1、长沙市 2017 届高三年级模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 解析： = ，故其对应点在第二象限.选 B.31i()32ii2. 解析： 时， 中元素均为无理数， ； 时 ，aBBA2a1，B； 时 ，则 .故 值为 2.选 B.2，BA33解析：依题意， .故选 A.)65sin()632sin()6(sin xxxy4解析：自上而下依次设各节容积为 ，依题意有 ，921,a 43987321a因为 ，故 .选 A.,4132aa897648325. 解析：该几何体为一半径为 1
2、的半球，表面积为 .选 A.6解析： ,故 的次数从12123166()()rrrrrTCxCx12 到6 成公差为3 的等差数列.选 D.7解析：过 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 轴的交A点为 D.因为 ，故 为等边三角形，20OFAF，从而 ，因此抛物线的准线方DBDp程为 .选 A.1x8解析：依题意，应填入条件是 .选 C.Nx9解析：设 的外接圆半径为 ，则 = ，于是ACR32sin， ，RBsin32si2ii() ACBA于是 的周长= (i() 3= .选 C. 3)sin(32A10解析：令 ，定义域为 且 ，故函数2()lfx0, 2()ln()fxfx为偶函数，图
3、象关于 轴对称，排除 B、D；考虑 ，lny y 2lng，当 时 ， 单调递增，1()2gx)2,0(x1(20gx2()lx排除 C.选 A.11解析：设 是双曲线 的右焦点，因为 ，2FC21PF故 = ，显然当 三点共线且 在PQ1 Q2 Q、 P之间时， 最小，且最小值为 到 的距离.易知 的方程为、2 2ll或 ， ，求得 到 的距离为 1，故 的最小xy12yx)0,3(F2FlF1值为 .选 D.12. 解析：依题意对任意的满足 的实数 ，有 ，于是 ，ab30b、 240ac24bca从而 , 0c(1) 当时 ，1,4aca(2) 当 时，设点 ，则有 c(,)0,PbQ1
4、0PQabcka由于 ，画图可知，03aPk则有 1(1,)0Qc选 C.二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分.13解析： .0)1(cosdx0|)(sin14解析：该样本中 AQI 大于 100 的频数为 4，频率为 ，以此估计该地全年 AQI 大52于 100 的频率为 ，故该地该年 AQI 大于 100 的天数为 天.52 146315解析： = .2sin()sicosin2icos4in(cos)in1()16解析： 221()943()2APxByADxyx= .3(32 2()(3)44yxy而 ，因此 ，故 ，当且仅当 ，12 1)24yxxy=即 时取最大值 2
5、.,3yx三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）解：（1）设等差数列 的公差为 ，nad依题意有 ， 2 分d348211解得 ，,a从而 的通项公式为 ， ； 4 分n2na*N（2） ， ，11cb 32cb从而等比数列 的公比为 3.n因此 . 7 分13nc另一方面： ，2nba-所以 ，2n1-3因此 . 9 分b记 的前 项和为 ，nbnS则 . 12 分)3214nS11(3218 （本小题满分 12 分）解：(1)走路线 20 分钟能到校意味着张老师在 两处均遇到绿灯，BA、记该事件发生的概率为 ，则 4 分P312(2)设选择路线 延
6、误时间为随机变量 ，则 的所有可能取值为 0，2，3，5.则 ，1212(0),()33P.656P的数学期望 =2； 7 分32E设选择路线延误时间为为随机变量 ，则 的所有可能取值为 0，8，5，13.则 ，20541)8(,06543)0( PP.329的数学期望 =5； 10 分19E因此选择路线平均所花时间为 =22 分钟，20选择路线平均所花时间为 分钟，5所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线. 12 分19 （本小题满分 12 分）解：(1) 设 中点为 ，连结 .ABFCFD、因为 均为等边三角形，C、所以 ，D,因此 平面 . 3 分因为平面 平面 ，
7、,ABDABF所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ，DFABCEABCCEDF从而 平面 ， 因此 平面 ，EDF所以 . 6 分(2) 如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系.则有 ， .)3,0(),23,0(),1B(10)A， ，于是 .(2,)(1)()AEBD， ， ， ，设面 的法向量为 ，,1zyxu面 的法向量为 . 9 分 DB)(2v则有 ， .030211zyx0232zyx故取 ， .(0,2)u),(v于是 = ，,cos853所以二面角 的余弦值为 . 12 分ABED20 （本小题满分 12 分）解：（1）设 切圆 于 ， 直线 与 轴的交点为 ，M4xN故
8、 .EB从而 22AAPAPB2594N所以 为定值 4. 4 分EB（2）由(1)同理可知 ，FA故 均在椭圆 上. 6 分FE、 1342yx设直线 的方程为 ( ).m0令 ，求得 ，即 点纵坐标 . xyQyQ3由 得： .13422(4)690设 ),(),(21yxFE、则有 ， . 9 分2634my12934因为 在同一条直线上，QB、所以 等价于 ，EFE 121()()()BQBQyyy即 1121233yym等价于 .)(代入 ， 知上式成立.122634y122934ym所以 . 12 分EQFBE21 （本小题满分 12 分）解：（1） 的定义域为)(xf(,0)(,
9、)而 ， 2 分2aef当 时， ，0)(xf故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 4 分)(f (,0)（2）当 时，由(1) 知 ， 无极值点；axf)(f当 时，令 ，则 .0a2)(xaefxg 32()xage对 恒成立.)(xg,故 在 上单调递增；2ex)0(，当 时， ， ，故在 上存在实数 ，使得 ，10,e2(,)ax)1,0(s2ae从而在 存在实数 使得 ；)(， sg当 时， ， ，故在 上存在实数 ，使得 ，x),(ex )(2，ax),(ttea从而在 存在实数 使得 .)0(， t0t因此 在 上有唯一零点，设为 . xg， x于是当 时 ， 时 ，),(0
10、)(gxf )(0， 0(xf从而 在 上存在唯一的极小值点， 7 分xf且极值 . 0()xae由 知0g02x因此 ， 9 分0 0()(1)xxafee令 = ，xx2故 在 上单调递增.)()0，而 ，2ln)1(l)(ln4l10 eexfx 所以 .2ln0令 ，则 ，()xe2()xe故 时 ， 单调递减.l00x2(xe从而 ，2ln2()(l)ae故所求 的取值范围是 12 分,ln)请考生在 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号22 （本题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解：（1）由 知 ，sinco2yx22()(4)1xy故曲线 的直角坐标方程为： .1C2890将 代入 知yxsi,co(cosin)1m曲线 的直角坐标方程为 5 分2 10x（2）曲线 是圆心为 ，半径为 1 的圆，1C)4,2(故 点坐标为 ，代入 求得P3, 0xmy. 10 分m23 （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解：（1）当 时， ，1a()13(1)32fxxx故 的最小值为 2，当且仅当 时取到最小值. 5 分)(xf （2） ，3()(3axaxa若不等式 的解集非空，)(f则 ，即 ，3a3a因此 ，60所有 的取值范围是 . 10 分0，
