1、 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例 、由 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？10,2345，分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从三个数中任选一个共有 种组合；然后排首位，从 和剩余的两个奇数中任选一个共有 种组,513C2,414C合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有 种排列。由分步计数原理得 。3A1328A变式 、 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有17多 少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有 种排列，再种其它
2、葵花有 种排列。24 5由分步计数原理得 。25410A二、相邻问题捆绑法例 、 人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？27分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得。52480A变式 、某人射击 枪，命中 枪， 枪命中恰好有 枪连在一起的情形的不同种数为 。43分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有 种排列。25A三、相离问题插空法例 、 一个晚会节目有 个舞蹈， 个相声， 个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目
3、出场顺序有多少种？32分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排 个相声和 个独唱共有 种排列，第二步将235个舞蹈插入第一步排好后形成的 6 个空位中（包含首尾两个空位）共有 种排列，由分步计数原理得4 46A。56320A变式 、某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新5节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。 分析：将 个新节目插入原定 个节目排好后形成的 6 个空位中（包含首尾两个空位）共有 种排26A列，由分步计数原理得 。 2630A四、定序问题除序（去重复） 、空位、插入法例 、 人排队，其中甲、乙、丙 人顺序一定，共有多少
4、种不同的排法？47分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为： 。7380A（空位法）设想有 把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有 种坐法；甲、乙、丙7 47A坐其余的三个位置，共有 种坐法。总共有 种排法。14780A思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有 种选法；余下四个空座位让其余四37C人就坐，共有 种坐法。总共有 种排法。4A347C变式 、 人身高各不相等，排成前后排，每排 人，要求从左至右身高
5、逐渐增加，共有多少种不同的105排法？分析： 人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有 种排法。5102C五、平均分组问题倍除法（去重复法）例 、 本不同的书平均分成 堆，每堆 本，有多少种不同的分法？563分析：分三步取书有 种分法，但存在重复计数。记 本书为 ，若第一步取 ，264 6ABCDEFAB第二步取 ，第三步取 ，该分法记为 ，则在 中还有 、DEFABCDEF， ， 24， ，、 、 、 共 种分法 ，而这些分ABC， ， ABC， ， ， ， ， ， 3法仅是 一种分法。总共应有 种分法。平均分成的组，不管它们的
6、顺序如何， ，2643都是一种情况，分组后一定要除以 （ 为均分的组数） ，避免重复计数。n变式 、将 个球队分成 组，一组 个队，其它两组 个队，有多少种不同的分法？5135分析：分三步。第一步取 个队为一组，有 种分法；余下 个队平均分成两组，每组 个队，有513C84种分法，但存在重复计数。记 个队为 ，若第二步取 ，第三步取 ，48C8ABDEFGHABCDEFGH该分法记为 ，则在 中还有 共 种分法，而这 种分法是同ABDEFGH， 4， 22一种分法。总共应有 种分法。458132C变式 、 名学生分成 组，其中一组 人，另两组 人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不50 3同
7、的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取 人为一组，有 种分法；余下 个人平均分成两组，4410C6每组 个人，有 种分法，但存在重复计数。记 个人为 ，若第二步取 ，第三步取336 6ABDEFABC，该分法记为 ，则在 中还有 共 种分法，而这 种分法是DEFABCDEF， 3C， 22同一种分法。总共应有 种分法。3461020正、副班长同分在 人一组：分三步。第一步在 人中取 人，加上正、副班长共 人为一84组，有 种分法；余下 个人平均分成两组，每组 个人，有 种分法，但存在重复计数。记 个28 336C6人为 ，若第二步取 ，第三步取 ，该分法记为 ，则在 中还有ABCEF
8、ABCEFABDEF， 3C共 种分法，而这 种分法是同一种分法。总共应有 种分法。D， 2232680正、副班长同分在 人一组：分三步。第一步在 人中取 人，有 种分法；第二步在余3448下的 人中取 人，有 种分法；第三步余下 人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有4341种分法。3820C减减得：总共有 种分法。3342436610882101540CCA变式 、某校高二年级共有 个班级，现从外地转入 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安5排 名，则不同的安排种数为 。2分析：分三步。前两步将转入的 名学生平均分成两组，每组 名学生，有 种分法，但存在重24C复计数。记 名
9、学生为 ，若第一步取 ，第二步取 ，该分法记为 ，则在4ABDBDABD，中还有 共 种分法，而这 种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到 个24C， 22A 6班级，有 种分法。总共应有 种分法。2646290C六、元素相同问题隔板法例 、有 个运动员名额，分给 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 6107分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配 个名额，只有 种分法；第二步：将剩下11的 个名额分配给 个班。取 块相同隔板，连同 个相同名额排成一排，共 个位置。由隔板法371639知，在 个位置中任取 个位置排上隔板，有 种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原
10、969C理知，共有 种分法。684C变式 、 个相同的球装入 个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？ 105分析：分两步。第一步：每盒先装入 个球，只有 种装法；第二步：将剩下的 个球装入 个盒中。15取 块相同隔板，连同 个相同的球排成一排，共 个位置。由隔板法知，在 个位置中任取 个5 994位置排上隔板，有 种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有 种装49 4126C法。变式 、 ，求这个方程的自然数解的组数。 610xyzw分析：取 块相同隔板，连同 个相同的 排成一排，共 个位置。由隔板法知，在301103个位置中任取 个位置排上隔板，有 种排法。每一种插板方法对应
11、一组数，共有10331C组数。785C七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）例 、从 十个数字中取出三个，使其和为不小于 的偶数，不同的取法有多少种？246789， ， ， ， ， ， ， ， ， 10分析：直接求不小于 的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有 个偶数 个奇数，所取的10 5三个数字含有 个偶数的取法有 ，只含有 个偶数的取法有 ，和为偶数的取法共有 。335125C1235C淘汰和小于 的偶数共 种 、24、 、 、 、 、 、 、 ，026079134符合条件的取法共有 。1359C变式 、一个班有 名同学，从中任抽 人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人
12、的抽法有多少种?745分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有 种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽540C法有 种。5430八、重排问题求幂法例 、 把 名实习生分配到 个车间实习，共有多少种不同的分法？867分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 种分法，把第二名实习生分配到车间也7有 种分法，依此类推，由分步计数原理共有 种不同的分法。7 67变式 、某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个5新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。 分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定 个节目排后形成的六个空中，有 种插法；把5
13、6第二个新节目插入前面 个节目排后形成的七个空中，有 种插法。由分步计数原理共有 种不6 742同的插法。变式 、某 层大楼一楼电梯上来 名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？88分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有 种下法，第二名乘客下电梯也有 种下法，依此7类推，由分步计数原理共有 种不同的下法。87九、环（圆）排问题直排法环形排列问题：如果在圆周上 个不同的位置编上不同的号码，那么从 个不同的元素的中选取mn个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从 个不同的元素的中选m取 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，
14、不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。环形排列数：一个 个元素的环形排列，相当于一个有 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个 个元素的环形排列对应着 个直线排列。mm设从 个元素中取出 个元素组成的环形排列数为 个，则对应的直线排列数为 个。nmNmN又因为从 个元素中取出 个元素排成一排的排列数为 个，所以 ，即 。mnAnA1n环形排列数公式：从 个元素中取出 个元素组成的环形排列数为 。n 1n 个元素的环形排列数为 。1!nNA例 、 人围桌而坐，共有多少种坐法？98分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分
15、，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示） ，其余 人共有 种不同的坐法。78!7654321504HFDCBDEAEGHGF变式 、 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 96分析：可穿成 种不同的钻石圈。1!543210十、多排问题单排法例 、 人排成前后两排，每排 人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？108分析： 人排前后两排，相当于 人坐 把椅子，可以把椅子排成一排。先排前 个位置上的 个特8 42殊元素甲、乙有 种排法；再排后 个位置上的 个特殊元素丙有 种；其余的 人在 个位置上任意24A4214A5排列有 种。共有 种不同的排法。排好后，按前 人为前排，后 人
16、为后排分成两排即515760可。变式 、有两排座位，前排 个座位，后排 个座位。现安排 人就坐，规定前排中间的 个座位不10123能坐，并且这 人不左右相邻，那么不同坐法的种数为 。 2分析：前后两排共有 个座位。前排中间第 号 个座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人3567， ， 3不能左右相邻。前排第 号和后排第 号 个座位，甲、乙中任一人就坐，有 种坐法，与之148， ， ， 2， 16C相邻座位只能排除一个，另一人有 种坐法，共有 种坐法；而其它 个座11238C168C234位，甲、乙中任一人就坐，有 种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有 种坐法，4 117共有 种坐法。总共有 种不
17、同坐法。147C11687034十一、排列组合混合问题先选后排法例 、 有 个不同的小球，装入 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？5分析：第一步从 个球中选出 个组成复合元素，有 种方法；第二部把 个元素（包含一个复合225C4元素）装入 个不同的盒内，有 种方法。由分步计数原理得 。44A40A变式 、一个班有 名战士，其中正、副班长各 人。现从中选 人完成四种不同的任务，每人完成一161种任务，且正、副班长有且只有 人参加，则不同的选法有多少种？1分析：正、副班长选一人，有 种选法。 名战士选三人，有 种选法。给选出的 人分配2C4344四种不同任务，有 种分配法。由分
18、步计数原理得 。4 1329十二、小集团问题先整体后局部法例 、 用 组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在 之间，这样的五位数有多少个？1235， ， ， ， 15，分析：两个偶数 在 之间是一个不能打破的小集团， 在这个小集团之外。把 当作24， 15， 31524， ， ，一个小集团与排列，有 种排法。再排小集团内部。 有 种排法； 也有 种排法。由分A15， 2A4， 2A步计数原理得 。28变式 、计划展出 幅不同的画，其中 幅水彩画， 幅油画， 幅国画，排成一行陈列。要求同一1014品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 。分析： 幅油画是一个小集团
19、，内部有 种排法； 幅国画也是一个小集团，内部有 种排法；两44A55个小集团排列，有 种排法；将 幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有 种排法。由分步2A 1计数原理得 。541760变式 、 男生和 女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有 种。1分析： 男生是一个小集团，内部有 种排法； 女生也是一个小集团，内部也有 种排法；两个5 5A小集团排列，有 种排法。由分步计数原理得 。2 5280A十三、含约束条件问题合理分类与分步法例 、在一次演唱会上共 名演员，其中 人会唱歌， 人会跳舞，现要演出一个 人唱歌 人伴舞的131082节目，有多少种选派方法？分析： 名演员中有
20、 人只会唱歌， 人只会跳舞， 人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三0523类，每一类中再分步：只会唱歌的 人中没有人选上唱歌人员，有 种；只会唱歌的 人中只有23C5人选上唱歌人员，有 种；只会唱歌的 人中有 人选上唱歌人员，有 种。由分类计数112534C525原理得，共有 种选派方法。23519解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。本题还有如下分类标准：以 个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以 个全能演员是否选上跳3 3舞人员为标准；以只会跳舞的 人是否选上跳舞人员为标准。2变式
21、 、从 名男生和 名女生中选出 人参加某个座谈会，若这 人中必须既有男生又有女生，则13444不同的选法共有 种。分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：选上女生 人，有 种；选上女生 人，1134C2有 种；选上女生 人，有 种。由分类计数原理得，共有 种选派234C3314C213方法。本题还可以选上男生为标准分三类。变式 、 成人 小孩乘船游玩， 号船最多乘 人， 号船最多乘 人， 号船只能乘 人，他们任1232选 只船或 只船，但小孩不能单独乘一只船，这 人共有多少种乘船方法？分析：分两大类。第一大类为选 只船，则只能选 号船和 号船。以 号船乘成人为标准，又可分211为两小类：
22、每一小类乘成人 人，有 种；每二小类乘成人 人，有 种。第二大类为选 只船。113 23C3以 号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有 种。由分类计数原理得，共有1 2种乘船方法。2123 7CC十四、简单问题实际操作穷举法例 、设有编号 ， ， ， ， 的五个球和编号 ， ， ， ， 的五个盒子，现将 个球放入 个434513455盒子内，要求每个盒子放 个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？分析：从 个球中取出 个与盒子对号，有 种取法；剩下 球 盒不对号，利用实际操作法。如5225C果剩下 ， ， 号球， ， ， 号盒， 号球只能装入 号或 号盒，有两
23、种装法；当 号球装 号盒33 34时，则 ， 号球，只有 种装法；同理 号球装 号盒时， ， 号球有也只有 种装法。由分步计数原1 1理有 种。25C变式 、同一寝室 4 人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡14不同的分配方式有多少种？分析：设甲、乙、丙、丁 4 人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可BA拿甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有 种。第二类：甲拿丙的，则乙3只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有 种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿1甲，有 种。小计有 种。第三类：与第二类同理，
24、有 种。由分类计数原理知，共有 种。23339十五、数字排序问题查字典法例 、由 ， ， ， ， ， 六个数字可以组成多少个没有重复的比 大的数？1504524105 分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。首位（十万位）为 或 ，各有 个；首位为 ，万位为 或 ，各有 个；45A34A首位为 ，万位为 ，千位为 ，有 个；首位为 ，万位为 ，千位为 ，百位为 ，有 个；3233 2首位为 ，万位为 ，千位为 ，百位为 ，十位为 ，有 个。共有1个。54132297AA变式 、用 ， ， ， ， ， 这六个数字组成没有重复的四位偶数
25、，将这些数字从小到大排列起1045来，第 个数是 。7 分析：千位为 ，个位为 ，有 个；千位为 ，个位为 ，有 个；千位为 ，024112241A1个位为 ，有 个； 千位为 ，个位为 ，有 个；千位为 ，个位为 ，有424 024A个； 千位为 ，十位为 ，个位为 （或 ） ，各有 个。共 个。接下来有 ， ，21A336304， ， ， ，第 个数是 。30 73十六、复杂问题分解与合成法 分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都
26、要用到这种解题方法。例 、 能被多少个不同的偶数整除？1630 分析：先把 分解成质因数的乘积形式 。依题意可知：偶因数必3025713先取 ，再从其余 个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为： 。25 24555CC变式 、正方体的 个顶点可连成多少对异面直线？8 分析：从 个顶点中任取 个顶点构成四面体共有 个，每个四面体有 对异面直线，正448方体的 个顶点可连成 对异面直线。317十七、复杂问题转化归结法（化归法）例 、 人排成 方阵，现从中选 人，要求 人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？17253分析：将问题退化成 人排成 方阵，现从中9选 人，要求 人不在同一行也不
27、在同一列，有多少种3不同的选法？这样每行（列）有且只有 人，从其中的1一行中选取 人后，把这人所在的行列都划掉，如此继1续下去，从 方队中选 人的方法有 种。再332C从 方阵选出 方阵便可解决问题。从 方队5 5中选取 行 列，有 选法。所以从 方阵选不在同一行也不在同一列的 人有 选法。35C 33152C变式 、某城市的街区由 个全等的矩形区域组成，1712其中实线表示马路，从 走到 的最短路径有多少种？AB分析：将问题退化成从 走到 的最短路径需要七步，四步向右三步向上，共有 （或 ） 种。3747C5十八、复杂分类问题表格法例 、有红、黄、兰色的球各 只，分别标有 、 、 、 、 五
28、个字母，现从中取 只，要求各185ABDE5字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？ 分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表 A B格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。十九、运算困难问题树图法例 、 人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 次传球后，球仍回到甲的手中，则不193 5同的传球方式有 种？解析：此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。 10N甲乙 丙丙 乙甲 甲 甲 甲乙 乙 乙 丙 丙 丙丙 丙 丙 丙 丙乙 乙 乙 乙 乙甲 甲 甲 甲 甲 甲甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲变
29、式 、 分别编有 ， ， ， ， 号码的人与椅，其中 号人不坐 号椅 的不同坐法1912345ii12345， ， ， ，有多少种？解析：树图法如下： N4531514321453 25415211245 2531524312135 234124312134 二十、不易理解问题构造模型法例 、马路上有编号为 的九只路灯，现要关掉其中的 盏，但不能关掉相邻的 盏或20123456789， ， ， ， ， ， ， ， 32盏，也不能关掉两端的 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？3红 1 1 1 2 2 3黄 1 2 3 1 2 1兰 3 2 1 2 1 1取法 45C41545C3535C235分
30、析：此问题可转化为排队模型。在 盏亮灯形成的 个空隙中，插入 盏不亮的灯，有 6533510C种。 一些不易理解的排列组合问题可转化为熟悉的模型，使问题直观化。变式 、某排共有 个座位，若 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？20104（120）分析：每人坐一个座位,还剩 个。把这 个座位,插入 个人,且两头必须有座位,两人之间至少有一64个座位。用 表示 个空座位,用 表示 个人。 ； ；000； ； 。有 种。又，这 个人的坐法有顺序,共有：54种。 45120A此问题也可转化为排队模型。每人坐一个座位,还剩 个。这 个座位排成一排，可迭相邻的两个座位，6有 种迭法。跌后有 个座位形成 个空隙（不包括两端） ，插入 个人，有 种。又，这 个人的坐法54 45C有顺序,共有： 种。 4120C
