1、考点规范练 32 数列求和基础巩固1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+ ,的前 n 项和 Sn的值等于( )121418 116 12A.n2+1- B.2n2-n+1-12 12C.n2+1- D.n2-n+1-12-1 122.(2016 山西太原三模) 数列a n满足 a1=1,且对任意的 nN *都有 an+1=a1+an+n,则 的1前 100 项和为 ( )A. B. C. D.100101 99100 101100 2001013.(2016 山西太原五中 4 月模拟)已知函数 f(n)=n2cos(n),且 an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100
2、=( )A.0 B.-100 C.100 D.10 2004.已知函数 f(x)=xa的图象过点 (4,2),令 an= ,nN *.记数列a n的前 n 项和为 Sn,则1(+1)+()S2 016 等于( )A. -1 B. +12016 2016C. -1 D. +12017 20175.数列 an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则a n的前 60 项和为 ( )A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 导学号 372704586.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n= . 导学号 37270459 7.(2016 河南商丘三模) 已知数列a n
3、满足:a 3= ,an-an+1=2anan+1,则数列a nan+1前 10 项的15和为 . 导学号 37270460 8.已知 an是等差数列 ,bn是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求a n的通项公式;(2)设 cn=an+bn,求数列c n的前 n 项和.导学号 372704619.设等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列 bn的公比为 q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)当 d1 时,记 cn= ,求数列c n的前 n 项和 Tn.导学号 3727046210.已知 S
4、n为数列a n的前 n 项和,a n0, +2an=4Sn+3.2(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n 项和.1+1导学号 3727046311.(2016 全国高考预测模拟一)已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn,满足=2Sn+n+4,a2-1,a3,a7 恰为等比数列b n的前 3 项.2+1(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)若 cn=(-1)nlog2bn- ,求数列c n的前 n 项和 Tn.1+1导学号 37270464能力提升12.(2016 河南商丘二模) 已知首项为 的等比数列a n不是递减数列,其前 n 项和为32Sn(nN
5、 *),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=(-1)n+1n(nN *),求数列a nbn的前 n 项和 Tn.导学号 3727046513.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=0,对任意 nN *,都有 nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n满足 an+log2n=log2bn,求数列b n的前 n 项和 Tn.导学号 37270467高考预测14.已知在等差数列a n中 ,公差 d0,a10=19,且 a1,a2,a5 成等比数列.(1)求 an;(2)设 bn=an2n,求
6、数列b n的前 n 项和 Sn.导学号 37270468参考答案考点规范练 32 数列求和1.A 解析该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ ,则 Sn=1+3+5+(2n-1)+12=n2+1-(12+122+12) 12.2.D 解析a n+1=a1+an+n,a n+1-an=1+n.a n-an-1=n(n2).a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=(+1)2 .=21= 2(+1) (1- 1+1).的前 100 项和为 21 (1-12+=2 故选 D.12-13+1100- 1101) (1- 1101)=200101
7、.3.B 解析 f(n)=n 2cos(n)= =(-1)nn2,-2,为 奇数 ,2,为 偶数 a n=f(n)+f(n+1)=(-1)nn2+(-1)n+1(n+1)2=(-1)nn2-(n+1)2=(-1)n+1(2n+1).a 1+a2+a3+a100=3+(-5)+7+(-9)+199+(-201)=50(-2)=-100.故选 B.4.C 解析 由 f(4)=2,可得 4a=2,解得 a= ,则 f(x)=12 12.a n=1(+1)+()= 1+1+= ,+1 S2016=a1+a2+a3+a2016=( )+( )+( )+( )=2 1 3 2 4 3 2017 2016-
8、1.20175.D 解析a n+1+(-1)nan=2n-1,当 n=2k(kN *)时,a 2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k+1(kN *)时,a 2k+2-a2k+1=4k+1, +得:a 2k+a2k+2=8k.则 a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1+3+29)=8 =1800.15(1+29)2由得 a2k+1=a2k+2-(4k+1),a 1+a3+a5+a59=a2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1800-=30,(430292 +30)a 1+a2+a60=1800+30=1830.6.4- 解析设
9、Sn=32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n, +42则 Sn=32-2+42-3+(n+1)2-n+(n+2)2-n-1. 12-,得 Sn=32-1+2-2+2-3+2-n-(n+2)2-n-1=22-1+2-1+2-2+2-3+2-n-(n+2)2-n-121=1+ -(n+2)2-n-1=2-(n+4)2-n-1.故 Sn=4-2-1(1-2-)1-2-1 +42.7 解析 an-an+1=2anan+1,.1021=2,即 =2.-+1+1 1+11数列 是以 2 为公差的等差数列 .1=5, =5+2(n-3)=2n-1.13 1a n=12-1.a nan+1=1(2-1
10、)(2+1)=12( 12-1- 12+1).数列 anan+1前 10 项的和为 12(1-13+13-15+ 1210-1- 1210+1)=12(1- 121)=122021=1021.8.解(1)因为等比数列 bn的公比 q= =3,所以 b1= =1,b4=b3q=27.32=93 2设等差数列a n的公差为 d.因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2.所以 an=2n-1.(2)由(1)知,a n=2n-1,bn=3n-1.因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列 cn的前 n 项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1= =
11、n2+(1+2-1)2 +1-31-3 3-12.9.解(1)由题意 ,有 101+45=100,1=2, 即 21+9=20,1=2, 解得1=1,=2或 1=9,=29.故=2-1,=2-1或 =19(2+79),=9(29)-1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= ,2-12-1于是 Tn=1+ + , 32+522+723+924 2-12-1Tn= + 12 12+322+523+724+925 2-12.-可得 Tn=2+ + =3- ,故 Tn=6-12 12+122 12-22-12 2+32 2+32-1.10.解(1)由 +2an=4Sn+3,
12、2可知 +2an+1=4Sn+1+3.2+1两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1,2+12即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an).2+12由于 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a 1=3.21所以a n是首项为 3,公差为 2 的等差数列,故a n的通项公式为 an=2n+1.(2)由 an=2n+1 可知bn=1+1= 1(2+1)(2+3)=12( 12+1- 12+3).设数列 bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+( 12+1- 12+3)
13、= 3(2+3).11.解(1)因为 =2Sn+n+4,2+1所以 =2Sn-1+n-1+4(n2).2两式相减,得 =2an+1,2+12所以 +2an+1=(an+1)2.2+1=2因为a n是各项均为正数的数列,所以 an+1-an=1.又 =(a2-1)a7,所以(a 2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得 a2=3,a1=2,23所以a n是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n+1.由题意知 b1=2,b2=4,b3=8,故 bn=2n.(2)由(1)得 cn=(-1)nlog22n- =(-1)nn- ,1(+1)(+2) 1(+1)(+2)故 Tn=c1+c2
14、+cn=-1+2-3+(-1)nn-123+134+ 1(+1)(+2).设 Fn=-1+2-3+(-1)nn.则当 n 为偶数时,F n=(-1+2)+(-3+4)+-(n-1)+n= ;2当 n 为奇数时,F n=Fn-1+(-n)= -n=-12 -(+1)2 .设 Gn= + ,123+134 1(+1)(+2)则 Gn= +1213+1314 1+1 1+2=12 1+2.所以 Tn=-12+ 1+2,为 偶数 ,-+22+ 1+2,为 奇数 .12.解(1)设等比数列 an的公比为 q.由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,可得 2(S5+a5)=S3+a3+S4+a
15、4,即 2(S3+a4+2a5)=2S3+a3+2a4,即 4a5=a3,则 q2= ,53=14解得 q=12.由等比数列a n不是递减数列 ,可得 q=- ,故 an= =(-1)n-112 32(-12)-1 32.(2)由 bn=(-1)n+1n,可得 anbn=(-1)n-1 (-1)n+1n=3n32 (12).故前 n 项和 Tn=3 ,112+2(12)2+(12)则 Tn=312 1(12)2+2,(12)3+(12)+1两式相减可得, Tn=12312+(12)2+(12)-(12)+1=3 ,12(1-12)1-12-(12)+1化简可得 Tn=6(1-+22+1).13
16、.解(1)(方法一)na n+1=Sn+n(n+1),当 n2 时,(n- 1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减,得 nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n-1),即 nan+1-(n-1)an=an+2n,得 an+1-an=2.当 n=1 时,1a 2=S1+12,即 a2-a1=2.数列 an是以 0 为首项 ,2 为公差的等差数列.a n=2(n-1)=2n-2.(方法二) 由 nan+1=Sn+n(n+1),得 n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1),整理,得 nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1),两边同除以 n(n+1)得, =1.+1+1数列
17、 是以 =0 为首项 ,1 为公差的等差数列. 11=0+n-1=n-1.S n=n(n-1).当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=n(n-1)-(n-1)(n-2)=2n-2.又 a1=0 适合上式,数列 an的通项公式为 an=2n-2.(2)a n+log2n=log2bn,b n=n =n22n-2=n4n-1.2T n=b1+b2+b3+bn-1+bn=40+241+342+(n-1)4n-2+n4n-1, 4Tn=41+242+343+(n-1)4n-1+n4n, -,得 -3Tn=40+41+42+4n-1-n4n= -n4n=1-41-4 (1-3)4-13 .T n= (3n-1)4n+1.1914.解(1)a 1,a2,a5 成等比数列,=a1a5,22即(a 1+d)2=a1(a1+4d).又 a10=19=a1+9d,a 1=1,d=2.a n=2n-1.(2)b n=an2n=(2n-1)2n,S n=2+322+(2n-1)2n. 2S n=22+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1. 由- ,得-S n=2+2(22+23+2n)-(2n-1)2n+1=2 +2-(2n-1)2n+1=(3-22(2-1-1)2-12n)2n+1-6.即 Sn=(2n-3)2n+1+6.
