1、 对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。例 4 设有一线性规划问题表达式(包括目标函数、约束条件) 如下fmax50X 1 40X 2X1X 2450 (1)2 X1X 2800 (2)X13 X 2900 (3)X1，X 20 (4)以 X1，X 2 为坐标，当式(l)为等式，即 X1X 2450 时，在 X1 ，X 2 坐标系，它是一条直线，但式(l)不是等式，而是 X1X 2450，即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点，而是在直线X1X 2= 450 左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分) ，见图 1-1，例如 X1
2、0、X 2=0，X 1-5、X 2=0, X1=3、X 2=-3 等等,都是满足式(1) 的点。图 1-1 某线性规划问题同理，也可以在 X1，X2 坐标系中画出式(2)、(3)、(4) 所决定的 4 条直线，连同式(1) ，共 5 条直线，如图 1-2 所示。由图 1-2 所示的 5 条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区域，其中所有的点都满足约束条件的要求。实际上，它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合，称为凸集。那么，怎样从无穷多中求出使目标函数值最大的点呢？图 1-2 某线性规划问题中的约束条件 解 由于目标函数 f50X 140X 2，在 f 为一定值时也是一条直线，
3、其斜率为 -40/50。当 f 为不同值时，在 X1，X 2 坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上 X1，X 2 取不同的值，f 总是某一定值。例如图 1-3 中的直线 I，当 X1=0、 X2=0 时；当 X1=4、X 2-5 时 f=0；因此称直线 I 为 f 的某一等直线（此处为零）。图 1-3 目标函数 f 的等值线由于直线 I 是等直线，而且斜率相等，它们又是一系列平行线，因此只要画出其中任意的一条线，将它们平移到某个与凸集相交的极限位置，所得的交点就是既满足约束条件(在凸集范围内) ，又使 f 值为最大的现代战争最优解。如下图 1-4 中的点，X 1=350，X 2
4、=100，f=21500 。图 1-4 某线性规划问题的最优解上面介绍的图解法虽然简单直观，但只有在变量为两个的情况下才能实现；当变量数增多时，图解法就无法满足了。这时，就要用解析计算的方法单纯形法来求解。单纯形法的基本思路是：根据问题的标准型(等价的把不等式改为等式)，从可行域中一个基本可行解(顶点) 开始转换到另一个可行解( 顶点)。这种过程叫“迭代” ，每迭代一次都使目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解。在实际应用中，即使有了单纯形的解法，仍不能应付复杂情况的求解，如以一个有 77 个变量,9 个约束条件的线性规划问题为例，用单纯形法进行手工计算约需 120 工作小时，这样大的计算量必须借助于计算机来完成(该题用计算机求解仅需 12min)。
