1、实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和 LU 分解法二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和 Lu 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解下列两个线性方程组（1）1233.0692741-.98x（2）1234083.65.901515x 四、算法描述1、列主元高斯消去法：记 （ ）(1)ijija,12,ijn （ ）()iib （1）消元过程对于 R=1,2，n-1 执行：1）选行号 ，使ki()()amxkkiiin2）交换 与 （j=k,k+1,n）以及 与 所含的数值。
2、()kj()ki ()kb()i3）对于 i=k+1,k+2,，n 计算()()/kiimaj=k+1,k+2,n.(1)()()kijijij()(k)()kiiikbb（2）回代过程 ()n/nxba（ ）()()()1/,1,2,.kkkjjxan 在此算法中的 （k=1,2,，n-1）称为第 k 个列主元素，它的数值总要被交换到()aki第 k 个主对角线元素的位置上。2、LU 分解法通过 MATLAB 自有的函数把系数矩阵 A 分解成 A=LU，其中，L 是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时方程组 Axb 就可化为两个容易求解的三角形方程组Lyb， Uxy先由 Lyb 解出向量 y，再
3、由 Uxy 解出向量 x，这就是原方程组 Axb的解向量。五、程序流程图(1)列主元高斯消去法程序流程图如下：YN 开始读入矩阵A，b选主元ik=k ? 跳出循环列主元计算对 A 进行上三角变换回代求 x输出 x(2)LU 分解法程序流程图如下：YNYN这里我使用了四种框，一种是起止框 ，一种是输入输出框 ，一种是判断框 ，还有一种是处理框 。3、列主元素高斯消去法的 M 文件如下：function a=liezhuGS(A,b)r=length(A1,i)结束开始读入矩阵A求出值 y(1),y(2)i3 ? 求求 y 值求末值 x(n),x(n-1)j3 ?求 x 值结束输出 y输出 xfo
4、r i=1:rfor j=1:rif A(i,i)A(j,i)for k=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c;endd=b(i);b(i)=b(j);b(j)=d;end endfor l=(i+1):rp=A(l,l)/A(i,i);for m=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);endb(l)=b(l)-p*b(i);endendAZ=det(A)bfor n=r:-1:1if n=rx(n)=b(n)/A(n,n);elsefor q=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);endx(n)=b(n)/A(n,n)
5、;end end x4、LU 分解法的 M 文件如下：Function a=Lufenjiefa(A,b)L,U=lu(A)Y=lbX=uyAbZ=det(l)*det(u)5、实验步骤如下：（1）A= ；b= ；分别在命令窗口中运行 LiezhuGs(A,b)和3.0169274-23.981Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（2） A= ;b= ;分别在命令窗口中运1070132.962558.9015行 LiezhuGs(A,b)和 Lufenjiefa(A,b);记录相关数据（3）A= ；b= ;分别运行 LiezhuGs(A,b),记录列主行交换.06.31.912742.
6、9.8.次序 x,det(A) （4）A= ；b= ;运行 LiezhuGs(A,b),记录相关数据107132.6585.9（5）分别对上述 A，b 在命令窗口运行 x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。六、实验结果实验项目列主元高斯消去法 LU 分解法 Matlab 内部函数法（1）A=3.016.1.9-782465-0Tb3A=03547Tx1.926,.1,0.96L=10.429-.3817U=.690-7501A=-.35Tx10.926,.,.493631.5926x04A=det()-0.357（2） 10-72.51.5A=6329.07Tb81.35.92A=
7、760Tx 0-0.341L=296-.710-12.5-.U=69.782A-7.01Tx01x2A=-7.60（3） 3.061.9A=-783.052Tb1.6=0472.953x16.80 21.9573x0468A=-.71（4） 10-712.5.A=63.08Tb81.=762Tx0 Tx01A=-7.62七、实验结果分析解线性方程组有选主元的必要性。LU 分解法具有简洁、正确的优点，调用L,U内部函数使其解法简便，得出的系数距阵的行列式为精确值。实验(1)系数为 3.01 改为 3.00，0.978 改为 0.990，得出结果如上所示。实验（ 1）中系数发生微小改变后，结果变化不大。用 Matlab 的内部函数 inv 计算得出的解向量 x=inv(A)*b,即为上述各方程组的解，与列主元素高斯消去法和 LU 分解法求出的解进行比较可知，它们都是等同的，这说明列主元素消去法具有良好的数值稳定性。
