1、2、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（1）多元线性回归模型的建立假设某一因变量 y 受 k 个自变量 的影响，其 n 组观测值为（ ） ，kx,.21 kaaxy,.,21。那么，多元线性回归模型的结构形式为：na,.2（3.2.11）akaaa xxy.210式中：为待定参数；k,.10为随机变量。a如果 分别为 的拟合值，则回归方程为kb,.10 k.,210= （3.2.12）kxbxb.21式中：为常数；0b称为偏回归系数。k,.21偏回归系数 （ ）的意义是，当其他自变量 （
2、 ）都固定时，自变量ik,.21jxi每变化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。ix根据最小二乘法原理， （ ）的估计值 （ ）应该使ik,.0ibk,.210（3.2.13）min.121012 na kaana xxbyyQ有求极值的必要条件得（3.2.14）najaj nkxybQ110 ),.21(02将方程组（3.2.14）式展开整理后得：（3.2.15） nakknanaknaknak naknananana aaaaa nknann yxbbxbxbx xyxbbxbxx x11221101 1212112012 111121 20 )(.)()()( )()()()( .方
3、程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵： knnkknk xxxxXyYbb.1.1,.,. 233221121210 knnkkknkknT xxxXA .1.1233221132121132 naknaknaknak naknanana aaaa kn xxxxxx121211 1121212 112112. naknaaknkknT yxyxyyxxYXB11213213211321 则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式（3.2.15）BAb求解（3.2.15）式可得：（3.2.16）YXT11)(如果引入记号： ),.2,()(1 kjixxL
4、najjaiijiij ),.1()(1iynaaiiiy则正规方程组也可以写成：（3.2.15 ）kykkk ykxbxbyLLbb.21021 222 121（2）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量 y 的观测值 之间的波动或差异，是由两个ny,.21因素引起的，一是由于自变量 的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引kx,.21起的。为了从 y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将 y 的离差平方和 或（L yy）分解成两个部分，即回归平方和 U 与剩余平方和 Q：TSQLSyT在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有 k 个自变量对 y 的变差的总影响，它可以按公式 kiiynaLbyU121)(计算，而剩余平方和为 UyQynaa21)(以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和 Q 就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和 U 的自由度等于自变量的个数 k，而剩余平方和的自由度等于 ，所以 F 统计量为：1kn)1/(knQUF当统计量 F 计算出来之后，就可以查 F 分布表对模型进行显著性检验。
