1、双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长证法一（坐标法）：设双曲线 焦点为 ，21(0,)xyab(,0)Fc一条渐近线为 即 ，:blya到 的距离为(,0)Fcl2|0|.cbcd证法二（几何法）：过实轴端点 A 作实轴垂线 AD 交渐近线于点D，则 ，又 ，bAa2ODabcOF所以 到 的距离 。(,0)FclFHA（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT 平分焦点 PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长 F1H 到 M，交 PF2 于 M，则 ，
2、1又 ，12|Pa2|a又 H、O 为 MF1、F 1F2 中点，OH 2| H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设 A1、A 2 为双曲线的左、右顶点，则PF 1F2 的内切圆，必与 A1A2 所在的直线切于 A2（或 A1）.证明：设 切 X 轴于点 ，与 切于 M，PF 2 切于 NPF 121|PFaa|PM|=|PN|,|MF 1|,|NF2|= 2|A 12|FAa又 12|c ， 重合.2|aFA2与注：可知，圆心在直线 或直线 上.xxa（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径 MF2 为直径的圆
3、的半径为 r1，圆心为 O1；以 MF1 为直径的圆的半径为 r2，圆心为 O2，由双曲线定义知 1|MFAB ，121|(|)2Ora圆 O1 与圆 O 外切又 2|FAB ，212|(|)MFABra圆 O2 与圆 O 内切（五）双曲线 的两个顶点为 ,21(0,)xyab1(0)a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点2(,0)Aa的轨迹方程是 .2证明：设交点 012(,)(,(,)SxyPmn ， ，11PASK22APSK0 220 00ynmaxyynnamxamxa又 ， 222211nbab 即20022yxyxab21xya（六）若
4、 在双曲线 上，则过 的0(,)Pxy21(0,)xyab0P双曲线的切线方程是 .02ab证明：求导可得： ，20xxyya切线方程2002()1yab（七）若 在双曲线 外 ，则过 P0 作0(,)Px2(,0)xya双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是.021xyab证明：设 ，则过 切线分别为 ，12(,)(,)Pxy1212:xylab2:ylab 在 上 ，012l、 102xyab2021xyab过 方程12P02（八）AB 是双曲线 的不平行于对称轴且21(0,)xyab不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 .2OMABk证明：设 ，则 ，(
5、,)(,)ABxy()xy2ABOMBAByKx又 ，2222bxyaba2OMAB（九）若 在双曲线 内，则过 P0 的0(,)Pxy21(0,)xyab弦中点的轨迹方程是 .202ab证明：设弦与双曲线交于 ，中点12(,)(,)xyP(,)Smn1222 2 01 ()PPOSnyxyxbmKKxabyan，2200mxna202xb即 。22yab（十）过双曲线 上任一点 任意作21(0,)xab0(,)Axy两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.20BCbxkay证明：设两直线与双曲线交于点 ，则12(,),xy22201xxyyabab210
6、1022200ABCxbkyay 由题意得 2 21020010(),yxyxbbxyyaa展开2221201010210()()ybxxya （定值）201BCKx（十一）双曲线 的左右焦点分别为 F1，F 21(,0)yab2，点 P 为双曲线上异于顶点任意一点 ，则双曲线的焦点12FP三角形的面积为 ； .212|oscFP12tanbS证明：设 ，21|,|,|mn，2 222s4()4nabmb(co)b1|cosPF212sinico1tanbSFPmnA（十二）若 P 为双曲线 右（或左）支上除2(0,)xyab顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点 , , ，则12PF21P
7、F（或 ）.tant2ccotntcco证明：设 P 在左支， ，21|a12|c21|Fc21|sin()sincosin22sincosico1tact2nno22由、 得：tacttancot21c同理，P 在右支时， tant2co（十三）双曲线 上存在两点关于直线 ：21(0,)xybl对称的充要条件是 .0()ykx20ak证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两点直线 ，斜率为 ，1l1k其中垂线 为 ，则l0()ykx20()bxak设 方程为 代入 ，1l1my21xy得 22222() 0bkaybkyab，中点为 ，122y22(,)mk则 可以写成 代入l22mbkay
8、xab0(,x得 ，即20()mkabx220()mkabx其中 代224222()()0abkm入，得 202()abxk（十四）已知双曲线 ，A 、B 是双曲线上21(0,)xyab的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则0()Px或 .20abx20abx证明：设 A 为 ，B 为 ，由点差法得： 1(,)y2(,)xy2ykab中 中又有： ，由得 ，00kx中 中 中中 2xy中中20bax中显然 或b2中 -0bxa2（十五）双曲线离心率为 e，其焦点三角形 PF1F2 的旁心为 A，线段PA 的延长线交 F1F2 的延长线于点 B，则 |eP证明：由角平分线性质得 1212|B|F|AcePFPa（十六）已知双曲线 和 （ 21(0,)xyab2xyab01） ，一条直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD.证明：设直线方程为 ，代入双曲线方程ykxm22221()0xykmxababbkm视作 的特殊情况2弦中点坐标 与 无关212Dkxba 与 无关， 、 的中点同为 T， 且(,)DxyABC|AD，|BTC |ABTD
