1、单元质检八 立体几何(A )(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A.1 B.2 C.3 D.42.下列命题中,错误的是( )A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面B.平面 平面 ,a,过 内的一点 B 有唯一的一条直线 b,使 baC., ,所成的交线为 a,b,c,d,则 abcdD.一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行3.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若
2、AB=3,AC=4,ABAC,AA 1=12,则球 O 的半径为( )A. B.2 C. D.3 导学号 372705873172 10 132 104.已知 l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.若 l1l 2,l2l 3,则 l1l 3B.若 l1l 2,l2l 3,则 l1l 3C.若 l1l 2l 3,则 l1,l2,l3共面D.若 l1,l2,l3共点,则 l1,l2,l3共面5.一个正方体的表面展开图如图所示,点 A,B,C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异面直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值为( )A. B.25 35C. D.105 5
3、56.在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则ABC 的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.已知矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=3,PA平面 ABCD,若 BC 边上有且只有一点 M,使PMDM,则 a 的值为 . 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PCBD,则平行四边形 ABCD 的形状一定是 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,已知 ACBC,BC=C
4、C 1.设 AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面 AA1C1C;(2)BC1AB 1.10.(15 分) 三棱锥 A-BCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD,BC 的平面分别交棱 BD,DC,CA 于点 F,G,H.(1)证明:四边形 EFGH 是矩形;(2)求直线 AB 与平面 EFGH 所成的角 的正弦值.导学号 3727058811.(15 分)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=
5、2GB.(1)证明:PEFG;(2)求二面角 P-AD-C 的正切值;(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.导学号 37270589参考答案单元质检八 立体几何(A )1.B解析由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱 A1B1C1-ABC,且 AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面 A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1都相切,故此时球的半径与 ABC 内切圆半径相等 ,故半径 r= =2.故选 B.6+8-1022.D 解析 A 正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,则它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B 正确
6、,平面 与平面 平行,则平面 中的直线 a 必平行于平面 ,平面 内的一点与这条线可以确定一个平面 ,这个平面与平面 交于一条直线,过该点在平面 内只有这条直线与 a 平行;C 正确,利用同一平面内不相交的两条直线一定平行判断即可确定 C 是正确的;D 错误,一条直线与两个平面所成的角相等,这两个平面可能是相交平面,故应选 D.3.C解析由计算可得 O 为 B1C 与 BC1的交点.设 BC 的中点为 M,连接 OM,AM,则可知 OM平面 ABC,连接 AO,则 AO 的长为球半径,可知 OM=6,AM= ,在 RtAOM 中,由勾股定理得半径 OA= .52 1324.B 解析 从正方体同
7、一个顶点出发的三条棱两两垂直,可知选项 A 错;因为 l1l 2,所以 l1与 l2所成的角是 90.又因为 l2l 3,所以 l1与 l3所成的角是 90.所以 l1 l3,故选项 B 对;三棱柱中的三条侧棱平行,但不共面,故选项 C 错;三棱锥的三条侧棱共点,但不共面,故选项 D 错.故选 B.5.C解析如图所示,可知EGF 为 AB 和 CD 所成的角,F 为正方体棱的中点.设正方体棱长为 1,则 EF=GF= ,EG= .52 2故 cos EGF= .1056.B解析如图,作 AEBD ,交 BD 于 E.平面 ABD 平面 BCD,AE平面 BCD,BC平面 BCD,AEBC.而
8、DA 平面 ABC,BC平面 ABC,DA BC.又 AEAD=A,BC平面 ABD.而 AB平面 ABD,BC AB,即ABC 为直角三角形.故选 B.7.1.5 解析因为 PA平面 ABCD,所以 PADM.若 BC 边上有且只有一点 M,使 PMMD ,则 DM 平面 PAM,即 DMAM,故以 AD为直径的圆和 BC 相切即可.因为 AD=BC=3,所以圆的半径为 1.5,要使线段 BC 和半径为 1.5 的圆相切,则AB=1.5,即 a=1.5.8.菱形 解析因为 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 PABD.又 PCBD,且 PC平面 PAC,PA平面 PAC,PCPA=
9、P,所以 BD平面 PAC.又 AC平面 PAC,所以 BDAC.又四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形.9.证明(1)由题意知 ,E 为 B1C 的中点,又 D 为 AB1的中点,因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C,AC平面 AA1C1C,所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC,所以 ACCC 1.又因为 ACBC,CC 1平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1,BCCC1=C,所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1,所以 BC1AC.因为
10、BC=CC1,所以矩形 BCC1B1是正方形,因此 BC1B 1C.因为 AC,B1C平面 B1AC,ACB1C=C,所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC,所以 BC1AB 1.10.(1)证明由该三棱锥的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由题设,BC平面 EFGH,平面 EFGH平面 BDC=FG,平面 EFGH平面 ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理 EFAD,HGAD,EFHG.四边形 EFGH 是平行四边形.又 AD DC,ADBD ,AD 平面 BDC,AD BC,EF FG,四边形 EFGH 是矩形.(2)解如图,
11、以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 ,则 D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,0,1). 设平面 EFGH 的法向量 n=(x,y,z),EFAD,FGBC,n =0,n =0, 得 =0,-2+2=0,令 x=1,得 n=(1,1,0),sin=|cos|=|= ,252=105即直线 AB 与平面 EFGH 所成的角 的正弦值为 .10511.解法一(1)证明:PD=PC,且点 E 为 CD 边的中点,PEDC.又平面 PDC平面 ABCD,且平面 PDC平面 ABCD=CD,PE平面 PDC,PE
12、平面 ABCD.又 FG平面 ABCD,PE FG.(2)四边形 ABCD 是矩形 ,AD DC.又平面 PDC平面 ABCD,且平面 PDC平面 ABCD=CD,AD平面 ABCD,AD 平面 PDC.PD平面 PDC,AD PD.PDC 即为二面角 P-AD-C 的平面角.在 RtPDE 中,PD=4,DE= AB=3,PE= ,12 2-2=7tanPDC= ,=73即二面角 P-AD-C 的正切值为 .73(3)如图所示, 连接 AC,AF=2FB,CG=2GB,即 =2,ACFG ,=PAC 即为直线 PA 与直线 FG 所成的角或其补角.在PAC 中,PA= =5,2+2AC= =
13、3 .2+2 5由余弦定理可得 cosPAC= ,2+2-22=52+(35)2-422535=9525直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 .9525解法二(1)见解法一 .(2)取 AB 的中点 M,连 EM,可知 EM,EC,EP 两两垂直,故以 E 为原点,EM ,EC,EP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .可得 A(3,-3,0),D(0,-3,0),P(0,0, ),C(0,3,0),即 =(-3,0,0), =(0,-3,- ),7 7设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,可得 -3=0,-3- 7=0,令 y= ,可得一个法向量 n=(0, ,-3),7 7又平面 ADC 的一个法向量为 =(0,0, ), 7所以二面角 P-AD-C 的余弦值为 |cos|= . |-3774|=34所以二面角 P-AD-C 的正切值为 .73(3)由(2)中建立的空间直角坐标系可得 =(3,-3,- ),F(3,1,0),G(2,3,0),则 =(-1,2,0), 7 故 cos= .,-3-655=-9525所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 .9525
