1、- 1 -第六章 线性空间3 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于 （ ）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；n12）设 是一个 实矩阵， 的实系数多项式 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；AA()fA3）全体 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：，121212(,)(,)(,)ababa；1,kk6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：；07）集合与加法同 6） ，数量乘法定义为：；k8）全
2、体正实数 ，加法与数量乘法定义为：R， abka解 1）不能构成实数域上的线性空间因为两个 次多项式相加不一定是 次多项式，所以对加法不封闭nn2）能构成实数域上的线性空间事实上， 即为题目中的集合，显然，对任意的 ，及()|VfxRA (),fgVA，有kR， ，()()fghVA()()kff其中 这就说明 对于矩阵的加法和数量乘法封闭容易验证，这两种运算满足线()hxfgx性空间定义的 18 条，故 构成实数域上的线性空间V3）能构成实数域上的线性空间由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18 条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可而两个对称（反
3、对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵于是，k- 2 -级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空n间4）不能构成实数域上的线性空间因为，两个不平行与某一向量 的两个向量的和可能平行于 ，例如：以 为对角线的任意两个向量的和都平行于 ，从而不属于题目中的集合5）能构成实数域上的线性空间事实上， 即为题目中的集合显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封(,)|VabR闭容易验证，对于任意的 ， ， ； ，有,(,)iabV1,23i,klR由于两个向量的分量在加法中的位
4、置是对称的，故加法交换律成立；直接验证，可知加法的结合律也成立；由于 ，故 是 中加法的零元素；(,)0,(,0)(,ababab(0,)V如果 ，则有 ，即111) 21,(,)abb为 的负元素；2(,)(, ；2()1(,)abab 221(1)(1)(,), ,l lkklklklaala；2()()b 2()(,),), ,lkablkab 2(1)1( )klalakl2(), kkl；(lb 121212(,),),)kabkaa，21()()( ka而 2 212112()()(,)(,)(,(,kkabkabakb2 212)ak- 3 -，2121211()(),()kka
5、baa即 12(,)(,),kab于是，这两种运算满足线性空间定义的 18 条，所以 构成实数域上的一个线性空间V6） 不能构成实数域上的线性空间因为 ，故不满足定义的第 5 条规律107） 不能构成实数域上的线性空间因为 ，故不满足定义的第 7 条规律()2kl kl8） 能构成实数域上的线性空间由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故 对定义的加法和数量乘法都是封R闭的容易验证，对于任意的 ， ，有,abR,kl ；ab ；()()()()ccabc ，即 是定义的加法 的零元素；11 ，即 是 的负元素；aa ；1 ；()()()llklklkl a ()kllaal (
6、)()()kkkbbkb于是，这两种运算满足线性空间定义的 18 条，所以 构成实数域上的一个线性空间R方法技巧直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的4在线性空间中，证明：1） ； k02） ()k解题提示利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质证明 1）证法 由于对任意的向量 ，存在负向量 ，使得 ，故()0- 4 -；()()(1)()0kkkk0证法 对于任意的向量 ，有 ，左右两边再加上 的负向量 ，即0kk可得 ；k2）利用数量乘法对加法的分配律，得到，()()kkk等式两边再加上 的负向量 ，即可得 k5证明：在实函数空间中， 是线性相关的21,co
7、st解题提示只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可证明 由于在实函数空间中，有 ，即 可由另外两个向量线性表出，故1cos2ttcos2t是线性相关的21,cost7在 中，求向量 在基 下的坐标，设4P1234,2） 12 4(,0)()(,10),(,1),(0,1) 解法 1 设 在基 下的坐标为 ，则有134,23k14k2）将向量等式按分量写出，得 1234120,.k解方程组，得 ，即为 在基 下的坐标1234,0,1,0kk1234,解法 2 将 和 作为矩阵的列构成一个矩阵4，1234,A对 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定 与 的线性关系A 1234
8、,2）对 进行初等行变换，得到- 5 -，1201013A于是 13方法技巧解法 1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标8求下列线性空间的维数与一组基：1）数域 上的空间 ；Pn2） 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域 上的空间；n P解题提示根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数解 1） 是数域 上全体 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间对于nPn任意的 ，令 表示第 行第 列的元素为 1
9、，其余元素均为 0 的 级矩阵根据矩阵的线性运,ijijEij n算以及矩阵相等的定义，容易验证，ijE,2,是线性无关的，且任意 级矩阵 均可由它们线性表出，从而为 的一组基于是 的维数nAnPnP为 2n2）仍然使用 1）中的符号，并记， ， |nSPA|nTPA()|0,nijijNaPj则，按照矩阵的加法和数量乘法， 分别表示 中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的,SNn线性空间容易验证 ， ； ， ，构成线性空间 的一组基，其维数为iE1,2n ijjiE1jS(1)22n ， ，构成线性空间 的一组基，其维数为ijjijT()1(1)n- 6 - ， ； ， ，构成线性空间 的
10、一组基，其维数为iE1,2n ijE1jnN(1)22方法技巧求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析9在 中, 求由基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在所指基下的坐标设4P1234,1234,1） 在 下的坐标；234(0),(,1),1234()0,5(6,),1234(,)x1234,2） 在 下的坐标；134,(2),0,1234,(),(1,0)1234,解题提示由于题目是在 4 维向量空间 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡4P矩阵；对于求 在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标
11、变换法解 1）由于 为 4 维单位向量，故 ， 在基 下的坐标向量即为123,i1,2341234,本身，故i123405613(,)2A即为由基 到 的过渡矩阵1234,1234,又由于 在基 下的坐标向量即为 本身，根据坐标变换公式，可知(,)x1234,在 下的坐标为1234,，11 122 233 344 4971208736yxxA即- 7 -12342134412344,99,77,6.797yxxyxx2）由于这一题目是在 4 维向量空间 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵P方法（3 ）可知，由基 到基 的过渡矩阵为123,1234,1234()(,)A0121
12、012令 ，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造 矩阵12341234(,),(,)BC 2n，对矩阵 实施初等行变换，当把 化成单位矩阵 时，矩阵 就化成了 ：=)PPBEC1B120123=0 1010 1()EBC于是，由基 到基 的过渡矩阵为1234,1234,101ABC另外，设 为 的单位向量组成的自然基，那么1234,eP12341234(,)(,)eB- 8 -于是，11234123400(,0)(,)(,)eB因此， 在 下的坐标为1234,112341020yB类似地，构造矩阵 ，并对其进行初等行变换，将 化成单位矩阵 时，矩阵 就化成了=()PBE：1B，111103
13、/1205= ()2/0 P B所以， 在 下的坐标为 (1,)1234,12345y方法技巧利用 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另n一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得10继第 9 题 1） ，求一非零向量 ，它在基 与 下有相同的坐标1234,1234,解 根据上一题的讨论可知，由 到 的过渡矩阵为1234,123405613(,)2A设所求向量为 ，由于 为 4 维单位向量，故 在基 下的坐标1234(,)x123,1234,向量即为 本身，故根据坐标变换公式，
14、可知 在 下的坐标为 因此，如果 在两组123,A- 9 -基下的坐标相同，那么1A左右两边乘以 ，可得 ，即 ，也就是说 是齐次线性方程组 的A()0E()0AEX解利用消元法求得方程组的解为，1234xk其中 是任意常数k于是 ， 是非零常数，即为所求向量(,)k特别提醒利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题12 设 都是线性空间 的子空间，且 ，证明：如果 的维数与 的维数相等，那么12,VV12V12V12证明 设 那么12dimir如果 ，则 与 都是零空间，从而， 0rV12V如果 ，任取 的一组基 ，由于 ，且 的维数相等，故，根据基的112,r12,V定义，
15、也是 的一组基，于是 12,r212(,)rL方法技巧这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用14 设，1032A求 中全体与 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基3PA解题提示可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得解 设 是与 交换的任意一个矩阵首先将矩阵 分解成12133xXAA- 10 -10031AEB由于单位矩阵 与任何矩阵都可交换，故 与 可交换当且仅当 与 可交换事实上，由EXX，()AXBB()X可知 当且仅当 将 按元素写出，即为，1313221231232123000xxxx 从而即132310,xx132120,.x这是一个含有
16、 9 个未知数的线性方程组，取 为自由未知量，依次取值为 5 维单位向量，1213,得线性方程组的一个基础解系为， ， ， ，103X203X301X401X5031X于是 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为 512345,方法技巧本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简A单的矩阵 可交换的形式，这能够给计算带来简便B19设 与 分别是齐次方程组 与 的解空间，证明1V2120nxx 121nxx1PV证法 由于齐次方程组 的一组基础解系为12nxx- 11 -，11100,n 即为其解空间的一组基，从而 121(,)nVL另外，齐次方程组 的一组基础解
17、系为 ，即为其解空间的一组基，2nxx (,1)从而 2()VL又由于向量组 组成的 级矩阵的行列式121,n，10()01n 故 线性无关，从而 ，而 ，所121,n2dim(,)nL121(,)nnLP以，根据习题 12 可知， 121(,)nnP于是， ，且1212 21,)(,)nn nVL P ，1diidinPV故 12nP证法 2 由于齐次方程组 的一组基础解系为120nxx，1110,0n 即为其解空间的一组基，从而 121(,)nVL另外，齐次方程组 的一组基础解系为 ，即为其解空间的一组基，从2nxx (,1)而 2()VL- 12 -对于任意的 ，不妨设 ，则12V121
18、nkkl，0按分量写开，即为 1211,0,.nnkkllkl直接解得 ，从而 因此 1210nkkl 12V0所以 ，而显然 ，根据习题 12 可知， ，2dim()diimVV nP12nVP结合 ，有 1201nP证法 3 设 ，即 且 ，那么22(,)na 12V210,.naa 直接解得 ，即 因此 120naa 2另外，对于任意的 ，显然有12(,)nxP，12(,)(,)nnxxx 其中 ，且 ， 所12()nxxn 1,V 2V以 PV结合 ，有 12012nPV方法技巧证法 3 的证明更为直接和简便20证明：如果 ， ，那么 12112V21V证法 1 由题设知， 由于 ，故 又因为V212dimidi，所以 于是 因此12V1112dimidi 12i21V- 13 -证法 2 由题设知， 设 ，其中 ，那么，12V12011223,VV由 及 ，可得 再由 可得12()0,0，于是，零向量的表示法唯一，从而 2 21V
