1、Linear Algebra- 1 -第一章 行列式教学基本要求：1. 1. 了解行列式的定义.2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.3. 会计算简单的 n 阶行列式.4. 了解 Cramer 法则.一、行列式的定义1. 定义称为 n 阶行列式，记作 (或 或 )，它是 n2 个数naa 212112 Dn|ijna的一个运算结果：(,;,)ij j ，(1.1)1212121112n nnnaaDAaA 其中， 为行列式位于第 行且第 列的元素，(1,2;,)ijanj ij，而 为划掉行列式第 1 行和第 列的全部元素后余下的元素组成的1)j jAM 1jM阶行列式，即n2121233
2、11jjnjnnjjnaa 称为元素 的余子式， 称为元素 的代数余子式.1jM1ja1jAja2. 基本行列式：(1)一阶行列式 .a|例如， ，|106.2(2)二阶行列式 .121212aa主对角线Linear Algebra- 2 -(3)三阶行列式 1213231231323aaaa.132123123(4)三角形行列式对角行列式 .112nnaa 下三角行列式 .112nnna 上三角行列式 .112nna .1(1)211nnnna .1(1)211nnnnaa .1(1)211nnnn 注意：、和的结果中均有符号 .2)1(n3. 行列式的性质，nnnaaD 212112 nn
3、nTaD 212121性质 1.1 . (1.2)T性质 1.1 的意义：行列式的行所具有的性质列也具有. 下面仅针对行叙述行列式的性质.Linear Algebra- 3 -性质 1.2(行列式的展开性质) , . (1.3)12121212niiinnnaaAaA (1,2)in例如，行列式 1240359DA.32146A一个 阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式；n一个元素的余子式与代数余子式或 或 .应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与 该元素的 无关.性质 1.3(行列式的公因子性质). (1.4)11iiniinkaka 性质 1.3 还可以这样表述：用
4、数 乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数 乘以行列式.k k例如， .2461230505(8)1616.234.405.(8)29016推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零.性质 1.4(行列式的拆分性质)Linear Algebra- 4 -(1.5)11211211211212 .niiiiiinnnniiiniiin nnaabcbcaabbccaaa 性质 1.4 可以推广到一行有更多个数相加的情形.性质 1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零.推论 1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零.推论 2 设行列式 ，则|ijnDa. (1.6)12ijijinjijaAaA
5、D这里， 为 Kronecker 符号.1,0.ijiji性质 1.6(行列式的不变性质). (1.7)njninnjijininjinnijiniji aaaakakaaa 122121112212111 性质 1.6 的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值.性质 1.7(行列式的变号性质)Linear Algebra- 5 -. (1.8)1212()iiinjjjnjjjiiiaaaj 总结：利用性质 1.6 及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式.步骤如下： 1211212 2121210n nnnnnaaaa .(1)()(n1)()2221
6、2(n1)000nnaaaa 例如， .5829063154063216015432 在实际计算中，往往是“化零”与“展开”结合着进行，需要根据行列式的特点灵活地运用行列式的性质二、行列式的计算行列式的计算过程，大多可以通过如下符号指示：交换 i, j 两行(列)： （ ） ；ijrijc第 i 行(列)提取公因子 k： （ ） ；iik第 j 行(列)的 k 倍加到第 i 行(列)： （ ）.ijrijc例 1.1 计算行列式 .01220DLinear Algebra- 6 -解 01220D12011265 （.46或 0012102D.510()2()42例 1.2 计算行列式 .03
7、1259D解 .6321953021)(2或 .1414()906DAM或 0235941302365r.5121()0336例 1.3 计算行列式 .6531028DLinear Algebra- 7 -解 .1010826345256D例 1.4 计算 阶行列式n1213.3211nnDn 解 1203.n, D, （例 1.5(例 1.10 P16) 计算 阶行列式 .nnabD 解 分析：注意到该行列式的特点是，主对角线上的元素是同一个值，主对角线之外的元素都相同，那么运用 ，有 12(1)()nic nabaD (这时行列式 ，继续)12,(00icn nabba (这时行列式 ，继
8、续)1()nanb例 1.6(例 1.11 P16) 设行列式 的阶数 为奇数，且 ，求 DnijaDjiija),21,(n解 分析：条件 表明 ，jiija),21,( ),21(0nii(称为反对称行列式)00321 33 223121 nn naaDLinear Algebra- 8 -(每行提取公因子-1，然后做转置运算，有) 1231233123112132330()00,0nnnnnnnaaaaDa 从而 D=0例 1.7(例 1.12 P17) 计算 n 阶行列式. (三对角行列式)nnD2112 解 分析：该行列式对角线上的元素全为，次对角线上的元素全是，其余元素都是 0由于
9、 0 元素比较多，所以利用展开性质(也说降阶法)来计算.将 Dn 按第行展开，有.1212MDn注意到 ，如果再将 按第列展开，即有 于是得到一个递推公式1nM12Mn.21n现在考虑数列 ，由 可知，数列 是一个等差数列，公差为 ，nD21nn n 12312D首项 ，从而第 项 21降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法.另解， nrnnD213012211212 Linear Algebra- 9 -32 43121020434361212r rn n . nn101340)!1( 三对角行列式的一般形式为. (1.9)nnn acbacbD121 例 1.8(例 1.13
10、P17) Vandermonde 行列式. (1.10)123211123nn jiijnnnaaDa记住 Vandermonde 行列式的特点、结果，了解证明方法.三、行列式应用1. 求解特殊的线性方程组考虑 元线性方程组n(1.11).,21 22 121nnnbxaxa Linear Algebra- 10 -记 ， ，121212nnnaaD 12122nnnbaD， ， .1212nnaba 11221nnnab定理(Cramer 法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式 ，则该方程组有惟一解：0D（ ） (1.12)iix1,2n例 1.9(例 1.14 P20) 解线性方程组
11、 .0 2,3 1 1x解 该方程组的系数行列式 D 及 D1、D 2 和 D3 分别为， ，20132D1， .510322 130213D由于 ，故方程组有唯一解：D， ， 231x 452x 20133Dx对于齐次线性方程组(1.13),0,2122121nnnxaxa 有如下结论：推论 当齐次线性方程组(1.13)的系数行列式不为零时，它只有零解该结论也可以表述为：若齐次线性方程组有非零解, 则方程组的系数行列式必为零.2. 用行列式表示几何图形的面积和体积.Linear Algebra- 11 -3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面.4. 用行列式解决多项
12、式函数的插值问题.四、习题(P 26-30)选择题：1. .1 12,00()ir nnD 填空题：5. 4124341243MAA.3071解答题：1. 解 .41243120A2. 提示：由 A31=-2，求出 x，再计算 A12.3.(3) .n2n221 1(1)nn aDaD(4) nn12n iii1nnadDabcd.cb Linear Algebra- 12 -(5) 3 (1,24,) (,) 1,726(!, 3.iirncDn(6) .in112n1nca i,2 i1nxaa0D(xa)x0 (7) i1rn,2n1D1 i11ic2,nni2cn2,(n1)2nn1i
13、2()2n200(1)n2100(). (8) 12n12nxa1Dx001Linear Algebra- 13 -in1in12ca,2 n122arrxi,2 nnii1ni1ni1x001axa100axaa00x(xa)().xa (11) 12naxa1D00 in12ca, n12ni1in1i1ix10xa1x0xa0()xx(). (9)方法一 左端按最后一行展开方法二 左端按第一列展开，产生递推公式 .1nnDxa方法三 左端产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的 倍加到后一列上.xLinear Algebra- 14 -方法四 左端从最后一列开始，依次将后一列的 倍
14、加到前一列，然后按第一列展开.x(10) 方法一 n nab1aDba1 n1n2(b)Da2nn1nn21abDabn1n1221Dabnn1n2121()ab.方法二 n nab1aDba1 n nn1nn1n1abb10a1aab1ba01bDa1babab (1)n1abDLinear Algebra- 15 -同理，(2)n1Dba由(1)a, (2)b 得 aDn-an+1= bDn-bn+1，所以Dn=(bn+1-an+1)/(b-a)= .12n1abaab(12) 设 ，这是一个范德蒙行列式.1232111231nnnnnaaxDaax11 12111 1()() )()nn
15、iiji j nn nij ijnij ijnnxaaaxxAxA 1232111231112 ()().nnnnnnijijaaDxMAaaa 的 元 素 的 余 子 式7. 提示：x=D x/D, D=-4 .xabca11D48. 提示： ， ，故三角形 ABC 的面积为 3.(0,3)(2,)ABC036五、计算实践实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；Linear Algebra- 16 -（2）利用行列式的性质尽把行列式的某一行（列）元素可能多地化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的
16、方式达到计算行列式的目的；（3）利用 Laplace 展开式；（4）利用范德蒙行列式；（5）计算行列式的可使用的方法有定义法、性质法、降阶法、递推法、归纳法、加边升阶法及方阵行列式法等.例 1 计算行列式14 01 36 25 . 1 1 解 分析：仔细观察之后发现，第 2 行为 0 的元素多且非 0 元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为 0，然后按第 2 行降阶. 依照此理，接下来又选择了第 1 行、第 3 行降阶.原式21c3 1 5 732 12505(1)371214 23c c14053152 ()0023 59.例 2 计算三对角行列式Linear Algebra
17、- 17 -.123nn21abc D ab c 解 这类题的一般做法是产生递推公式. 按第 n 行展开有12n()n n1n21abcDaDa0cb n(1)(1)n1 n22abcD. 令 ，则 是方程 的根，代入上式得n1xyx,y2n1nzabc0.nnn2D()11n21xyxD r. (=)n2n13n2n3n21 21 x(y)rD(xy)r. (=Dx) 对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.例 3 计算三对角行列式.n nab D ab 解 方法一 利用例 2 得到的递推公式.nn1n2D(ab)aDLinear Algebra- 18 -（这里递推公式中的 x,y 显然
18、分别为 a,b）nn112aDba(b)n1n. 方法二 按第一行拆分，有i1n n ncn2, nn1a 0b ba D abab 0 ab D 0a ab. 考虑对称性，也有. nn1Dba联立、，解之得n1n1nabDab.对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.例 4 计算三对角行列式.123n1na a a 解 分析：把第 2 至第 n+1 行依次加到第 1 行，那么新的第 1 行元素将只有最后一个元素不为 0，然后降阶.Linear Algebra- 19 -原式123n1n 0 1a a （上三角行列式）n1i2 12r(n1) n1 a 1(n).例 5 计算行
19、列式 n1n1222in1n1naba, (b0,1,n). 解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果. 易见如果第 1 至第 n 行分别提取公因子 ，那么可将其化为范德蒙行列式.n1a,原式 n11n122n12 n1nbaab1a .nji121jia六、知识扩展1. 设 均为 3 维列向量,记矩阵 ,12,123,A123123,4,B.如果 ,求 . （2005 一） （答案: 2）1239ABLinear Algebra- 20 -2. 已知 均为 2 维列向量, 矩阵 . 若 , 求 . 1,121212,AB,6AB（2006 四） （答案: -2）3.设矩阵 , 为 2 阶单位矩阵, 矩阵 满足 , 求 . （2006 一） （答21AEB2AEB案: 2）提示: 方法一 11 22BAEAE方法二 224BAEAEB4. 计算五阶行列式 . （1996 四）51010aDa5. 设有齐次方程组 , 试问 取何值时该方程组才能有非零解？1212 0 nnaxxna a（2004 一 二） （答案: 0 或 ）()6. 已知行列式 和齐次线性方程 , 证明:121212nnnaaD 120iiinaxaxLinear Algebra- 21 -都是该方程的解.12,1,2;njj jMnji 提示: .10,=,()ikjaAijij
