1、线性代数习题集皖西学院应用数学学院编制2013 年 2 月第一章 行 列 式一、判断题1行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. .( )23210403. ( )132.424. ( )123213.abbacc5. ( )123123.abcc6. 阶行列式 中元素 的代数余子式 为 阶行列式. ( )nnDijaijA1n7. .( )3124358868. ( )12133a12r11213233aa9如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( )二、选择题1若 是
2、5 阶行列式中带正号的一项，则 的值为（ ） 2534rsa ,rsA. B.1,14C. D.rs ,rs2.下列排列是偶排列的是（ ）A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 6543213.若行列式 ， 则 x=( ).2103xA.2 B. 2 C. -1 D. 14.行列式 的值等于（ ）.0abcdefA. B. C. D. acabfabdfcf5.设 abc0，则三阶行列式 的值是（ ）.0cAa B-b C0 Dabc6.设行列式 =1， =2，则 =（ ）.21b21ca2211cbaA-3 B-1 C1 D37.设非齐次线性方程组 有唯一解，则 必须满足（
3、 ）.123805xab,ab.0,Aab.,3B23.,Ca3.0,28. 是按（ ）展开的.215251003A第 2 列 B第 2 行 C第 1 列 D第 1 行 9.设 则下式中（ ）是正确的.1121niiinnaaDaa 2. 0iiiAA 12. 0ijijnijBaAaA1iiinCD 12ijijinj10. 的 的代数余子式 的值为（ ）.349571223a23AA. 3 B. -3 C. 5 D. -5三、填空题1 排列 的逆序数是_.675842 四阶行列式中的一项 应取的符号是_.14321a3.若 则 k=_.,01k4.行列式 中 元素的代数余子式 A32=_.
4、6943232a5. =_.5816.行列式 =_.017.行列式 =_.4328.非零元素只有 行的 阶行列式的值等于_.1n9. 则 _.1238,abc231ccbbaa10. 阶行列式 中元素 的代数余子式 与余子式 之间的关系是nnDij ijAijM_， 按第 列展开的公式是 _.ijAjn第二章 矩 阵一、判断题1.若 是 矩阵， 是 矩阵，则 是 矩阵. ( )23B2AB22.若 且 则 ( ),AO,.3. 的解 . ( )103425X1102534X4.若 是 阶对称矩阵，则 也是 阶对称矩阵. ( )An2An5. 阶矩阵 为零矩阵的充分必要条件是 ( )0.6. 若
5、 为同阶可逆矩阵，则 . ( ),B1()k7. . ( )4204206916318. 阶矩阵 为逆矩阵的充分必要条件是 ( )nA0.A9.设 为同阶方阵，则 . ( ),BB10.设 为 阶可逆矩阵，则 .( ),n11OB二、选择题1. 若 为 阶矩阵，则下式中（ ）是正确的.,AB2.()B.(),=.ACOABC且 ， 必 有2+DB2.若 ，则下列运算有意义的是（ ）.,snlAB.T.A.C.+TA3.若 ，做乘积 则必须满足（ ）.,mnst.=A.Bs.=ns.Dnt4.矩阵 的伴随矩阵 （ ）1*AAB C 1D 115.设 2 阶矩阵 ，则 （ ）abcd*A B C
6、Ddacacbdabcd6. 矩阵 的逆矩阵是（ ）013A B C D3103101300137. 设 2 阶方阵 A 可逆，且 A-1= ，则 A=（ ）.27A B C D3173117278. 阶矩阵 行列式为 则 的行列式为（ ）.n,kA. B. C. D. knAA-k9. 设 为 阶矩阵满足 且 可逆，则有（ ）.,AB=,B互为逆矩阵.=EE.,DB10.设 是任意阶矩阵，则（ ）是对称阵.(+)TA.+TBA.TCA.TA三、填空题1.设矩阵 ， ，则 _12010232B2.设 A= ，B= 则 AB =_.41023,013.设矩阵 A= ， B= ，则 ATB=_.2
7、34. (1，2，3)=_.315. =_.n16. _.04132 7.设 2 阶矩阵 A= ，则 A*A=_.328.设矩阵 A= ，则行列式|A 2|=_.419.设 A= ，且 det(A)=ad-bc0，则 A- 1=_ .dcba10. 设 为 阶可逆矩阵，则 _.,ABnOB第 三 章 矩阵的初等变换与线性方程组一 、 选 择 题1 设 元齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ，则 有非零解的充分必要n0AXr0AX条件是（ ）(A) (B) rrn(C) (D) 2 设 是 矩阵，则线性方程组 有无穷解的充要条件是（ ）Amnb(A) (B) ()r()rA(C) (D) b()n
8、3 设 是 矩阵，非齐次线性方程组 的导出组为 ，若 ，则（ X0AXmn）(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解 AXb(C) 必有非零解 (D) 必有唯一解00A4 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是导出组 的12,12,0基础解系， 为任意常数，则 的通解是（ ）,kXb(A) (B) 121212() 121212()k(C) (D) k 5 设 为 矩阵，则下列结论正确的是（ ）Amn(A) 若 仅有零解 ，则 有唯一解 0XAXb(B) 若 有非零解 ，则 有无穷多解 (C) 若 有无穷多解 ，则 仅有零解 b0(D) 若 有无穷多解 ，则 有非零解6 线 性 方程组
9、 （ ）1234701x(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、判断题1若 是线性方程组 的两个解向量， 则 是方程组 的解。,Axb0Ax2设向量 是 元线性方程组 的解向量，那么 也是这个方程组的12n 123一个解向量。3若 是 的解,若 是 的解，则 是 的解。0X(0)XbbX4 元线性方程组 当 时有无穷多解。n()AxbRAn5设 是 阶方阵,若方程组 满足 ,则 有唯一解。)()bA6对于线性方程组 (这里 为 n 阶方阵), 如果该方程组有解，则必有 x。()RAn7设 , 都是 阶方阵,若 ,则必有 。B knBRkAR)(,1(,)
10、 nBAR)(8若线性方程组 有解,则 的秩一定为零。bX9设 是 阶方阵,则 。An()()E10设矩阵 的秩为 ，则 中必有一个 级子式不为零。1rA1r11设 为 元线性方程组 ，则秩 时有无穷组解。bXn)(12若 ，且 ，则 。AYXOY13对于具相同系数矩阵的非齐次方程组(I)： 及 (II)： , 成立以下结论：xbAxd若方程组(I)有解，则方程组(II)必然也有解。14方程组 中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限1234152xx多解。15若 是 的解，则 也是 的解。12,(0)AXb12bAX三、填空题1矩阵 的秩为_。123547A2 = , 则 =_。315X
11、126X3设 是 阶方阵，且秩 ，则齐次线性方程组 的基础解系中含 An()Arn0Ax个解向量。4矩阵 的秩为 。1025方程组 的解空间的维数为 。123407xx6设 是 元齐次线性方程组 的基础解系，则秩( )= 。12,()nAxA7矩阵 的秩为 ，则 的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。mAr0X8若方程组 有非零解，则 。123100x0 或9已知方程组 有无穷多解，则必有 。1236x10设 是 阶方阵,若线性方程组 有非零解,则必有 。An0AXA11设 是 矩阵, ,又 ,则 。342)(R3012B)(BR12齐次线性方程 的解空间为_维线性空间。21nxx13设
12、是 阶方阵, ,则线性方程组 的基础解系所含向量的个数是 AnARAX。14设 阶方阵 满足 , 为 阶单位阵,则 2En)()ER。15非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 bAX。第四章 向量组的线性相关性一 、 选 择 题1下列说法正确的是（ ）（A）若有不全为零的数 ，使得 ，则12,sk 120skk线性无关12,s（B）若有不全为零的数 ，使得 ，则12,sk 12skk线性无关12,s（C）若 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示12,s（D）任何 个 维向量必线性相关n2设 为 阶方阵，且 ，则（ ） 。A0A（A） 中两行（列）对应元素成比例（B） 中任意一行为其
13、他行的线性组合（C） 中至少有一行元素全为零（D） 中必有一行为其他行的线性组合3设 为 阶方阵， ，则在 的 个行向量中（ ） 。nnrA)(An（A）必有 个行向量线性无关r（B）任意 个行向量线性无关（C）任意 个行向量都构成极大线性无关组（D）任意一个行向量都能被其他 个行向量线性表示r4 阶方阵 可逆的充分必要条件是（ ）n（A） （B） 的列秩为()rnAn（C） 的每一个行向量都是非零向量 （D） 的伴随矩阵存在5 维向量组 线性无关的充分条件是( )ns,21（A） 都不是零向量s（B） 中任一向量均不能由其它向量线性表示12,s（C） 中任意两个向量都不成比例s（D） 中有一
14、个部分组线性无关12,s6 维向量组 线性相关的充要条件是( ) n2,s（A） 中至少有一个零向量12,s（B） 中至少有两个向量成比例s（C） 中任意两个向量不成比例12,s（D） 中至少有一向量可由其它向量线性表示s7 维向量组 线性无关的充要条件是( )n3(,21ns（A）存在一组不全为零的数 ，使得12,sk 021skk（B） 中任意两个向量都线性无关12,s（C） 中任意一个向量,都不能被其余向量线性表示s（D） 中任一部分组线性无关12,s8设 均为 维向量,那么下列结论正确的是( )s n（A）若 ，则 线性相关120skk 12,s（B）若对于任意一组不全为零的数 ,都有
15、 ,则sk 120sk线性无关12,s（C）若 线性相关,则对任意不全为零的数 ,都s 12,sk120skk（D）若 ,则 线性无关0s 12,s9 已知向量组 线性无关，则向量组（ ）4321,（A） 线性无关41,（B） 线性无关123,（C） 线性无关41,（D） 线性无关123,10若向量 可被向量组 线性表示，则（ ）12,s（A）存在一组不全为零的数 ，使得12,sk 12skk（B）存在一组全为零的数 ，使得s s（C）存在一组数 ，使得12,sk 12skk（D）对 的表达式唯一二、填空题1 , , 线性相关 ,则 的值为_。(35)T2(13)T(1,6)Taa2若向量 与
16、 线性相关，则 的取值为 042)Ta。3设向量组 ， ， ,则向量组 的1(,23)T2(,13)T3(1,0)T123,秩是 。4已知向量组 ，则当常数 满足_222(,),(,),(,)TTTabc,abc时该向量组线性无关。5设向量组 I： 的秩为 ， 向量组 II： 秩为 ， 且向量组 I 能由1, rp1, sq向量组 II 线性表出，则 与 的大小关系是_。q6设 线性无关，且4321,，144332, 则向量组 的秩为 。41,_7 ，则齐次线性方程组 的任一基础解系所含向量个数为02350A0Ax。8设向量组 I: 线性无关，而 都能由 I 线性表出，则秩( )1, s12,
17、 112, s= 。9当 时,向量组 线性相关。a1231(,),(,),(,)2TTTaaa10已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。11设向量组 线性相关,则向量组 线性 。321,1321,12设 是 阶方阵, ,则线性方程组 的基础解系所含向量的个数是 An2nAR0AX。13向量 是 的一组基，则向量 在1,0,1,1TTT3R3,4T该基下的坐标为 。14设向量 与向量 线性相关, 则 。(,5)T(2,)Tm_m15设 ， ， 是 的一组基，则 在该10213(1)T3(3,1)T基下的坐标为 。_三、判断题1 维向量组 必线
18、性相关。31234,2如果向量组 线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。s3若向量组 线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示。12,ra4向量组 中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关。m5若 是线性方程组 的两个解向量， 则 是方程组 的解。,Axb0Ax6向 量 组( I ): 与向量组( II ):12(,)(,3)TT等价。12(,),)TT7设向量组 I： 是向量组 II： 的部分组，如果向量组 I 线12skk 12,p性相关，则向量组 II 也线性相关。8设向量组 I： 是向量组 II： 的部分组，如果向量组 I 线性12,skk 12,p无关，则向量组 I
19、I 也线性无关。9如果向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。112, s 1,s10如果向量组 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。12,m11设向量组 线性无关,于是向量组 也线性无关。3 1321,12设 维向量组 线性相关,于是 也线性相关,其中 为一ns21 s 维向量。13若向量组 线性相关,则 一定可由 线性表示。n,21 1n,214设向量组()与向量组()可互相线性表示,则秩()= 秩()。15设向量组 线性相关,则该向量组中一定含有零向量。s,2116若 是 的解,若 是 的解，则 是 的解。0AX(0)AXbbAX17包含零向量的向量组是线性相关的。18若 是 的
20、解，则 也是 的解。12,()b12第五章 相似矩阵及二次型一 、 判 断 题1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )4.若 n 阶矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 不一定等价.( )5.若 阶矩阵 A 有 n 不同的特征值，则 A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )7. 相似矩阵的行列式必相同.( )8.若 阶矩阵 和 相似，则它们一定有相同的特征值 .( )nB9 阶实对称矩阵 A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )10. 若 A 是正定矩阵，则
21、 A 的特征值全为正.( )二 、 单 项 选 择 题1. 设 ,则 的特征值是( ).01(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,22. 若 分别是方阵 的两个不同的特征值对应的特征向量,则 也是 的特12,xA12kxA征向量的充分条件是( ).(A) (B) (C) (D) 120k且 120k且 120k120且3. 若 阶方阵 的特征值相同,则( ).nAB(A) (B) (C) 与 相似 (D) 与 合同|ABAB4. 设 为 阶可逆矩阵, 是 的特征值,则 的特征根之一是( ).AnA*(A) (B) (C) (D) 1|1| |nA5.
22、矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量（ ）.(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量6. 是 阶矩阵 与 相似的( ).|BnB(A)充要条件 (B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件7. 若 阶方阵 与某对角阵相似,则( ).nA(A) (B) 有 个不同的特征值()rAn(C) 有 个线性无关的特征向量 (D) 必为对称阵8. 阶对称矩阵 正定的充分必要条件是（ ）.n(A) (B)存在阶阵 C，使0A T(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正9 设 为 n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）.(A)A 必与一对角阵合同(
23、B)若 A 的所有顺序主子式为正，则 A 正定(C)若 A 与正定阵 B 合同，则 A 正定(D) 若 A 与一对角阵相似，则 A 必与一对角阵合同10 设 A 为正定矩阵， 则下列结论不正确的是（ ）.(A)A 可逆 (B) 正定1(C)A 的所有元素为正 (D)任给 12(,)0,TnXx 均 有 0TXA二 、 填 空 题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_.2. 若 ，则 的全部特征值为_.A23. 设三阶矩阵 的特征值分别为 -1,0,2,则行列式 .2AE4. 特征值全为 1 的正交阵必是 阵.5. 若 ， 与 相似，则 ， = .232,4ByxBxy6.二次型 的秩为 .2123123(,)fx7.若 正定，则 t 的取值范围是 .13tx8.设 是正定矩阵，则 满足条件 . 210Aaa9 二次型 的负惯性指数是_.11(,)fx10 二次型 的矩阵为 .223,x
