1、2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation and constant variation formula )教学内容 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识 Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子. 教学重难点 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程. 教学方法 自学 1、4；讲授 2、3 课堂
2、练习 考核目标 1. 熟练运用常数变易公式; 2. 知道 计算和一些三角函数恒等式 ; 3. 知道电dxb sineax学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识 Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程. 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation）(1) 称形如 的方程为一阶线性齐次方程，其中 连续；y p(x)dp(x)称形如 的方程为一阶线
3、性非齐次齐次方程，其中 连续且q q(x) ,不恒为零. q(x)(2) 当 时，改写 为0yy p(x)d，其中 表示 P(x)的一个原1Cdx p()|ln , x,p()d dx p()函数(antiderivative). 因此， 通解(general solution)为 ，y ()dx 1Cp(x)de ,ey此外 y=0 也是解. 综上， 的解为 为任意常数. p()C ,e p(x)d(3) 常数变易法：如何求 的解呢？qy xd假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ，则代入原方程来确定 C(x)，p(x)de ，q()()Ce p(x)Ce (x)dy()()dxp()dx
4、即 ， ，此处 C 为q() ()Cp(x)d (x)de() q, p)-p(x)d 任意常数, 为函数 一个原函数. q(x)dep)- q(x)ep)d-综上，一阶线性非齐次方程的通解为. q(x)deCe )(e( y(x)p)-p(x)dp(x)dpx)d-px)d2. 一些实际应用例子（Applications ）例 28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容 C 上没有电荷，电容两端电压为 0，合上开关 1 后，电池 E 对电容 C 开始充电，电池电压为 E，电阻阻值为 R，电容 C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容 C 两端电压随时间变化的规律 . 解：设
5、U(t)表示在时刻 t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量 Q=U C，电流 I = , 电阻两端电压为 R I= . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零. dtUCtQdtU即有 . 改写为 ，这是一个一阶线性非齐次方程. 0RERCE1记 , 由常数变易公式得到，Eq(t) ,1p(t) CeE)(e)dte()CtdeUt RtRCttRCttp()(t)d 再注意到初始条件 U(0)=0， ，因此， . -E 0,EU(0tUt例 29. 考察如下 RL 电路图，设电源 E 的电压为 为常数，求电感线0 sinwt,m圈上电流 I 随时间的变化规律，设 t=0 时，I=0.
6、 解：设 I(t)表示时刻 t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为. 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 . 改写为dtIL 0dtI LRE, 这是一个一阶线性非齐次方程. sinwtU1Rm记 , 由常数变易公式得到，Lq(t) ,p(t)Cdtsin wLUe()CtdeIt mRttp()(t)d .bat costsin e bt)isn t (coebai)(Im)eiba1I()tI(t )Im(2at a2it(aibaibatt 2tLRmLRtmmLRt w(/) t)cossin teUdtsin weUdtsin we 令 ，22(/)i
7、 ,(/) co于是由 知，Bsin Aco sinBsiA，于是 .2tLRmmLRt w(/)ieUdti we LRt2meCw(/)sintLUI(t)再注意到初始条件 I(0)=0，因此，2m02m (R/)si C ,e(R/L)sin I(0) . tL2m2ew(R/)sinUw(/)itUI(t) 练习 23. (1) 求 ； (2) 改写 为 ，给出dtbcos eat tcosbsin ta)sin(tba12所满足的条件. (3) 由 Euler 公式 和 推导出: i coeibR, e)i( i 和asincoas)s(,inacosbasinb)si( ， . b
8、)sin(a)(si21b coasin b)cos(a)(csa21b osac作业 24. （1） 如例 28 中 RC 电路图，设 E=10V, R=100 , C=0.01 F, 开始时刻电容 C 上电压为零并在此刻合上开关 1，问经过多长时间电容 C 两端电压为 ?V5U1（2）如下 RL 电路图，设 E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度 I(t)，假定I(0)=0. 例 30. 溶液混合问题：设容积为 V（单位 ）的密封容器装着某种溶液如下图，从 A 以3m速度 r（单位 ）流入浓度为 （常数）的相同溶液，经充分混合后在 B 以相同速/sm30Ce度 r 流出容
9、器, 假设时刻 t=0 时，容器溶液浓度为 0，问容器中浓度随时间变化的规律. 解：设时刻 t 时容器溶液浓度为 C(t)，且 C(0)=0，则由溶质出入平衡，也即流入等于流出，由微元法建立如下等式： ，即V C(t)(tC)t rt re . (以下略)eCVr dt作业 25. 假设伊利湖的存水量为 ，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都34m 108是每年 ，在 t=0 时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的 5 倍. 如果流出的水是34m 105完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖 2 倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数 ）0Ce3. Bernoulli 方程及
10、其解法称形如 为 Bernoulli 方程. Rn ,yq(x) pdxy解法：当 时，改写原方程 ,0 1n ,)q(x1y p(x)n1dy )-1n-n- 令 ，这是一个一阶线性非齐次方程. q(x)(uu ,yn1例 31 求解方程 .2y x6d解：经过观察，原方程是一个 Bernoulli 方程, n=2. （1）当 时，改写原方程为 ，令 ，则0y x2)(1yx62)(1d)-(12 21yu. 由常数变易公式得到，xu6d.6276-d6d xC8)x()Ce() 返回原变量得到 . 62x8y1(2) 当 y=0 时，容易验证 也是原方程的解. 0作业 26. 求解方程（1
11、） ； （2） . 3ydx1y() ,x 24. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程例 32. 求解（1） ； （2） . y31d解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是 Bernoulli 方程. (a) 当 时，交换自变量和因变量而改写原方程为 . 这是一个0y yx2yx一阶线性方程. 由常数变易公式得到， ，C)d(e(x2dy2即 为所求方程的通积分.|)ln(Cy)d(y1x22(b) 当 y=0 时，已验证 y=0 也是原方程的一个解. (2) 结合 Bernoulli 方程来完成，留作练习. 作业 27. 求解方程（1） ； （2） . 3yxdy2xd5. 一些一阶线性方程的理论（1）考虑方程 ，其中 p(x), q(x)都是以 w0 为周期的连续函数. 用常数q(x)y pdx变易公式证明：（a) 若 ，则方程任一非零解都以 w 为周期的周期函数充要条件是0p(x)的平均值 (b) 若 不恒为零，则方程有唯一 w 周期解充要.()d w1()0q(x)条件是 , 试求出此解. （参见丁同仁、李承治 常微分方程教程pxP36 习题 5， 6）
