1、1信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案2.1 (1) 已知连续时间信号 如图 P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标()xt注。(a) (2)xt(b) 1(c) ()xt(2) 根据图 P2.1(b)所示的信号 ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。()ht(a) (3)ht(b) 2(c) (1)t(3) 根据图 P2.1(a)和(b) 所示的 和 ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。()xth(a) ()xth(b) 1)(c) (24tx图 P2.1解：(1) 各信号波形如下图所示：2(a) (b) (c)12(2)xt (1)xt (2)xtt t t22
2、2 112 000 1 12 235(2) 各信号波形如下图所示： (a) (b) (c)1212 32(3)ht(2)th (12)htt t t0 001124682345(3) 各信号波形如下图所示：()()xtht(1)(1)xtht(2)tx(a) (b) (c)tt t(2/2)(4)0xtht0 00 11 12222 221 1 462.2 已知信号 的波形图如图 P2.2 所示，试画出 的波形图，并加以标注。(52)xtt(52)xt t3252011 3图 P2.2解：波形如下图所示：3325(52)xt(5)xt (5)xt()xttt t t0000 1111 11 1
3、223456 1234562.3 (1) 已知离散时间信号 如图 P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标()xn注。(a) (4)x(b) 21n(c) (),30x其 他(2) 对图 P2.3(b)所示的信号 ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。()hn(a) (2)hn(b) (c) ()(1)(3) 根据图 P2.3(a)和(b) 所示的 和 ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。(xn)h(a) (2)1xnh(b) 4(c) ()3x4()xnn()hnn1212323212(a) (b)411 0012 33 44图 P2.3解：(1) 各信号波形图如下图所示：(
4、4)xnn (a)1/2210123456(21)xn ()xnn n (b) (c)21 10 01 12 23 3(2) 各信号波形图如下图所示：(2)(1)hnhn n 1/2(c)654322 21023(3) 各信号波形如下图所示：5 (2)(12)xnhn (1)(4)xnh(a) (b)n n1/21/23/ 3/21/43/4 10 023 (1)(3)xnhn(c) n/21/23/2102345672.4 画出图 P2.4 所给各信号的奇部和偶部。()xtt ()xtt(a) (b)0 01 12 11 2图 P2.4解：(a)12 12()dxtt t121 12 20
5、012 2()uExt(b) 6()dxttt12 12 1 10 02 21()uExt(c) ()exn ()oxnn4322 110 02 23 34 41 1(d) 1/23/1/21/2 1/2 1/21/21/23/21/1/21/23/()oxn()exnn n310 0132.5 已知 如图 P2.5 所示，设：()xn12(/),)0yn偶奇画出 和 的波形图。1(yn2)()xnn 41012234图 P2.5解：72.6 判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。 (1) (a) 若 是周期的，则 也是周期的。()xt(
6、2)xt(b) 若 是周期的，则 也是周期的。2(c) 若 是周期的，则 也是周期的。()xt(/)xt(d) 若 是周期的，则 也是周期的。/(2) 定义 12(/),(),)0xnynxy偶奇(a) 若 是周期的，则 也是周期的。1(b) 若 是周期的，则 也是周期的。1()yn)xn(c) 若 是周期的，则 也是周期的。x2(y(d) 若 是周期的，则 也是周期的。2()y)x解：(1) (a) 正确。若 的周期为 ，则 的周期为 。xtT(t/2T(b) 正确。若 的周期为 ，则 的周期为 。()x(c) 正确。若 的周期为 ，则 的周期为 。xt(/t(d) 正确。若 的周期为 ，则
7、 的周期为 。(/2)T)x/2T(2) 由 12(/,(),0nynxy偶奇(a) 正确。设 的周期为 。如果 为偶数，则 的周期为 ；如果()N1()yn/2N为奇数，则必须有 ，才能保证周期性，此时 的周期为N021()yn。08(b) 不正确。设 ，其中 ，对所有 ，()()xnghn()sin4gn显然 是非周期的，但 是周期的。1,()30hn奇偶 ()x1()y(c) 正确。若 的周期为 ，则 的周期为 。()xN2()yn2N(d) 正确。若 的周期为 ，则 只能是偶数。 的周期为 。2y ()xn/22.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。(a
8、) (b) ()cos(3/4)xtt()cos8/72)xn(c) (d) (1)jte (/)je(e) 0()(3)(13)mxnnm(f) (g) cos2ttucos(/4)s(/)xn(h) (i) ()()vxEt()2vtEtut(j) cs(/4sin/8si/6)n解：(a) ，周期信号， 。()2o3)xtt3T(b) ，周期信号， ，cs(8/72087N(c) ，周期信号， 。(1)jtxte(d) ，非周期信号，因为 是无理数。(/8)jn 0/2(e) ，设周期为 ，则有()(3)(13)mxnmN，令 ， （ 为整数）()()(13)nN3k则 ，令 则有(3)
9、3()()mxknknm l显然， 是周期信号，其周期为()1nll()xn9。3N(f) ，非周期信号。()cos2()xttu(g) 是非周期的， 是非周期信号。4n)xn(h) ，周期的，周1()cs(cos2)(cos2)(vxtEttutu期 。1T(i) ，非周期信号。()o(2/4)(vttut(j) 是周期信号，其周期就是 和 的公共周期。xncosin8、 si26n周期为 。16N2.8 (a) 设 和 都是周期信号，其基波周期分别为 和 。在什么条件下，和式()ty 1T2是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？x(b) 设 和 都是周期信号，其基波周期分别为
10、和 。在什么条件下，和()ny 1N2式 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？x解： (a) ， 是周期的， ，()ty1()(xtkTt2)(ykTyt令 ，欲使 是周期的，必须有()fxtf000()()(stTytxtyft即 ，其中 为整数。012kl12lk,l这表明：只要 和 的周期之比 是有理数， 就一定是周期的。()xty12T()xty其基波周期 是 的最小公倍数。0T12,(b) 和 是周期的，()xny12()(,)(xnNyny令 ，欲使 是周期的，必须有()ff（ 为整数）012Nkm,k即 1 1 2212gcd(,)N10与 无公因子， 1N212,
11、mNk012/gcd()2.9 画出下列各信号的波形图：(a) (b) ()2)(txteu ()os10()(2)txetut(c) (d) 924)t解： 各信号波形如下图所示：图 PS2.92.10 已知信号 ，求：()sinxttut(a) (b) 21()dtt2()()txd解： ()sinxttutcosinsdttttt 2()incoss 0cosixttutttdtttAA(a) 21()()()dxttxt11(b) 20()()1cos2t txdt2.11 计算下列各积分：(a) (b) sin()tt (2)tedt(c) (d) 321d00ut(e) (f) (
12、)et12(4)解： (a) sinsin2(b) (2)()tedte(c) 同(b)，4(d) 000()()()(22t ttutu(e) 1ede(f) 02.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：瞬时的；时不变的；线性的；因果的；稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。(a) (b) ()xtye()(1)ynx(c) (d) 2(17)nntt(e) (f) ()si6ytxt()yx(g) (h) 0,()10),ttt0,()01,tttxt(i) (j) 2ynx()/2)ytx解： (a) 无记忆。 输出只决定于当时的输入。
13、非线性。 1212()()1212()()xtxtteetyt时不变。 0()0tyt因果。 无记忆系统必然是因果的。稳定。 当 时， 。()xtM()()xtxtMtee(b) 记忆。 输出不只决定于当时的输入。12非线性。 系统不满足可加性和齐次性。时不变。 。000()1)()xnyn因果。 输出只与当时和以前的输入有关。稳定。 当 有界时， 也有界，从而 必有界。()()x()y(c) 记忆。 ，输出与以前的输入有关。1216y时不变。 。0000()()2(17)()xnxnxnyn？线性。 系统满足可加性和齐次性。因果。 输出只和以前的输入有关。稳定。 当 有界时， 一定有界。()
14、x()y(d) 记忆。 ，输出与以前和以后的输入有关。01yx时变。 令 ，其中 是时不变的，而12()()tyt1()ytx是时变系统 整个系统是时变的。2()ytx线性。 系统满足可加性和齐次性。非因果。 是非因果的。2()1)tt稳定。 有界时， 和 都有界，从而 必有界。x(x()t()yt(e) 无记忆。 只与当时的输入有关。()yt时变。 0000sin6()sin6()xtyttxt线性。 系统满足可加性和齐次性。因果。 无记忆系统必定是因果的。稳定。 有界，当 有界时， 必有界。sit()xt()yt(f) 无记忆。 只与当时的输入有关。()yn时变。 。0000()()xnx
15、n线性。 系统满足可加性和齐次性。因果。 无记忆系统必定是因果的。不稳定。 有界但 时， 。()xn()y(g) 记忆。 ，输出与以前的输入有关。0(10y时变。 输入为 时，相应的输出为)xtT130,0()(1)twtxtTt而 显然,()()(0)tTytTtt ()(ytwt线性。 系统满足可加性和齐次性。因果。 只和当时以及以前的输入有关。()t稳定。 有界时， 也有界，从而 必有界。x(10)xt()yt(h) 记忆。 时， 不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。()ty时不变。 输入为 时，相应的输出为)xtT0,()0() ()(10)xtTwt yttt非线性。 若 1231
16、2,()xtt则有 23()0(),(0yttxy显然， ，系统不满足可加性。312y因果。 只和当时以及以前的输入有关。()yt稳定。 有界时， 也有界，从而 必有界。x(0)xt()yt(i) 记忆。 表明输出与以前的输入有关。(1)2y时变。 输入为 时，输出是 的偶数位。显然，输出不等于0)xn0()xn。(y线性。 系统满足可加性和齐次性。非因果。 ，表明输出与以后的输入有关。(1)2x稳定。 有界时， 也有界，从而 必有界。n()n()yn(j) 记忆。 表明输出与以后的输入有关。()2yx时变。 输入为 时，系统的输出为0t1400001()(2)()()2tzxtytt线性。
17、系统满足可加性和齐次性。非因果。 与以后的输入有关。()yt稳定。 有界时， 也有界，从而 必有界。x()2tx()yt2.13 判断下列每个系统是否是可逆的。如果是可逆的，则写出其逆系统；如果不是，则找出使该系统具有相同输出的两个输入信号。(a) (b) ()4)ytx()cos()ytxt(c) (d) n td(e) (f) ()(1)yx()1)ynx(g) (h) dtt2tt(i) (j) ()2ynx (/),)0xnyn偶奇解: (a) 系统可逆。其逆系统为 。()4ytx(b) 系统不可逆。 当 时，系统的输出为12k11()cos()ytxt。这表明系统的输入与输出不是单纯
18、一一对应的。cos()xty(c) 系统不可逆。 当输入为 或 时，系统的输出都为零。()n()(d) 系统可逆。其逆系统为 。dytxt(e) 系统不可逆。 当输入为 或 时，系统的输出都为零。()1)(f) 系统可逆。其逆系统为 。ynx(g) 系统不可逆。 当 为任意常数时， 均为零。()t()yt(h) 系统可逆。其逆系统为 。()2tyx(i) 系统不可逆。 只要 和 的偶数位相同，就会产生相同的输出。1n(j) 系统可逆。其逆系统为 。()yx2.14 对图 P2.14(a)所示的系统（图中开平方运算产生正的平方根） 。15(a) 求出 和 之间的函数关系。()xty(b) 判断该
19、系统的线性和时不变性。(c) 当输入 如图 P2.14(b)所示时，响应 是什么？()t ()yt(a)()xt t11022(b)解： (a) 由图 P2.14 可得出2()()2()1)ytxtxtxt(b) 由(a)知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。由(a)可看出，当输入为 时，输出为 ，故该系统是时不变的。0()t0()yt(d) 由(a)可得出响应 如图 PS2.14 所示。)y()yt t1011223图 PS2.142.15 判断下列说法是否正确，并说明理由：(a) 两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。(b) 两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。解：
20、(a) 结论正确。设两线性时不变系统如图 PS2.15 所示级联。当16时，则有 ，于是12()()xtatbxt12()()wtatbt，因此整个系统是线性的。yy若输入为 ，则由于时不变性可知系统 1 的输出为 ，这正是系统0()xt 0()wt2 的输入，因此总输出为 。即整个系统是时不变的。0()yt()xt ()yt1()ht 2()ht()wt图 PS2.15(b) 结论不对。如系统 1 为 ，系统 2 为 。虽然两系()3txt()3twt统都不是线性的，但它们的级联 却是线性的。()y2.16 对图 P2.16 所示的级联系统，已知其 3 个子系统的输入-输出方程由下列各式给出
21、：系统 1： ()ynx系统 2： 1)(1)abncx系统 3： ()yx其中： 都是实数。,bc(a) 求整个互联系统的输入-输出关系；(b) 当 满足什么条件时，整个系统是线性时不变的；,a(c) 当 满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统 2 相同；bc(d) 当 满足什么条件时，整个系统是因果系统。,图 P2.16解： (a) ()(1)()(1)ynzawnbcwn)xx(b) 对任意实数 ，整个系统都是 LTI 系统。,bc(c) 当 时，总的输入输出关系与系统 2 相同。a(d) 当 时，整个系统是因果的。02.17 已知某线性时不变系统对图 P2.17(a)所示信号 的响应
22、是图 P2.17(b)所示的1()xt17。分别确定该系统对图 P2.17(c)和(d)所示输入 和 的响应 和1()yt 2()xt3t2()yt，并画出其波形图。31()xt 1()ytt t(a) (b)0 0111 12222()xt 3()xtt t(c) (d)2 221111 001 134图 P2.17解： (a) 如图 PS2.17(a)所示。2121)()2xtxtytyt(b) 如图 PS2.17(b)所示。3131()()(a) (b)t t2()yt 3()yt2 10 0122 234图 PS2.172.18 (a) 某离散时间线性系统对输入 和 分别有响应 和12
23、(),xn3()xn12(),yn如图 P2.18(a)所示。如果该系统的输入为图 P2.18(b)所示的 ，求3()yn x系统的输出 。()(b) 如果一个离散时间线性时不变系统对图 P2.18(a)所示的输入 有响应 ，1()xn1()y那么该系统对 和 的响应是什么？2()xn3181()xn2()xn 2()yn1()ynn nn n10 00 01 111 122233 333()xn 3()ynn n1 110 01 12 234(a)n()xn12012(b)图 P2.18解：(a) 如图123123()3()()3()xnxnynynPS2.18(a)所示。(b) 如图 PS
24、2.18(b)所示。2121()()()()如图 PS2.18(c)所示。33xnyn19(a) (b) (c)2()yn1()yn 3()yn 4 110 0 01222 233324 42图 PS2.182.19 对图 P2.19 所示的反馈系统，假定 是， 。0n()0y(a) 当 时，求输出 ，并画出其波形图。1()xn1()y(b) 当 时，求输出 ，并画出其波形图。2u2D()xn ()yn()zn图 P2.19解： 由图 P2.19 可得出 (1)()ynxn(a) 当 时，由递推可得 如图 PS2.19(a)所示。1()x1y(b) 当 时，由递推可得 如图 PS2.19(b)
25、所示。2u2()(a) (b) n n766 554 4332 21 10 021 1图 PS2.192.20 某线性时不变系统，当输入为图 P2.20(a)所示的 时，输出 如图 P2.20(b)1()xt1()yt所示。试求当输入为 P2.20(c)所示的 时，系统的输出 。2()xt2图 P2.2020解： 由观察可知 212()()()xtxtt当输入为 时，输出为1y由 LTI 系统性质可知当输入为 时，输出 。2()xt212()()()ytyttt t1()yt 1()yt3/2 3/20 01 12 2334 45 566t2()yt3/0123456t1()yt3/201234562.21 试写出图 P2.21 所示模拟图对应的微分或差分方程。()yn()xn()xt ()yt Dab 13图 P2.21解： (a) 由图 P2.21(a)可得（设积分器前输入端为 ）1()yt111()()()()xtaytdtdtbdb或消去 可得1()yt()(1xytbabdtd(b) 由图 P2.21(b)可得()(3nyn即 1(x
