1、1圆内极点与极线性质简证原题 如图，过定点 P 作定O 两条动割线 PAB 与 PCD，连结 AD 与 BC，交于点 Q求证：动点 Q 在一条定直线上 E FQAC OP DB问题 1 如图，过点 P 作O 两条割线 PAB 与 PCD，连结 AD 与 BC，交于点 Q，直线 PQ 交O 于点 E、F，点 M 为弦 EF 的中点求证： PMQFE ME FQAC OP DBME FQACP ODB注：要证明的结论等价于 ，即“内分比外分比” ，也即点 P，E，Q，F 构成调和FQPE分割。证法一：在射线 PF 上取点 M，使 PQPMPAPBPCPDPEPF，则 A，Q，M ，B 四点共圆，
2、Q，C，D，M 四点共圆因此 BMF BAD ，DMFDCB，因此 BMF FMD，从而BODBMD ，因此 O，M，B，D 四点共圆因此 OMD OBD ，又 ，OBOD，因此 FMD OMD90F21即 OM MF（另法：将OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此 点 M 为弦 EF 的中点证法二：在射线 PF 上取点 M，使 PQPMPAPBPCPD，延长 DM 交O 于点 N连结 OM， BM，BN，EN2NME FQACP ODB由于 C，Q，M，D 四点共圆，Q，A，B，M 四点共圆因此 BQFNDCNBC 因此 NB EF因此 NEBF，NEF BFE又 NME
3、BCDBADBMF因此 NMEBMF（AAS）因此 EMFM，下略证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比 E FQACP ODBQAPEBAPSEQPAEsinDFFAFPi因此只要证明 ，这可以由下面的推导得到：BEDFBAECQACPDPB sin（由BADBCD 得PAQPCQ）从而得证证法四：设直线 PQ 为 x 轴，直线 AB，CD，AD，BC 方程为 ， ，0),(1yxf 0),(2yxf， ；P(p，0)，Q (q，0)，E(e， 0)，F (f，0). 0),(3yxf 0),(4yf3xf 4f3f2f1E(e,0) F(f,0)Q(q,0)A
4、CP(p,0) ODB则圆 O 可表为 .其中 , 是待定参数.0),(),(),(),( 4321 yxffyxff令 y = 0，得到 (*) 两根为 e，f，00注意到一次方程 ， 的解均为 x = p，),(1xf),(2xf故 ( 为待定系数).21),(pkxf 1k同理 ( 为待定系数).243 )0,(qxf(*)可变为 .021 kk将 x e，f 带入上式，消去待定系数，得到 22)()(qfpe故 .FQPE上述证明本质上证明了射影几何中的 Desargues 对合定理，但是并没有动用射影几何的概念，仅仅用了高中平面解析几何的二次曲线系和初中二次函数两点式理论，可以说是初
5、等的.推广：如图，点 P 在O 外，PAB、PCD、PEF 为O 的三条割线，A、B、C、D、E、F 为割线与O 的交点，割线 PEF 交 AD、BC 于点 S、T求证： PTSP11 ETSQACP ODBF XYE MTSNLQAC OPDBF4证法一：分别过点 A、C 作割线 PEF 的平行线，交O 于点 L、N ，连结 AN、CL，分别交 PF于 X、Y 取 EF 的中点 M，连结 OM，则 OMPF BLPXA A、B、X、T 四点共圆 PXPTPA PBPEPF PXFET同理，PYCLCN D C、D、Y、 S 四点共圆 PYPSPCPDPE PF YS PFEPFEMPYXTP
6、 121 注：当点 S 与点 T 重合为点 Q 时，点 X 与点 Y 则重合为中点 M证法二：设割线 PEF 为 x 轴，直线 AB，CD，AD，BC 方程为 ， ，0),(1yxf 0),(2yxf， ；P(p，0)，E(e，0)，F (f，0) ，S(s，0) ，T(t，0).0),(3yxf 0),(4yf f 1f2f3f4xE(e,0) T(t,0)S(s,0)QACP(p,0) ODBF(f,0)则圆 O 可表为 .其中 , 是待定参数.0),(),(),(),( 4321 yxffyxff令 y = 0，得到 (*) 两根为 e，f，00注意到一次方程 ， 的解均为 x = p，
7、),(1xf),(2xf故 ( 为待定系数).21),(pkxf 1k而一次方程 ， 的解分别为 x = s 与 x = t0),(3f 0),4xf故 ( 为待定系数).(0,243 tskxf 2k(*)可变为 .0)21 txp将 x e，f 带入上式，消去待定系数，得到 )()(2tfsepfe5即 ，由此得 ，FTSEP2 )(2PTFSEPFE整理得 .11问题 2 如图，过定点 P 的动直线交定O 于点 E、F，点 M 为弦 EF 的中点，求证：满足PEPFPQPM 的动点 Q 在一条定直线上 ME FQP OE FHME FQOP证明：如图，作直线 OP，交 O 于点 、 ，取点 H 使 连结 OMEFP因为 ， 所以 PFE PMQ因此 Q，H，O，M 四点共圆，从而 QHOP下面证明点 H 为定点设 O 的半径为 R，由 得，O，整理得 ，因此点 P 为定点HRP)()()( 2R故动点 Q 的轨迹为过定点 H 且与 OP 垂直的直线当直线 PEF 成为O 的切线时，点 E 与 F 重合为切点，因此定直线 QH 为切点弦所在的直线http:/
