1、167 条件结构8.(2015 河南开封二模,文 8,条件结构 ,选择题) 给出一个如图所示的程序框图 ,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:当 x2 时 ,由 x2=x,得 x=0,1,满足条件;当 25 时,由 =x,得 x=1,不满足条件,1故这样的 x 值有 3 个.答案:C168 循环结构6.(2015 辽宁锦州二模,文 6,循环结构 ,选择题) 若如图所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中M 表示的“条件”应该是( )A.n3? B.n4?C.n5? D.n6?解析:由程序框图知:第一次运行 n=1,
2、S=2;第二次运行 n=2,S=2+22=6;第三次运行 n=3,S=2+22+23=14;第四次运行 n=4,S=2+22+23+24=30, 输出 S=30, 条件应是 n 4?.答案:B7.(2015 辽宁锦州一模,文 7,循环结构 ,选择题) 执行下面的程序框图 ,若 p=0.8,则输出的 n=( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:如果输入的 p=0.8,由循环变量 n 初值为 1,那么:经过第一次循环得到 S= ,n=2,满足 S100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环.故最后输出 k 的值为 4.答案:A13.(2015 河南洛阳一模,文 13,循环结构,填空题) 执行如图
3、的程序 ,则输出的结果等于 . 解析:执行程序框图,有 i=1,S=0,第 1 次执行循环,有 S=1,有 i=3,第 2 次执行循环,S=1+3=4,有 i=5,第 3 次执行循环,S=4+5=9,有 i=7,第 4 次执行循环,S=9+7=16,有 i=99,第 50 次执行循环,S=1+3+5+7+ 99= (1+99)50=2 500,12此时有 i=101100,满足条件退出循环 ,输出 S 的值.答案:2 5006.(2015 辽宁大连一模,文 6,循环结构 ,选择题) 阅读如图所示的程序框图 ,运行相应的程序,若输出的 S为 ,则判断框中填写的内容可以是( )1112A.n=6
4、B.n20,则继续运行,第二次运行得:n=-1,p=2,不满足 p20,则继续运行,第三次运行得:n=-2,p=6,不满足 p20,则继续运行,第四次运行得:n=-3,p=15,不满足 p20,则继续运行,第五次运行得:n=-4,p=31,满足 p20,则停止运行,输出 p=31.答案:C6.(2015 河南商丘一模,文 6,循环结构 ,选择题) 如图所示程序框图表示的程序所输出的结果是 ( )A.1 320 B.132 C.11 880 D.121解析:经第一次循环结果是 s=112,i=11,经第二次循环结果是 s=1211,i=10,再进行第三次循环,结果是 s=121110=1 320
5、,i=9,不满足判断框的条件,结束循环,输出 1 320.答案:A9.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 9,循环结构,选择题) 执行如图所示的程序框图 ,则输出 S 的值等于( )A. B. C. D.122 014 122 015 122 016 122 017解析:模拟执行程序框图,可得第 1 次运行,S= ,a=2,12第 2 次运行,S= ,a=3,122第 3 次运行,S= ,a=4,123第 4 次运行,S= ,a=5,124第 2 015 次运行,S= ,a=2 016,122 015刚好满足条件 a2 015,则退出循环 ,输出 S 的值为 .122 015答案:B172
6、 复数的有关概念2.(2015 河南开封二模,文 2,复数的有关概念 ,选择题) 已知复数 z=(a2-1)+(a-2)i(aR),则“ a=1”是“ z 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:当 a=1 时,复数 z=(a2-1)+(a-2)i=-i,是一个纯虚数.当复数 z=(a2-1)+(a-2)i 是一个纯虚数时,a 2-1=0 且 a-20,a=1,故不能推出 a=1.故“a= 1”是“z 为纯虚数” 的充分非必要条件,故选 A.答案:A3.(2015 河南郑州一模,文 3,复数的有关概念 ,选择题) 设 i 是虚数单位,若复
7、数 m+ (mR)是纯虚数,103+则 m 的值为( )A.-3 B.-1 C.1 D.3解析: m+ =m+ =m+3-i 为纯虚数, m+3=0,即 m=-3.103+ 10(3-)(3+)(3-)答案:A173 复数的几何意义2.(2015 辽宁锦州一模,文 2,复数的几何意义 ,选择题) 复数 z 满足(-1+i)z=(1+i) 2,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: 复数 z 满足(-1+i)z=(1+i) 2,其中 i 为虚数单位, z= =1-i,(1+)2-1+= 2-1+= 2(-1-)(-
8、1+)(-1-)=2-22故复数 z 对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限.答案:D2.(2015 宁夏银川一中一模,文 2,复数的几何意义,选择题) 复数 所对应的点位于复平面内( )22-A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: z= =- i.22-=2(2+)(2-)(2+)=-2+45 25+45 复数 所对应的点 在第二象限.22- (-25,45)答案:B174 复数的代数运算2.(2015 河南商丘二模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 已知 =a+bi(a,bR ,i 为虚数单位), 则(1+2)2a+b=( )A.-7 B.7 C.-4 D.4解析:
9、 =1+ =-3+ =-3-4i=a+bi,(1+2)2 4+42 42 a=-3,b=-4. a+b=-7.答案:A2.(2015 河南洛阳一模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 设 i 为虚数单位,复数 z1=3-ai,z2=1+2i,若 是纯12虚数,则实数 a 的值为( )A.- B. C.-6 D.632 32解析: z1=3-ai,z2=1+2i,由 i 是纯虚数,得 解得 a= .12=3-1+2=(3-)(1-2)(1+2)(1-2)=3-25 6+5 3-2=0,6+0, 32答案:B2.(2015 辽宁鞍山一模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 复数 的虚部是( )1-
10、2+A.- i B.- C. i D.15 15 15 15解析: =- ,1-2+= -2-(-2+)(-2-) 255 复数 的虚部是- .1-2+ 15答案:B2.(2015 辽宁大连一模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 设复数 z=1+i(i 是虚数单位),则 =( )2A.1-i B.1+iC.-1-i D.-1+i解析: =1-i.2=21+= 2(1-)(1+)(1-)答案:A2.(2015 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文 2,复数的代数运算,选择题) 复数=( )2+1- 2A.i B.-iC.2( +i) D.1+i2解析: =i.2+1- 2=(2
11、+)(1+2)(1- 2)(1+2)答案:A2.(2015 辽宁锦州二模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 复数 z 满足 (1+2i)=4+3i,则 z 等于( )A.2-i B.2+iC.1+2i D.1-2i解析: (1+2i)=4+3i, =2-i,=4+31+2=(4+3)(1-2)(1+2)(1-2)=10-55 z=2+i.答案:B2.(2015 辽宁沈阳一模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( )A.-1+i B.-1-iC.1+i D.1-i解析: 复数 z 满足 z(1-i)=2i, z= =-1+i.21-=2(1+)(1
12、-)(1+)答案:A2.(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 2,复数的代数运算,选择题) 如果复数 (bR ,i 为虚数单位) 的2-1+实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于( )A.0 B.1 C.2 D.3解析: i,由 =0,解得 b=0.2-1+=(2-)(1-)(1+)(1-)=2-(2+)2 =2-22+2 2-22+2答案:A1.(2015 河南洛阳二模,文 1,复数的代数运算 ,选择题) 已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数z 的实部与虚部之和为( )A.0 B.1 C.2 D.42解析:由 zi=1+i,得 z= =1-i,1+ =(1+)(-
13、)-2 复数 z 的实部与虚部分别为 1 和-1,和为 0.答案:A2.(2015 河南商丘一模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z 的共轭复数 =( )A.-1+i B.-1-iC.1+i D.1-i解析:由(1- i)z=2i,得 z= =-1+i,21-=2(1+)(1-)(1+)=2(1+)2 =-1-i.答案:B2.(2015 辽宁丹东二模,文 2,复数的代数运算 ,选择题) 若复数 为纯虚数,则实数 m=( )+2-A.2 B.-2 C. D.-12 12解析:复数 ,+2-=(+)(2+)(2-)(2+)=2-1+(+2)5复数 为纯虚
14、数,可得 2m-1=0,解得 m= .+2- 12答案:C2.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 2,复数的代数运算,选择题) 已知 i 是虚数单位, 是 z=1+i 的共轭复数,则 在复平面内对应的点在( )2A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: z=1+i, =1-i,z2=(1+i)2=2i, ,在复平面内对应的点 在第三象限.2=1-2=-(1-)-2=-1-2 (-12,-12)答案:C178 圆周角、弦切角及圆的切线22.(10 分)(2015 辽宁锦州二模 ,文 22,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题)如图,圆 M 与圆 N 交于 A,B两点,以 A 为
15、切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10.(1)求 AB 的长;(2)求 .解:(1)根据弦切角定理,知BAC=BDA,ACB= DAB , ABCDBA,则 .=故 AB2=BCBD=50,AB=5 .2(2)根据切割线定理,知 CA2=CBCF,DA2=DBDE,两式相除,得 . (*)22=由ABCDBA,得 ,=5210=22,22=12又 ,由(*) 得 =1.=510=12 179 圆内接四边形的判定及性质及圆的切线的性质与判定22.(10 分)(2015 宁夏银川一中二模
16、,文 22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)已知 AB 为半圆 O 的直径 ,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 ADCD 于D,交半圆于点 E,DE=1.(1)求证:AC 平分 BAD;(2)求 BC 的长.(1)证明:连接 OC,因为 OA=OC,所以OAC= OCA.因为 CD 为半圆的切线,所以 OCCD.又因为 ADCD,所以 OCAD.所以OCA=CAD,OAC=CAD.所以 AC 平分BAD.(2)解:由(1)知 ,所以 BC=CE.=连接 CE,因为 ABCE 四点共圆,B=CED,所以 cos B=cosCED.所以
17、 ,所以 BC=2.=22.(10 分)(2015 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文 22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)如图,在ABC 中,ABC=90,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M.(1)求证:DE 是圆 O 的切线;(2)求证:DE BC=DMAC+DMAB.证明:(1)连接 BE,OE, AB 是直径, AEB=90. ABC=90=AEB,A= A, AEBABC, ABE=C. BEAC,D 为 BC 的中点, DE=BD=DC. DEC=DCE=ABE= B
18、EO,DBE=DEB. BEO+ DEB=DCE+ CBE= 90. OED=90, DE 是圆 O 的切线.(2) O,D 分别为 AB,BC 的中点 , DM=OD-OM= (AC-AB),12 DMAC+DMAB=DM(AC+AB)= (AC-AB)(AC+AB)12= (AC2-AB2)= BC2=DEBC.12 12 DEBC=DMAC+DMAB.180 与圆有关的比例线段22.(10 分)(2015 辽宁沈阳一模 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,C,D是圆 O 上的两个点,CEAB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F,CF=
19、FG.(1)求证:C 是劣弧 BD 的中点;(2)求证:BF=FG.证明:(1) CF=FG, CGF= FCG. AB 是圆 O 的直径 , ACB=ADB= .2 CEAB, CEA= .2 CBA= - CAB,ACE= -CAB,2 2 CBA=ACE. CGF=DGA, DGA= ABC. -DGA= -ABC, CAB= DAC.2 2 C 为劣弧 BD 的中点.(2) GBC= -CGB,FCB= -GCF,2 2 GBC=FCB, CF=FB.同理可证:CF=GF, BF=FG.22.(10 分)(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,
20、已知 AB 为O的直径,CEAB 于点 H,与O 交于点 C,D,且 AB=10,CD=8,DE=4,EF 与O 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G.(1)证明:EF=EG;(2)求 GH 的长.(1)证明:连接 AF,OE,OF,则 A,F,G,H 四点共圆,由 EF 是切线知 OFEF,BAF=EFG, CEAB 于点 H,AFBF, FGE=BAF. FGE= EFG, EF=EG.(2)解: OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, EF2=OH2+HE2-OF2=48. EF=EG=4 , GH=EH-EG=8-4 .3 322.(10 分)(2015 河南洛阳二模 ,文 22,
21、与圆有关的比例线段,解答题)如图,O 1 与O 2 相交于 A,B 两点,点P 在线段 BA 延长线上 ,T 是O 2 上一点,PTO 2T,过 P 的直线交O 1 于 C,D 两点.(1)求证: ;=(2)若O 1 与 O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5,PT= ,求 PA 的长.2425(1)证明: PT O2T, PT 是 O2 的切线. PT2=PAPB. 过点 P 的直线交O 1 于 C,D 两点, PCPD=PAPB. PT2=PCPD, .=(2)解:连接 O1A,O2A, O 1 与O 2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5, O1 =O1A2+O2A
22、2.22 O 1AO2=90.设 RtO1AO2 斜边上的高为 h,则 h= ,AB=2h= ,345=125 245 PT2=PAPB,PT= ,2425 PA .(+245)=(2425)2 PA= .24522.(10 分)(2015 河南郑州一模 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图所示,EP 交圆于 E,C 两点,PD切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直于 EP,垂足为 F.(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若 AC=BD,AB=5,求弦 DE 的长.(1)证明: PG=PD, PDG= PGD.由于 PD 为切线
23、,故PDA= DBA,又 EGA= PGD , EGA=DBA. DBA+ BAD=EGA+BAD.从而PFA= BDA.又 AFEP, PFA=90,则BDA=90,故 AB 为圆的直径.(2)解:连接 BC,DC.由于 AB 是直径,故BDA= ACB=90.在 RtBDA 与 RtACB 中,AB=BA,AC=BD ,从而得 RtBDARtACB,于是DAB= CBA.又 DCB=DAB , DCB=CBA,故 DCAB. ABEP, DCEP,DCE 为直角. ED 为直径,又由(1) 知 AB 为圆的直径, DE=AB=5.22.(10 分)(2015 辽宁鞍山一模 ,文 22,与圆
24、有关的比例线段,解答题)如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M,T(不与 A,B 重合), 连接MC,MB,OT.(1)求证:M ,T,C,O 四点共圆;(2)求证:MD=2MC.证明:(1)因为 MD 与圆 O 相交于点 T,设 DN 与圆 O 相切于点 N,由切割线定理 DN2=DTDM,DN2=DBDA,得 DTDM=DBDA,设半径 OB=r(r0),因为 BD=OB,且 BC=OC= ,2则 DBDA=r3r=3r2,DODC=2r =3r2,32所以 DTDM=DODC.所以 M,T,C,
25、O 四点共圆 .(2)由(1)可知 M,T,C,O 四点共圆,所以DMC=DOT.因为DMB= TOD,所以DMB=CMB.12所以 MB 是DMC 的平分线,所以 =2,所以 MD=2MC.=22.(10 分)(2015 河南六市联考一模 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)选修 41:几何证明选讲如图所示,已知 PA 与O 相切 ,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B,C 两点,弦 CDAP,AD ,BC 相交于点E,F 为 CE 上一点 ,且 DE2=EFEC.(1)求证:CEEB=EF EP;(2)若 CE BE=3 2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.(1)证明: DE2=
26、EFEC,DEF=CED, DEFCED, EDF=C.又 弦 CDAP, P=C. EDF= P ,DEF= PEA. EDFEPA. , EAED=EFEP.=又 EAED=CEEB, CEEB=EFEP.(2)解: DE2=EFEC,DE=3,EF=2. 32=2EC, CE= .92 CE BE=3 2, BE=3.由(1)可知,CEEB=EF EP, 3=2EP,解得 EP= .92 274 BP=EP-EB= -3= .274 154 PA 是O 的切线 , PA2=PBPC. PA2= ,解得 PA= .154(274+92) 153422.(10 分)(2015 河南开封定位模
27、拟 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,AB 为O 的直径,点 D是O 上的一点,点 C 是弧 AD 的中点,弦 CEAB 于 F.GD 是O 的切线,且与 EC 的延长线相交于点 G,连接 AD,交 CE 于点 P.(1)证明:ACD APC ;(2)若 GD= +1,GC=1,求 PE 的长.2(1)证明: AB 为O 的直径,CEAB , .= 点 C 是弧 AD 的中点, .= ACE=ADC, CAP 为公共角. ACDAPC.(2)解:连接 DE, GD 是O 的切线, GDC=CED. , GED=ADE=CDA.= GPD=GDP, GP=GD= +1.2 GD2=G
28、CGE, GE=3+2 .2 PE=GE-GP=2+ .222.(10 分)(2015 河南商丘一模 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC.(1)求证:BE= 2AD;(2)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.(1)证明: 四边形 ACED 为圆内接四边形, BDE= BCA.又 DBE= CBA, BDE BCA.则 .= AB=2AC, BE=2DE,结合 AD=DE,可得 BE=2AD.(2)解:根据题意,AB= 2AC=4, BDBA=BEBC, (AB-AD)BA=2AD
29、4,可得(4-AD )4=2AD4,解得 AD= .4322.(10 分)(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,ABC 的顶点都在圆 O 上,点 P 在 BC 的延长线上,且 PA 与圆 O 切于点 A.(1)若ACB=70,求BAP 的度数;(2)若 ,求 的值.=25 解:(1) PA 与圆 O 切于点 A, CAP= ABC. ACP=ABC+BAC, ACP=PAC+BAC=BAP. ACB+BAP=ACB+ ACP=180. ACB=70, BAP=110.(2)由(1)得CAP=ABC, APC=APC, PAC PBA. , PA= .=
30、 PA2= .222由切割线定理可得 PA2=PBPC, PBPC= ,222 .=22=425181 极坐标与直角坐标的互化23.(2015 河南六市联考一模,文 23,极坐标与直角坐标的互化,解答题) 平面直角坐标系中,直线 l的参数方程是 (t 为参数 ),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C=,=3的极坐标方程为 2cos2+2sin2-2sin -3=0.(1)求直线 l 的极坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|AB|.解:(1)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),化为普通方程得 y= x,=,=3 3 在平面直角坐标系
31、中,直线 l 经过坐标原点,倾斜角是 ,3因此,直线 l 的极坐标方程是 = (R).3(2)把 = 代入曲线 C 的极坐标方程 2cos2+2sin2-2sin -3=0,得 2- -3=0,3 3 由一元二次方程根与系数的关系,得 1+2= ,12=-3,3 |AB|=|1-2|= .(1+2)2-412=1523.(2015 河南商丘一模,文 23,极坐标与直角坐标的互化,解答题) 已知直线 l 经过点 P ,倾斜角 =(12,1),圆 C 的极坐标方程为 = cos .6 2 (-4)(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程;(2)设 l 与圆 C 相交于两点
32、 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.解:(1)直线 l 的参数方程为 =12+6,=1+6,即 (t 为参数).=12+32,=1+12由 = cos ,2 (-4)得 =cos +sin ,所以 2=cos +sin .得 .(-12)2+(-12)2=12(2)把 代入 ,得 t2+ t- =0.=12+32,=1+12 (-12)2+(-12)2=12 1214|PA|PB|=|t1t2|= .14182 直角坐标方程与极坐标方程的互化23.(10 分)(2015 河南商丘二模 ,文 23,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与
33、 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐标方程为 sin ,曲线 C 的(-6)=12参数方程为 (为参数) .=2+2,=2 (1)写出直线 l 的直角坐标方程;(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.解:(1) 直线 l 的极坐标方程为 sin ,(-6)=12 .(32-12)=12 y- x= . x- y+1=0.32 12 12 3(2)根据曲线 C 的参数方程为 (为参数),得( x-2)2+y2=4.=2+2,=2 它表示一个以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,圆心到直线的距离为 d= , 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 +2= .32 32 721
34、83 曲线的极坐标方程的求解23.(2015 辽宁锦州一模,文 23,曲线的极坐标方程的求解,解答题) 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 = .6(1)写出直线 l 的参数方程;(2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.解:(1)直线的参数方程为 =1+6,=1+6,即 =1+32,=1+12.(2)把直线 代入 x2+y2=4,=1+32,=1+12得 =4,t2+( +1)t-2=0,t1t2=-2,(1+32)2+(1+12)2 3则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.185 参数方程与普通方程的互化23.(2015 辽
35、宁锦州二模,文 23,参数方程与普通方程的互化,解答题) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C,半径 r= .( 2,4) 3(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)若 ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ),直线 l 交圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB| 的0,4) =2+,=2+取值范围.解:(1) C 的直角坐标为(1,1),( 2,4) 圆 C 的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1)2=3.化为极坐标方程是 2-2(cos +sin )-1=0.(2)将 代入圆 C 的直角坐标方程( x-1)2+(y-1)2=3,=2+,=2+得(1+tcos )2+(1+tsin )2=3
36、,即 t2+2t(cos +sin )-1=0. t1+t2=-2(cos +sin ),t1t2=-1. |AB|=|t1-t2|= (1+2)2-412=2 .2+2 , 2 .0,4) 0,2) 2 |AB|0,解得- 10, m=1 .2 2186 极坐标方程与参数方程的应用23.(2015 河南开封定位模拟,文 23,极坐标方程与参数方程的应用,解答题) 在直角坐标系 xOy 中,直线l 经过点 P(-1,0),其倾斜角为 ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标方程为 2-6cos +5=0.(1)若
37、直线 l 与曲线 C 有公共点,求 的取值范围;(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.解:(1)将曲线 2-6cos +5=0 化成直角坐标方程,得圆 C:x2+y2-6x+5=0,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=-1+,= 将其代入圆 C 方程,得(-1+tcos ) 2+(tsin )2-6(-1+tcos )+5=0,整理,得 t2-8tcos +12=0. 直线 l 与圆 C 有公共点, 0, 即 64cos2-480,可得 cos - 或 cos .32 32由 为直线的倾斜角,得 0,), 的取值范围为 .0,656,)(2)由圆 C:x2
38、+y2-6x+5=0 化成参数方程,得 (为参数),=3+2,=2 M(x,y)为曲线 C 上任意一点, x+y=3+2cos +2sin =3+2 sin ,2 (+4) sin -1,1,(+4) 2 sin - 2 ,2 ,可得 x+y 的取值范围是3 -2 ,3+2 .2 (+4) 2 2 2 2187 含绝对值不等式的解法24.(2015 辽宁锦州二模,文 24,含绝对值不等式的解法,解答题) 已知函数 f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)若关于 x 的不等式 g(x)0 的解集为-5,- 1,求实数 m 的值;(2)若 f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方,求
39、实数 m 的取值范围.解:(1)由题意可得-|x+3|+m0 的解集为 -5,-1.由-|x+3 |+m0,可得-m- 3xm-3, 求得 m=2.-3=-5,-3=-1, (2)由题意可得|x- 2|-|x+ 3|+m 恒成立,即 m|x-2|+|x+ 3|.而|x-2|+|x+3| |(x-2)-(x+3)|=5, m5.24.(2015 河南开封二模,文 24,含绝对值不等式的解法,解答题) 已知函数 f(x)=|x-1|.(1)解不等式 f(2x)+f(x+4)8;(2)若|a|f .()| ()(1)解:f(2 x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=-3-2,f 等价于 f(
40、ab)|a|f ,()| () ()即|ab-1|a-b|,因为|a|0.所以|ab-1|a-b|,故所证不等式成立.24.(2015 辽宁大连一模,文 24,含绝对值不等式的解法,解答题) 设函数 f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式 f(x)2 的解集;(2)若xR,f(x )t 2- t 恒成立,求实数 t 的取值范围.72解:(1)函数 f(x)=|2x+2|-|x-2|=-4,2,求得 x2,求得 x ,23 2,求得 x-2, x2.综上所述,不等式的解集为 .|23或 0;(2)若x 0R ,使得 f(x0)+2m20,即|2x-1|x+2|,即 4x2-4x+1x
41、2+4x+4.即 3x2-8x-30,求得它的解集为 .|3(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=-+3,12, 故 f(x)的最小值为 f =- ,(12) 52根据x 0R ,使得 f(x0)+2m2- ,即 4m2-8m-50;(2)若 f(x)+3|x-4|m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.解:(1)当 x4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+ 50,得 x-5,所以 x4 时,不等式成立.当- x0,得 x1,所以 10,12得 x 1 或 x2 的解集;(2)若二次函数 y=x2+2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范围.解:(
42、1)当 m=5 时,f( x)=3+6,1, 由 f(x)2 可得 或 或 2, -11,-+22, 1,4-32.解 得- 2 的解集为 x .(-43,0)(2)由二次函数 y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在 x=-1 取得最小值 2,因为 f(x)= 在 x=-1 处取得最大值 m-2,3+1+,1, 所以要使二次函数 y=x2+2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点 ,只需 m-22,求得 m4.190 不等式的证明24.(2015 河南开封定位模拟,文 24,不等式的证明,解答题) 已知 a,b 都是正实数,且 a+b=1.(1)求证: 4;1+1(2)求 的最小
43、值.(+1)2+(+1)2(1)证明: =2+1+1=+ +2+2 =4.(2)解: 2 ,(+1)2+(+1)2 (+1+1)24即 ,(+1)2+(+1)2(1+1)22又 ,得 00,b0.(1)若 a+b=2,求 的最小值;11+41+(2)求证:a 2b2+a2+b2ab(a+b+1).(1)解:由于 a+b=2,则 (1+a+1+b)11+41+=14( 11+41+)=145+1+1+4(1+)1+ ,14(5+21+1+4+41+)=94等号成立条件为 ,1+1+=4(1+)1+而 a+b=2,所以 a= ,b= ,13 53因此当 a= ,b= 时, 取得最小值,且为 .13 53 11+41+ 94(2)证明:由均值不等式得 a2b2+a22a 2b,a2b2+b22b 2a,a2+b22ab,三式相加得 2a2b2+2a2+2b22a 2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1),所以
