分析（单纯形法的几何意义）,A(0,3),B(2,3),C(4,2),D(4,0),求解LP的基本思路,1、构造初始可行基； 2、求出一个基可行解（顶点） 3、最优性检验：判断是否最优解； 4、基变化，转2。要保证目标函数值比原来更优。,2.2.2 线性规划解的性质,结束,2.3 单纯形法原理,本节通过一个引例，可以了解利用单纯形法求解线性规划问题的思路，并将每一次的结果与图解法作一对比，其几何意义更为清楚。,引例,求解线性规划问题的基本思路,1、构造初始可行基； 2、求出一个基可行解（
12、顶点） 3、最优性检验：判断是否最优解； 4、基变化，转2。要保证目标函数值比原来更优。,从线性规划解的性质可知求解线性规划问题的基本思路。,第1步 确定初始基可行解,根据,显然 ， 可构成初等可行基B 。,为基变量,第2步 求出基可行解,基变量用非基变量表示，并令非基变量为 0时对应的解,是否是最优解？,第3步 最优性检验,分析目标函数,检验数,0 时，,无解 换基，继续,只要取 或 的值可能增大。,换入？基变量 换出？基变量,考虑将 或 换入为基变量,第4步 基变换,换入基变量：,换入变量,均可换入。,换出变量,使换入的变量越大越好 同时，新的解要可行。,选非负 的最小者对应的变量换出,为
13、换入变量，应换出 ？ 变量。,因此，基由变为,为换入变量，应换出 变量。,转 第2步,继续迭代, 可得到:,最优值,最优解,结合图形法分析（单纯形法的几何意义）,A(0,3),B(2,3),C(4,2),D(4,0),单纯形法迭代原理,从引例中了解了线性规划的求解过程，将按上述思路介绍一般的线性规划模型的求解方法单纯形法迭代原理。,观察法:直接观察得到初始可行基 约束条件: 加入松弛变量即形成可行基。（下页） 约束条件: 加入非负人工变量, 以后讨论.,1、初始基可行解的确定,1、初始基可行解的确定,不妨设 为松弛变量，则约束方程组可表示为,1、初始基可行解的确定,2、最优性检验与解的判别,2
14、、最优性检验与解的判别,2、最优性检验与解的判别,(1) 最优解判别定理：若：为基可行解，且全部则 为最优解。 （2）唯一最优解判别定理：若所有则存在唯一最有解。,2、最优性检验与解的判别,（3）无穷多最优解判定定理：若：且存在某一个非基变量则存在无穷多最优解。 （4）无界解判定定理：若有某一个非基 变量 并且对应的非基变量的系数则具有无界解。,2、最优性检验与解的判别,（4）之证明：,2、最优性检验与解的判别,最优解判断小结（用非基变量的检验数）,以后讨论,3、基变换,换入变量确定对应的 为换入变量. (一般),注意：只要 对应的变量 均可作为换入变量,此时，目标函数,换出变量确定,3、基变
15、换,（在可行的范围内）,则对应的 为换出变量.,4、迭代运算,写成增广矩阵的形式,进行迭代.,例：,4、迭代运算,非基变量,基变量,0 0 1,通过初等行变换化主列为,主元,maxz=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5 s.t. x1+ 2x2 + x3 =84x1+x4=164x2+x5=12, xj 0, j=1,2,5,4、迭代运算,每次迭代的信息都在增广矩阵及目标函数中。,检验数,2.3 单纯形法迭代原理,结束,2.4 单纯形法的计算步骤,为书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了单纯形表。每一次迭代对应一张单纯形表，含初始基可行解的单纯形表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形表称
16、为最终单纯形表。本节介绍用单纯形表计算线性规划问题的步骤。,在上一节单纯形法迭代原理中可知，每一次迭代计算只要表示出当前的约束方程组及目标函数即可。,单纯形表,E 单位阵,N 非基阵,基变量XB,非基变量XN,0,单纯形表,2 1 0 0 0,检验数,单纯形表结构,单纯形表,C,已知,2 1 0 0 0, 24/6 5/1,C,检验数,单纯形表结构,单纯形表,基可行解：,单纯形表结构,单纯形表,有时不写此项,求,单纯形表结构,单纯形表,求,单纯形表结构,单纯形表,求,不妨设此为主列,主行,单纯形表结构,单纯形表,主元,用单纯形表求解LP问题,例、用单纯形表求解LP问题,解：化标准型,2 1 0
17、 0 00 15 0 5 1 0 0 0 24 6 2 0 1 00 5 1 1 0 0 12 1 0 0 0, 24/6 5/1,主元化为1 主列单位向量换出换入,表1：列初始单纯形表（单位矩阵对应的变量为基变量）,正检验数中最大者对应的列为主列,最小的值对应的行为主行,2 1 0 0 00 15 0 5 1 0 0 2 4 1 2/6 0 1 /6 00 1 0 4/6 0 -1/6 1 0 1/3 0 -1/3 0,表2：换基（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）,检验数0 确定主列,最小 确定主列,主元,检验数=0,最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8
18、.5,表3：换基（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）,2 1 0 0 00 15 0 5 1 0 0 0 24 6 2 0 1 00 5 1 1 0 0 12 1 0 0 0,练习:,一般主列选择正检验数中最大者对应的列,也可选择其它正检验数的列.以第2列为主列,用单纯形法求解。,正检验数对应的列为主列,结束,2.4 单纯形法的计算步骤,2.5. 单纯形法的进一步讨论,一、大M法 二、两阶段法,-人工变量法,人工变量法,问题：线性规划 问题化为标准形时， 若约束条件的系数 矩阵中不存在单位 矩阵，如何构造 初始可行基？,人工变量法,加入 人工变量,设线性规划问题的标准型为：,加入人工变量
19、,构造初始可行基.,人工变量法,系数矩阵为 单位矩阵， 可构成初始 可行基。,约束条件已改变， 目标函数如何调整？,人工变量法,“惩罚”人工变量！,（1）大M法 （2）两阶段法,一、大 M 法,人工变量在目标函数中的系数为 -M, 其中，M 为任意大的正数。,目标函数中添加“罚因子” -M（M是任意大的正数） 为人工变量系数，只要人 工变量0，则目标函数 不可能实现最优。,例: 求解线性规划问题,一、大 M 法,一、大 M 法,解:,加入松弛变量和剩余变量进行标准 化, 加入人工变量构造初始可行基.,求解结果出现检验数非正 若基变量中含非零的人工变量，则无可行解；否则，有最优解。,一、大 M
20、法,用单纯形法求解（见下页）。,目标函数中添加“罚因子” -M为人工变量系数，只要人 工变量0，则目标函数 不可能实现最优。,表1（初始单纯形表）,一、大 M 法（单纯形法求解）,一、大 M 法（单纯形法求解）,表2,表3,一、大 M 法（单纯形法求解）,表4,一、大 M 法（单纯形法求解）,最优解为目标函数 值 z=2,检验数均非正，此为最终单纯形表,M在计算机上处理困难。 分阶段处理 先求初始基，再求解。,二、两阶段法,二、两阶段法,第一阶段: 构造如下的线性规划问题,人工变量的 系数矩阵为 单位矩阵， 可构成初始 可行基。,目标函数仅含人工变量，并要求实现最小化。若其最优解的目标函数值不
21、为0，也即最优解的基变量中含有非零的人工变量，则原线性规划问题无可行解。,用单纯形法求解上述问题,若=0,进入第二阶段,否则,原问题无可行解。 第二阶段：去掉人工变量，还原目标函数系数，做出初始单纯形表。用单纯形法求解即可。,二、两阶段法,下面举例说明，仍用大M法的例。,例：,二、两阶段法,二、两阶段法,构造第一阶段问题并求解,解：,用单纯形法求解,二、两阶段法（第一阶段、求min ）,表1,1 0 00 -1 1 0 0 0,0 -1 0,0 0 -1,x4 x5 x6,二、两阶段法（第一阶段、求min ）,表2,1 -2 20 -1 1 0 0 0,0 0 -1,0 0 -1,x4 x5
22、x6,二、两阶段法（第一阶段、求min ）,表3：最终单纯形表,不含人工变量且=0,第 二 阶 段,二、两阶段法,第二阶段,将去掉人工变量， 还原目标函数系数，做 出初始单纯形表。,1 0 0 0 -1,二、两阶段法,1/3 -2/30 -1 2/3 -4/3,0 0,x4 x5,第二阶段,0 0 0 -1/3 -1/3,最优解为目标函数 值 z=2,单纯形法计算中的几个问题,1、目标函数极大化时解的最优性判断只需用检验数 作为最优性的标志。,2、无可行解的判断当求解结果出现所有 时，如基变量仍含有非零的人工变量（两阶段法求解时第一阶段目标函数值不等于0），则问题无可行解。,退化 基可行解中存
23、在基变量=0的解退化解,换入变量和换出变量的Bland规则 选择 中下标最小的非基变量 为换入变量, 这里:当按 规则计算存在两个和两个以上最小比值时,选下标最小的基变量为换出变量。,单纯形法计算中的几个问题,结束,2.5 单纯形法的进一步讨论,单纯形法 习题课,继续,返回,基本概念,线性规划模型 三个要素： 决策变量、目标函数、约束条件 线性性 应用举例：连续投资问题,某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A,从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%； 项目B,第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C,第二年初需要
24、投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？,确定变量：以XiA(i=1,25)分别表示第i年年初给项目A、B、C、D的投资额。,判断约束条件：投资额应等于手中拥有的资金额。 确定目标函数 数学建模：,线性规划解的性质 线性规划问题的可行域是凸集。 最优解必在顶点上得到。 线性规划求解方法 图解法 单纯形法,练习： 用图解法求解LP问题,图解法 （练习）,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,|
25、| | | | | | | | 2 4 6 8 10 12 14 16 18,x1,x2,4x1 + 6x2 48,2x1 + 2x2 18,2x1 + x2 16,图解法 （练习）,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,| | | | | | | | | 2 4 6 8 10 12 14 16 18,x1,x2,4x1 + 6x2 48,2x1 + 2x2 18,2x1 + x2 16,可行域,A,B,C,D,E,图解法 （练习）,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,| | | | | | | | | 2 4 6 8 10 12 14 16 18,x1,x2,4x1
26、 + 6x2 48,2x1 + 2x2 18,2x1 + x2 16,A,B,C,D,E (8,0),(0,6.8),图解法 （练习）,x2,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,| | | | | | | | | 2 4 6 8 10 12 14 16 18,x1,4x1 + 6x2 48,2x1 + 2x2 18,2x1 + x2 16,A,B,C,D,E (8,0),(0,6.8),最优解 (3,6),4x1+ 6x2=482x1+ 2x2 =18,单纯形法小结,一般线性规划问题的标准化及初始单纯形法表.,变量, 约束条件,单纯形法小结,目标函数,单纯形法小结,得到最优解或
27、证明最优解不存在,标准型,从可行域某个顶点开始,检查该点 是否最优解,不是,取一个“相邻”、 “更好”的顶点,一、单纯形法的基本原理,规范型,四、设线性规划问题（1）分别用图解法和单纯形法求解；（2）对照指出单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。,续,（3）若目标函数变为讨论c、d的值如何变化，使每个顶点依次使目标函数达到最优。,解：化为标准型,1,2,2,1,最优解,10 5 0 00 9 3 4 1 0 3 0 8 5 2 0 1 8/5 10 5 0 0 0 21/5 0 14/5 1 -3/5 10 8/5 1 2/5 0 1/5 0 1 0 -2 5 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1 1 0 -1/7 2/70 0 -5/14 -25/14,O（0，0）,1,2,2,1,o,c d c/d 最优解的顶点c/d5/2 Q1c/d=5/2 Q1,Q20 0 3/40 不限 Q30 =0 - Q1 0 0 不限 Q10 0 不限 O,单纯形法习题课,返回,结束,
