1、线性代数（理） 综合复习资料一、选择填空题1、行列式 中，元素 的代数余子式为 。315422、设 ，则 的秩 。A145A()r3、已知三阶方阵 的特征值为 ，矩阵 与 相似，则 的全部特征值为 ,324BA。4、二次型 的矩阵为 。21231132340fxxx(,) 5、设行列式 ，则 。a12133a3123216、设 满足关系式 ，其中 为单位矩阵，则下列说法不正确的是,nABRABE（ ）（1） 的行列式均不为零； （2） 为可逆矩阵， 为不可逆矩阵；, B（3） ； （4） 。 （其中符号*表示伴随矩阵）*A7、下列向量组中线性无关的向量组是（ ） 。（1） 、 、 ；(0)(1
2、2)(1)（2） 、 、 、 ；0(21)（3） 、 、 ；()(0)（4） 、 、 。12(248、设 ，则下面说法不正确的是( )nABR,（1）如果 ，则 与 相似；APB1（2）如果 ，则 与 等价；Q（3）如果 ，则 为正交矩阵，其中 为单位矩阵；TEE（4）如果 ，则 为对称矩阵。9、下列说法不正确的是（ ）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的；（2）向量组与其最大无关组是等价的；（3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；（4）秩相同的向量组一定是等价向量组。10、设 ， ，如果12133aAaaB 112132 233，则初等矩阵 为（ ）PBP（1） ；（
3、2） ；（3） ；（4）0110P10。P02111、行列式 中，元素 的代数余子式为 。453212、设 ，则 的秩 。A11A()r13、设有向量 ， ，则当 时， 与 正交。T(2,3)4Tx(,)14、二次型 的矩阵为 。221231313236fxxx(,) A15、设 均为 3 阶方阵，且 ，则 。,ABAB3,2216、对于矩阵 ，下列说法不正确的是（ ）nR（1）如果矩阵 中有一行元素全为零，则 ；AA0（2）如果矩阵 中有两行元素对应成比例，则 ；（3）如果交换矩阵 的任意两行，则相应的矩阵行列式值不变；（4）如果将矩阵 的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。17、
4、下列说法不正确的是（ ）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的；（2）向量组与其最大无关组是等价的；（3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；（4）秩相同的向量组一定是等价向量组。18、下面论断错误的是( )（1）两个初等矩阵的乘积必是可逆矩阵；（2）可逆矩阵的乘积必是可逆矩阵；（3）两个初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；（4）可逆矩阵可分解为有限个初等矩阵的乘积。19、设矩阵 的秩为 （ ） ，则下列说法不正确的是（ mnARrin(,)mr0）（1）矩阵 所有 阶子式均不等于零；（2）矩阵 的所有 阶子式全等于零；1r（3）矩阵 的行向量构成的向量组的秩为 ；r（4）矩阵 的
5、列向量构成的向量组的秩为 。A20、设矩阵 ， ，如果 ，则初12133a121323aaBAPB等矩阵 为（ ）P（1） ；（2） ；（3） ；（4）0110P10P。01P二、计算题1、计算 阶行列式 的值。nDn12.32.2、设矩阵 ，求矩阵 。A130241A3、计算行列式 的值。5342D4、设矩阵 ，求矩阵 。A104351A5、计算行列式 的值。D210734866、设矩阵 ，求矩阵 。A21351A7、已知向量组 ， ， ，023035162，求该向量组的一个最大无关组。408、设有线性方程组 ，问 为何值时，方程组有唯一解？无解？123xaba、有无穷多解？9、求矩阵 的特
6、征值和相应的特征向量。3102A10、计算 阶行列式 （ ）的值。nabDabb000 11、设矩阵 ，求矩阵 。A1021A12、已知向量组 ， ， ，1203135，求该向量组的一个最大无关组。42713、问 为何值时，非齐次线性方程组 有解？并写出通解。132426x14、求矩阵 的特征值和相应的特征向量。4031A参考答案第一题 选择填空题1、-14； 2、2； 3、 ； 4、 ； 5、-4； 6、 （2） ；,322017、 （3） ； 8、 （2） ； 9、 （4） ； 10、 （4） ； 11、10； 12、3； 13、2；14、 ； 15、33； 16、 （3） ； 17、 （
7、4） ； 18、 （3） ； 0119、 （1） ；20、 （1） 。第二题 计算题1将第 2 行乘以-1 分别加到 3 至 n 行得：.32.Dn12.200.n再将第 2 列乘以-1 分别加到 3 至 n 列得：Dn10.02102n()!2 AE13014 30172，0713210A1071023利用行列式的性质简化行列式即得 2453D21415423r54123（两行对应成比例）10251304 AE420151 012345，51321071A15327015利用行列式的性质简化行列式即得D12073486r21341025401254061206 AE10435 1023415
8、，210713A1732017将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可： 12342015671234070，所以 是一个最大无关组。1234010123,注：该题结果不唯一。8对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得12Abab()110304ab当 时，方程组有唯一解（系数行列式非零） ；当 且 时，方程组无解（ ） ；1()()rnkAr当 且 时，方程组有无穷多解（ ） 。ab 23abnkA9解：首先计算特征多项式 31002EA240()特征值为 ， （二重） ；1423,求 对应的特征向量：解方程组 ，即1
9、40()EAx1230x等价方程组 此时方程组的一个解向量为 。1230x 10p故 对应的所有特征向量为 。14110kpkR,求 对应的特征向量：解方程组 ，即23, 2()EAx1230x等价方程组 此时方程组的基础解系为 ；1230x 2310,p对应的所有特征向量为 。23, 223233310kkpkR,10 nnabbaD()aab10000 （其中两个行列式分别为上三角和下三角行列式）利用特殊行列式即得 。1()nnb11 AE10021 10，01A12112将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：12341057123406所以 是该向量组的一个最
10、大无关组。12341012,13解：提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得 104263()Ab10231因此，当 时， ，方程组有解；1()()rankArb此时，等价方程组为 ，相应齐次方程组的基础解系为：132x，非齐次方程组的一个特解为 ，12 10x故此时方程组的解的一般形式为 （ 为任意实数） 。120xkk14解：首先计算特征多项式 4031EA24()特征值为 ， （二重） ；123,求 对应的特征向量：解方程组 ，即120()EAx1230x等价方程组 此时一个特征向量为 ；12300x 1p故 对应的所有特征向量为 。1211kpkR,求 对应的特征向量：解方程组 ，即234, 40()EAx1230x等价方程组 此时可取特征向量为 ；12300x 2310p,故 对应的所有特征向量为 。234,23232301kpkkR,等价方程组 此时一个特征向量为 ；12310x 2p求 对应的特征向量：解方程组 ，即3990()EAx12340x等价方程组 此时可取特征向量为 ；1230x 312p将 单位正交化，得正交矩阵 ，123,p12312P则 ；所求变换为 ，069TPA1 12 23 3xyXY标准型为 。2212313(,)69fyyy
