1、专题 5 双重最值问题的解决策略【题型综述】形如求 等的问题称为“双重最值问题” 按其变元的个数可12maxin,nfxf分为一元双重最值问题和多元双重最值问题在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题一个结论：设 ， ， ， ， 为正 常数，则0ypq（1） ；11inax,（2） 1mi,pqypqx证明：设 ，则 ， ， ，1a,tytxty1xtyt所以 ，1 1pqtxtpqt当且仅当 时取等，即 1y 1minax,qypq【 题型综述】一、一元双重最值问题1分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可例 1：若 ，求 的最大值RxFmin21,6xx解
2、：由 ，由 ，由 ，故可得225163xx，对每一段求值域可知当 时， 取得最大值 1F26x xF42数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值例 2：（2007 年浙江数学竞赛）设 ，求 2min4,153fxxmaxf解：分别画出 ， ， 的图象，24yx21y53yx得到 的图象如粗体部分所示f联立 ， 解得 ，yx2y,2A联立 ， 解得 ，来源:学。科。网 Z。X。X。K2153x1故由图可知当 时， 的最大值为 xf二、多元一次函数的双重 最值问题来源:Zxxk.Com1利用不等式的性质例 3：设 （ ， ， ， ， ） ， ， ，求0ix123
3、451ix12345max,xx的最小值解：由 ，12345x12345413xxx当 ， ， 时， 取得最小值 4031232利用绝对值不等式例 4： 求函数 在区间 上的最大值 的最小值2fxa,a解：注意到 ，且 ，1011ff a所以 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 2a1a2a23利用均值不等式例 5：（2002 年北京高中数学竞赛）若 ， ，求 0b21minx,ab解：设 ，则 ， ， ，21max,tb1tatb2ta所以 ，232 3t tb当且仅当 ， 有最小值 ，即 31at3 231minax,b4利用柯西不等式例 6：若 ， ， 且 ，求 b0c3abc22ia,
4、33cbcab 解：设 ，222max,ctc则 ， ， ，由柯西不等式得23tb23bta23tcb，2222 33 6626aca ct tc当且仅当 取等，即 3b22 3minx,3bacacb 5分类讨论例 7：若 ， ，求 的值a014ia,b解：设 ，则 ， ， ，14mx,tbttab当 时， ， ，当且仅当 时取等；a5taa25t5ab当 时， ， ，当且仅当 时取等b14bb综上， ，当且仅当 时取等，即 5t514minax,5b6待定系数法例 8：若 ， ，求 的值a0b14minax,b解：设 ，则 ， ， ，且 ，14max,tbtatbtatb14tab442t
5、t，当且仅当 且 时取等，24tabtab即 ， 时， ，即 5ab25tt14minx,5a7构造函数例 9：设 ， ， ， （ ） ，求 Rc32fxabxcinmxf解：注意到 为 次函数且 ，联想到三倍角公式 ，fx31,3cos4cos因此先构造特殊 函数 ， ，若设 ， ，34fx,x,则 ，从而 ，314coscosfx1ma4f当且 仅当 ， ， ， ，即 或 时取等，故猜测 0231x21minax4f设 ，注意到 （可用待定系数法求得） ，maxtf312fff故 ，13612122tfffffff 即 ，考虑到 ， 时， ，故 4t34fx,x4tminax4f8利用韦达
6、定理例 10：若 ， ， 且 ， ，求 ab0c12abc5abci,bc解：注意到 ， ， 的对称性，故可设 ，又 ， ，x,12bca4512a所以方程 有两个不大于 的实根，故21450xxa，当 ， 时， 012fa6ab2cminx,5bc9数形结合例 11：（20 14 浙江竞赛）若 ， 且 ，求 0aRb2maxin4,532axbab来源:Zxxk.Com解：我们在同一坐标系中画出 ， ， 的图象，124fx22fxab35fx则由图可知当且仅当 过 ， 时，2f,A,才有 ，maxin4,53axb所以 b【同步训练】1、 （2013 浙江预赛）设 ， ，求 a0b21min
7、ax,b2、 （2006 浙江预赛）若 ， ， ，求 c 2323ai,abc3、 （2003 北京竞赛）若 ， ，求 的值x0y1maxin,yx4、 （2015 浙江高考）设 ， 在 上的最大值为 ，2fbf,ab求证：当 时， 2a,ab5、设 ，若对任意的 ，存在 使得243fxx0,4a0,2x，求 的最大值来源:学。科。网0t6、若 ， ， ，求 的值ab0c1minax,abc7、若 ， ，求 2ia,b8、若 ，求 0xy25minax,y9、若 ， ， ，求 xyz2231ia,xzxy10、设 ， ，求 的值aRbmin1,bab11、设 （ ） ，求 2fxc0xminxf12、设 ，求 的最小值222 2ma4,31,3tyyt来源:学.科.网13、设 （ ） ，求 cosinfxxab02xminaxf14、设 ，求 的最小值ma1,42,93tpqpqt15、若实数 ， ， 满足 ， ，求 bc0abc1ainax,bc
