1、79 等差数列的概念与运算8.(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 8,等差数列的概念与运算,选择题) 已知数列a n的首项 a1=1 且an-an+1=anan+1(nN *),则 a2 015=( )A. B. C.- D.12 014 2 0142 015 2 0142 015 12 015解析: an-an+1=anan+1, =1.1+11又 a1=1, =1.11 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.1 =1+(n-1)=n.1 =2 015, a2 015= .12 015 12 015答案:D15.(2015 宁夏银川一中二模,文 15,等差数列的概念与运算,填空题)
2、已知 Sn 为数列a n的前 n 项和,2an-n=Sn,则数列a n的通项公式 . 解析:由 2an-n=Sn,得 2a1-1=a1,解得 a1=1.又 2 -(n-1)= (n2),-1 -1两式作差得 an=2 +1,-1即 an+1=2( +1)(n2).-1 a1+1=2, an+1是以 2 为首项 ,2 为公差的等差数列. an+1=2n,即 an=2n-1.答案:2 n-117.(2015 河南开封定位模拟,文 17,等差数列的概念与运算,解答题) 已知数列a n满足 a1=1,n(an+1-an)=an+n2+n,nN *,证明:数列 是等差数列.证明: n(an+1-an)=
3、an+n2+n, nan+1-(n+1)an=n(n+1). =1.+1+1 数列 是等差数列.80 等差数列的性质5.(2015 辽宁沈阳一模,文 5,等差数列的性质 ,选择题) 设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和,若 a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则 n=( )A.5 B.6 C.7 D.8解析:由 Sn+2-Sn=36,得 an+1+an+2=36,即 a1+nd+a1+(n+1)d=36,又 a1=1,d=2,所以 2+2n+2(n+1)=36.解得 n=8.答案:D5.(2015 河南郑州一模,文 5,等差数列的性质 ,选择题) 已知数列 an是等差数列,其前 n
4、 项和为 Sn,若a1a2a3=10,且 ,则 a2=( )515=15A.2 B.3 C.4 D.5解析: 数列a n是等差数列, S1=a1,S5=5a3.又 , a1a3=5.515=15 a1a2a3=10, a2=2.答案:A3.(2015 宁夏银川一中一模,文 3,等差数列的性质,选择题) 已知等差数列 an的公差为 d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 为( )A.12 B.8 C.6 D.4解析:a 3+a6+a10+a13=32,即( a3+a13)+(a6+a10)=32,根据等差数列的性质得 2a8+2a8=32,a8=8,故 m=8.答案
5、:B3.(2015 河南六市联考一模,文 3,等差数列的性质,选择题) 在等差数列 an中,首项 a1=0,公差 d0,若ak=a1+a2+a3+a7,则 k=( )A.22 B.23 C.24 D.25解析: 数列a n为等差数列, 且首项 a1=0,公差 d0,又 ak=(k-1)d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d, k=22.答案:A10.(2015 河南商丘一模,文 10,等差数列的性质,选择题) 公差不为零的等差数列 an中,2a 3- +2a11=0,27数列b n是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( )A.2 B.4 C.8 D.16解析: 2a3- +2a11=
6、0,27 =2(a3+a11)=4a7, a7=4 或 a7=0.27 数列b n是等比数列,且 b7=a7, b7=4. b6b8= =16.27答案:D81 等差数列前 n 项和公式与最值10.(2015 辽宁大连二模,文 10,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题) 已知等差数列a n的前 n 项和为Sn,a2=4,S10=110,则 的最小值为( )+64A.7 B.8 C. D.152 172解析:设等差数列a n的公差为 d,则 解得2=1+=4,10=101+1092=110, 1=2,=2,故 an=2+2(n-1)=2n,Sn=2n+ 2=n2+n,(-1)2所以+64=2
7、+642 =2+32+122 ,当且仅当 ,即 n=8 时取等号,即 的最小值为 .232+12=172 2=32 +64 172答案:D13.(2015 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文 13,等差数列前 n 项和公式与最值,填空题)若等差数列a n中,满足 a4+a6+a2 010+a2 012=8,则 S2 015= . 解析: a2 012+a4=a6+a2 010=a1+a2 015,a4+a6+a2 010+a2 012=8, 2(a1+a2 015)=8. a1+a2 015=4. S2 015= =4 030.2 015(1+2 015)2答案:4 0301
8、4.(2015 辽宁丹东二模,文 13,等差数列前 n 项和公式与最值,填空题) 设等差数列a n的前 n 项和为Sn,若 S8=4a3,a9=-6,则 a7= . 解析:设等差数列a n的公差为 d,则由 S8=4a3,可得 8a1+ =4(a1+2d),8(8-1)2化简得 a1+5d=0,又 a9=-6, a1+8d=-6. a1=10,d=-2. a7=a1+6d=10-12=-2.答案:-282 等比数列的概念与运算4.(2015 河南洛阳一模,文 4,等比数列的概念与运算 ,选择题) 已知 aR,若 a+1,a+2,a+6 依次构成等比数列,则此等比数列的公比为( )A.4 B.2
9、 C.1 D.-23解析: a+1,a+2,a+6 依次构成等比数列, (a+2)2=(a+1)(a+6),解得 a=- .23 此等比数列的公比 q= =4.+2+1=4313答案:A13.(2015 河南郑州一模,文 13,等比数列的概念与运算,填空题) 已知数列a n是等比数列,若 a1= ,a4=6,32则 a10= . 解析:在等比数列a n中,由 a1= ,a4=6,32得 q3= =4,41=632故 a10=a4q6=642=96.答案:963.(2015 辽宁鞍山一模,文 3,等比数列的概念与运算 ,选择题) 已知递增等比数列a n满足a3a7=6,a2+a8=5,则 =(
10、)104A. B. C. D.56 65 25 32解析: 递增等比数列a n满足 a3a7=6,a2+a8=5, a2a8=6,a2+a8=5,解得 a2=2,a8=3. .104=82=32答案:D14.(2015 宁夏银川一中一模,文 14,等比数列的概念与运算,填空题) 等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若S1,S3,S2 成等差数列,则a n的公比 q= . 解析: 等比数列a n的前 n 项和为 Sn,S1,S3,S2 成等差数列, 依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). a10, 2q2+q=0,又 q0,解得 q=- .12答案:-1283 等比数
11、列的性质4.(2015 辽宁锦州一模,文 4,等比数列的性质 ,选择题) 已知各项不为 0 的等差数列a n满足 a4-2 +3a8=0,数列 bn是等比数列 ,且 b7=a7,则 b2b8b11 等于( )27A.1 B.2 C.4 D.8解析: 数列a n是各项不为 0 的等差数列,由 a4-2 +3a8=0,得(a 4+a8)-2 +2a8=0,27 272a6-2 +2a8=0,2(a6+a8)-2 =0,27 27 4a7-2 =0,解得 a7=2.27 b7=a7=2.又数列b n是等比数列,则 b2b8b11= b7qb7q4= =23=8.75 37答案:D14.(2015 河
12、南洛阳二模,文 14,等比数列的性质,填空题) 等比数列 an中,a 1=1,a10=2,则log2a1+log2a2+log2a10= . 解析:由题意得,等比数列a n各项均为正数,且 a1a10=2,根据对数的运算性质和等比数列的性质得,log2a1+log2a2+log2a10=log2(a1a2a3a9a10)=log2(a1a10)5=log225=5.答案:584 等比数列前 n 项和公式14.(2015 辽宁沈阳一模,文 14,等比数列前 n 项和公式,填空题) 已知a n是等比数列,a 2=2,a5= ,则14a1a2+a2a3+anan+1= . 解析:由 a5= =a2q
13、3=2q3,解得 q= .14 12 =q2= (n2), 数列a nan+1是首项是 a1a2=8,公比为 的等比数列,+1-1 74 14 a1a2+a2a3+anan+1=81-(14)1-14= (1-4-n).323答案: (1-4-n)3234.(2015 辽宁沈阳四校联考,文 4,等比数列前 n 项和公式,选择题) 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若=3,则 =( )63 96A.2 B. C. D.373 83解析:设公比为 q,则 =1+q3=3,63=1(-6)1-1(-3)1-=1-61-3所以 q3=2.所以 .96=1-91-6=1-231-22=73答案:B
14、17.(2015 河南六市联考一模,文 17,等比数列前 n 项和公式,解答题) 已知a n是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5=45,a2+a6=14.(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n满足 + =an+1(nN *),求数列 bn的前 n 项和.12+222 2解:(1)设等差数列 an的公差为 d,则依题设 d0. a2+a6=14, a4=7. a3a5=45, (7-d)(7+d)=45,可得 d=2. a1=7-3d=1. an=2n-1.(2)设 cn= ,则 c1+c2+cn=an+1,2即 c1+c2+cn=2n,可得 c1=2,且 c1+c2+cn
15、+cn+1=2(n+1). cn+1=2,可知 cn=2(nN *). bn=2n+1. 数列b n是首项为 4,公比为 2 的等比数列. 数列b n的前 n 项和 Sn= =2n+2-4.4(1-2)1-25.(2015 天津河北区一模,文 5,等比数列前 n 项和公式,选择题) 设a n是各项均为正数的等比数列,S n为其前 n 项和,若 S4=5S2,则此数列的公比 q 的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:若 q=1,S4=4a1,5S2=10a1,不满足 S4=5S2,故 q1.由 S4=5S2,得 =5a1(1+q),1(1-4)1- an0, 1+q2=5,即 q2=4
16、. an是各项均为正数的等比数列, q=2.答案:B10.(2015 河南商丘二模,文 10,等比数列前 n 项和公式,选择题) 在递增的等比数列a n中,已知a1+an=34,a3 =64,且前 n 项和为 Sn=42,则 n=( )-2A.3 B.4 C.5 D.6解析:由等比数列的性质可得 a1an=a3 =64,-2又 a1+an=34, a1 和 an 是方程 x2-34x+64=0 的两根,解方程可得 x=2 或 x=32. 等比数列a n递增, a1=2,an=32. Sn=42, =42,解得 q=4.1-1-=2-321- 32=24n-1,解得 n=3.答案:A85 分组求
17、和与并项求和11.(2015 辽宁锦州一模,文 11,分组求和与并项求和,选择题) 已知数列a n满足 an+1=an- (n2),-1a1=1,a2=3,记 Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是 ( )A.a100=-1,S100=5B.a100=-3,S100=5C.a100=-3,S100=2D.a100=-1,S100=2解析:由 an+1=an- (n2), 得-1an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3=-(an+2-an+1)=-(an+1-an-an+1)=an,所以 6 为数列a n的周期.又 a3=a2-a1=3-1=2,a4=a3-a2
18、=2-3=-1,a5=a4-a3=-1-2=-3,a6=a5-a4=-3-(-1)=-2,所以 a100=a96+4=a4=-1,S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=160+1+3+2-1=5.答案:A86 错位相减求和17.(2015 辽宁锦州二模,文 17,错位相减求和,解答题) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列a n的通项公式 an;(2)设 Tn 为数列 的前 n 项和 ,求 Tn;2(3)设 bn= ,证明:b 1+b2+b3+bn- .12 34(1)解:设数列a n的公差为
19、 d, a1+a7=-9,S9=- ,992 解得21+6=-9,91+36=-992, 1=-32,=-1. an=- -(n-1)=- .32 2+12(2)证明: Sn= =- ,(-32-2+12)2 (+2)2 bn= =- =- .12 1(+2) 12(1- 1+2) 数列b n的前 n 项和为Tn=-12(1-13)+(12-14)+(13-15)+( 1-1- 1+1)+(1- 1+2)=-12(1+12- 1+1- 1+2)= - .12( 1+1+1+2)34 34 Tn- .3417.(2015 河南商丘二模,文 17,裂项相消求和,解答题) 已知等差数列 an的首项
20、a1=1,公差 d=1,前 n 项和为 Sn,bn= .1(1)求数列b n的通项公式;(2)设数列b n前 n 项和为 Tn,求 Tn.解:(1) 等差数列 an中 a1=1,公差 d=1, Sn=na1+ d= .(-1)2 2+2 bn= .22+(2)bn= ,22+= 2(+1) b1+b2+b3+bn=2112+123+134+ 1(+1)=2(1-12+12-13+13-14+1- 1+1)=2 .(1-1+1)17.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 17,裂项相消求和,解答题) 已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且Sn=2an-2(nN *).(1)求a n的通项公式
21、;(2)设 bn=anlo ,试求 bn的前 n 项和 Tn.121解:(1)当 n=1 时 ,由 Sn=2an-2,a1=S1,可得 a1=2,由 Sn=2an-2, 可得 =2 -2(n2), -1 -1由 - ,得 an=2 (n2).-1故a n是首项和公比都为 2 的等比数列,通项公式为 an=2n.(2)由(1)可得,b n=anlo =2nlo =n2n.121 121则 Tn=12+222+323+n2n.2Tn=122+223+324+n2n+1.两式相减可得,-T n=2+22+23+2n-n2n+1= -n2n+1=(1-n)2n+1-2.2(1-2)1-2故 Tn=(n-1)2n+1+2.
