1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 49 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 、 离 散 型 随机 变 量 的 均 值 与 方 差一 、 选 择 题1. （ 2014浙 江 高 考 理 科 9） 已 知 甲 盒 中 仅 有 1 个 球 且 为 红 球 ， 乙 盒 中 有个 红 球 和 个 篮 球 ， 从 乙 盒 中 随 机 抽 取 个 球 放 入 甲 盒 中 .mn3,mn,2i（ a） 放 入 个 球 后 ， 甲 盒 中
2、 含 有 红 球 的 个 数 记 为 ；i i（ b） 放 入 个 球 后 ， 从 甲 盒 中 取 1 个 球 是 红 球 的 概 率 记 为 .则1,ipA. B.1212,pE1212,pEC. D. 【 解 题 指 南 】 根 据 概 率 和 数 学 期 望 的 有 关 知 识 ， 分 别 计 算 、 和 、1p21()E在 比 较 大 小 .2()E【 解 析 】 选 A.随 机 变 量 的 分 布 列 如 下 ：12,11 2pmnn21 2 3p2nmC12mn2mnC所 以 ，1()En2123()mnnCnE所 以 2因 为 ，112()mmnpn212133()mnnnmCC
3、npA， 所 以1206()P 12P二 、 填 空 题2. （ 2014上 海 高 考 理 科 13）,35某 游 戏 的 得 分 为 ， 随 机 变 量 表 示 小 白 玩 该 游 戏 的 得 分 ，若 E()=.， 则 小 白 得 分 的 概 率 至 少 为 _.【 解 题 提 示 】 根 据 期 望 公 式 结 合 分 布 列 的 性 质 可 得 .【 解 析 】 123451234551234 5,34 .2()0.2PPPP 设 取 ， 时 ， 对 应 概 率 分 别 为 ， ， ， ， ， 则 有 E()=+34所 以 -答 +所 以案 ：3. （ 2014浙 江 高 考 理 科
4、 12） 随 机 变 量 的 取 值 为 0,1,2， 若 ，105P， 则 _.ED【 解 题 指 南 】 根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值 与 方 差 的 性 质 计 算 【 解 析 】 设 时 的 概 率 为 ， 则 ， 解 得 ，1p11()02()55Ep35p故 2223()0()(1)5D答 案 ： 5三 、 解 答 题4. （2014湖北高考理科20）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单X位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于
5、 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，X并有如下关系：年入流量 X 408x012x120x发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解题指南】 （ ） 先 求 出 年 入 流 量 X 的 概 率
6、 ， 根 据 二 项 分 布 ， 求 出 未 来 4 年 中 ， 至 少 有 1 年的 年 入 流 量 超 过 120 的 概 率 ；（ ） 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 ， 分 别 求 出 一 台 ， 两 台 ， 三 台 的 数 学 期 望 ， 比 较 即 可 得 到 【解析】 （）依题意， ， ，110(408).25p35(80X12)0.7p35(X120).p由二项分布，在未来 4 年中至多有一年的年入流量超过 120 的概率为013434391()()()()0.94710Cp（）记水电站年总利润为 Y（1） 安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机
7、运行的概率为 1，对应的年利润 ，Y50(Y)50E（2）安装 2 台发电机的情形依题意，当 时，一台发电机运行，此时 ，因此48x50842Y；当 时，两台发电机运行，此时1()P(0).2pX，因此 ；由此得的分布列如下Y5021 23(Y)P().pY 4200 10000P 0.2 0.8所以， 。()420.10.84E（3）安装 3 台发电机的情形依题意，当 时，一台发电机运行，此时 ，因此8x5016340Y；当 时，两台发电机运行，此时1(Y)P().2p X2，因此 ；当 时，两台50290 2(9)P(8).7pX120发电机运行，此时 ，因此 由此得的分布530 3150
8、(10.列如下Y 3400 8200 15000P 0.2 0.7 0.1所以， 。()340.290.7150.862E综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台。5. （2014湖南高考理科17） （本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 35和 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品 B设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B研发成功，预计企业可获利润100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【解题提示】(1)利用独立事件的乘法公
9、式求解;(2)利用分布列、期望的定义求解。【解析】记 E=甲组研发新产品成功，F=乙组研发新产品成功。由题设知，（1） ,52)(,3)(,1)(,32)( FPEP且事件 与 ， 与 ， 与 ， 与 都相互独立。FE记 H=至少有一种新产品研发成功，则 ，于是H故所求的概率为,1523)()(PEH .1532)(1)(HP（2）设企业可获利润为 X（万元） ，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因 ,)()0(FX ,53)()(FEP1542312EP 16220P故所求的分布列为X 0 100 120 220P 156数学期望为 .14052153048021540320
10、)( E6.(2014广 东 高 考 理 科 )(13 分 )随 机 观 测 生 产 某 种 零 件 的 某 工 厂 25 名 工 人 的 日 加 工 零 件数 (单 位 :件 ),获 得 数 据 如 下 :30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根 据 上 述 数 据 得 到 样 本 的 频 率 分 布 表 如 下 :分 组 频 数 频 率25,30 3 0.12(30,35 5 0.20(35,40 8 0.32(40,45 n1 f1(45,50 n2 f2(1)确 定 样 本
11、频 率 分 布 表 中 n1,n2,f1 和 f2 的 值 .(1)根 据 上 述 频 率 分 布 表 ,画 出 样 本 频 率 分 布 直 方 图 .(3)根 据 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ,求 在 该 厂 任 取 4 人 ,至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间(30,35的 概 率 .【 解 题 提 示 】 (1)在 所 给 的 数 据 中 圈 出 (40,45,(45,50的 数 字 可 得 n1,n2的 值 ,再 换 算出 f1,f2的 值 .(2)建 立 坐 标 系 ,用 计 算 各 组 纵 坐 标 的 值 .频 率组 距(3)根 据 “样 本 频
12、 率 分 布 直 方 图 ”判 断 为 二 项 分 布 型 ,再 用 对 立 事 件 的 概 率 求 解 .【 解 析 】 (1)由 所 给 的 数 据 ,知 在 (40,45的 有 42,41,44,45,43,43,42,即 n1=7;在(45,50的 有 49,46,即 n2=2,(列 出 有 关 数 据 ,直 接 写 出 n1=7,n2=2 会 被 扣 分 )f1= =0.28,f2= =0.08.75(2)算 得 各 组 的 的 值 分 别 为 :频 率组 距=0.024, =0.04, =0.064, =0.065, =0.016,(要 具 体 算 出 来 ,否 则15.5.325
13、288要 被 扣 分 )“样 本 分 布 直 方 图 ”如 图 所 示 ;7.（ 2014福 建 高 考 理 科 18） 18.（ 本 小 题 满 分 13 分 ）为 回 馈 顾 客 ， 某 商 场 拟 通 过 摸 球 兑 奖 的 方 式 对 1000 位 顾 客 进 行 奖 励 ， 规 定 ： 每 位 顾 客从 一 个 装 有 4 个 标 有 面 值 的 球 的 袋 中 一 次 性 随 机 摸 出 2 个 球 ， 球 上 所 标 的 面 值 之 和 为 该顾 客 所 获 的 奖 励 额 .（ 1） 若 袋 中 所 装 的 4 个 球 中 有 1 个 所 标 的 面 值 为 50 元 ， 其
14、余 3 个 均 为 10 元 ， 求 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 60 元 的 概 率 顾 客 所 获 的 奖 励 额 的 分 布 列 及 数 学 期 望 ;（ 2） 商 场 对 奖 励 总 额 的 预 算 是 60000 元 ， 并 规 定 袋 中 的 4 个 球 只 能 由 标 有 面 值 10 元和50 元 的 两 种 球 组 成 ， 或 标 有 面 值 20 元 和 40 元 的 两 种 球 组 成 .为 了 使 顾 客 得 到 的 奖 励 总额 尽 可 能 符 合 商 场 的 预 算 且 每 位 顾 客 所 获 的 奖 励 额 相 对 均 衡 ， 请 对 袋 中 的 4 个
15、球 的 面值 给 出 一 个 合 适 的 设 计 ， 并 说 明 理 由 .【 解 题 指 南 】 列 分 布 表 ， 再 按 公 式 求 期 望 ； 欲 让 每 位 顾 客 所 获 得 的 奖 励 相 对 平 衡 ，则 应 求 方 差 ， 方 差 小 的 为 最 佳 方 案 【 解 析 】 (1I)设 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 .X 依 题 意 ， 得 ，1324C60)PX即 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 元 的 概 率 ； 3 分 依 题 意 ， 得 的 所 有 可 能 取 值 为 ，0,6， ， (或 )1(60)2PX234C1(0)PX 120)1(602PXPX即
16、 的 分 布 列 为 ： 6P1212 顾 客 所 获 的 奖 励 额 的 数 学 期 望 (元 ).6 分()0.56.40EX(2)根 据 商 场 的 预 算 ， 每 个 顾 客 的 平 均 奖 励 额 为 60 元 ， 所 以 ， 先 寻 找 期 望 为 60 元的 可 能 方 案 .对 于 面 值 由 10 元 和 50 元 组 成 的 情 况 .如 果 选 择 的 方 案 ， 因 为 60 元 是(1,5)面 值 之 和 的 最 大 值 .所 以 期 望 不 可 能 为 60 元 ； 如 果 选 择 的 方 案 ， 因 为 600,1元 是 面 值 之 和 的 最 小 值 ， 所 以
17、 期 望 也 不 可 能 为 60 元 ， 因 此 可 能 的 方 案 是 ，(10,5)记 为 方 案 1.8 分对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况 ， 同 理 可 排 除 和 的(2,0,4)(,4,2)方 案 ， 所 以 可 能 的 方 案 是 ， 记 为 方 案 2.9 分(,2,)以 下 是 对 两 个 方 案 的 分 析 ：对 于 方 案 1， 即 方 案 ， 设 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 ， 则 的 分 布 列 为(0,15) 1X1X20 60 100P6236的 期 望 为 ，11 1()6E的 方 差 为 .11 分X222100)(0
18、)(0)3DX对 于 方 案 2， 即 方 案 ， 设 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 ， 则 的 分 布 列 为(,42X220 60 80P162316的 期 望 为 ，2X2 1()4836EX的 方 差 为 .222400)(0)(80)3D由 于 两 种 方 案 的 奖 励 额 的 期 望 都 符 合 要 求 ， 但 方 案 2 奖 励 额 的 方 差 比 方 案 1 小 ，所 以 应 该 选 择方 案 2.13 分注 ： 第 (2)问 ， 给 出 方 案 1 或 方 案 2 的 任 一 种 方 案 ， 并 利 用 期 望 说 明 所 给 方 案 满 足 要 求 ，给 3 分 ；
19、 进 一 步 比 较 方 差 ， 说 明 应 选 择 方 案 2， 再 给 2 分 .(3)根 据 “样 本 频 率 分 布 直 方 图 ”,以 频 率 估 计 概 率 ,则 在 该 厂 任 取 1 人 ,其 加 工 零 件 数据 落 在 (30,35的 频 率 为 0.20,估 计 其 概 率 为 0.20(这 个 要 写 ,否 则 会 被 扣 分 ,需 点 明“频 率 估 计 概 率 ”),在 该 厂 任 取 4 人 ,至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30,35的概 率 为 P(A)=1- (0.2)0(1-0.2)4=0.5904(二 项 分 布 型 概
20、 率 ,间 接 求 较 为 方 便 ),所 求 的4C概 率 为 0.5904.8. （ 2014山 东 高 考 理 科 18）乒 乓 球 台 面 被 网 分 成 甲 、 乙 两 部 分 ， 如 图 ，甲 上 有 两 个 不 相 交 的 区 域 ， 乙 被 划 分 为 两 个 不 相 交 的 区 域,AB.某 次 测 试 要 求 队 员 接 到 落 点 在 甲 上 的 来 球 后 向 乙 回 球 .规 定 ： 回 球 一 次 ， 落 点 在,CD上 记 3 分 ， 在 上 记 1 分 ， 其 它 情 况 记 0 分 .对 落 点 在 上 的 来 球 ， 小 明 回 球 的 落 点在 上 的 概
21、 率 为 ， 在 上 的 概 率 为 ； 对 落 点 在 上 的 来 球 ， 小 明 回 球 的 落 点 在 上2D13BC的 概 率 为 ， 在 上 的 概 率 为 .假 设 共 有 两 次 来 球 且 落 在 上 各 一 次 ， 小 明 的 两 次155,A回 球 互 不 影 响 .求 ：（ ） 小 明 的 两 次 回 球 的 落 点 中 恰 有 一 次 的 落 点 在 乙 上 的 概 率 ；（ ） 两 次 回 球 结 束 后 ， 小 明 得 分 之 和 的 分 布 列 与 数 学 期 望 .【 解 题 指 南 】 (1)本 题 考 查 了 相 互 独 立 事 件 的 概 率 .(2)本
22、题 考 查 的 是 随 机 变 量 的 分 布 列及 数 学 期 望 ,先 列 出 的 所 有 值 ,并 求 出 每 个 值 所 对 应 的 概 率 ,列 出 分 布 列 ,然 后 根 据 公式 求 出 数 学 期 望 .【 解 析 】 （ I） 设 恰 有 一 次 的 落 点 在 乙 上 这 一 事 件 为 A103546)(AP（ II） 62，的 可 能 取 值 为 1052)6(,301521)4(,3153)(,056)0( PP的 分 布 列 为所 以0 1 2 3 4 6P3016512301103964530)( E其 数 学 期 望 为9.(2014陕 西 高 考 理 科 T
23、19)(本 小 题 满 分 12 分 )在 一 块 耕 地 上 种 植 一 种 作 物 ,每 季 种 植 成本 为 1000 元 ,此 作 物 的 市 场 价 格 和 这 块 地 上 的 产 量 具 有 随 机 性 ,且 互 不 影 响 ,其 具 体 情 况如 下 表 :作 物 产 量 (kg) 300 500概 率 0.5 0.5作 物 市 场 价 格 (元 /kg) 6 10概 率 0.4 0.6(1)设 X 表 示 在 这 块 地 上 种 植 1 季 此 作 物 的 利 润 ,求 X 的 分 布 列 .(2)若 在 这 块 地 上 连 续 3 季 种 植 此 作 物 ,求 这 3 季 中
24、 至 少 有 2 季 的 利 润 不 少 于 2000 元 的概 率 .【 解 题 指 南 】 (1)先 由 已 知 确 定 X 所 有 可 能 的 取 值 ,再 利 用 概 率 公 式 求 出 X 对 应 值 的 概率 ,从 而 得 到 X 的 分 布 列 .(2)利 用 问 题 (1)的 结 论 得 某 1 季 此 作 物 的 利 润 不 少 于 2000 元的 概 率 ,再 分 类 求 得 这 3 季 中 至 少 有 2 季 的 利 润 不 少 于 2000 元 的 概 率 .【 解 析 】 (1)设 A 表 示 事 件 “作 物 产 量 为 300kg”,B 表 示 事 件 “作 物
25、市 场 价 格 为 6 元/kg”,由 题 设 知 P(A)=0.5,P(B)=0.4,因 为 利 润 =产 量 市 场 价 格 -成 本 .所 以 X 所 有 可 能 的 取 值 为50010-1000=4000 5006-1000=200030010-1000=2000 3006-1000=800P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2.所 以 X 的 分 布 列 为X 4 000 2 000
26、 800P 0.3 0.5 0.2(2)设 Ci表 示 事 件 “第 i 季 利 润 不 少 于 2000 元 ”(i=1,2,3),由 题 意 知 C1,C2,C3 相 互 独 立 ,由 (1)知 ,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3 季 的 利 润 均 不 少 于 2000 元 的 概 率 为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512.3 季 中 有 2 季 的 利 润 不 少 于 2000 元 的 概 率 为P( C2C3)+P(C1 C3)+P(C1C2 )=30.820.2=0.384,所 以
27、 这 3 季 中 至 少 有 2 季 的 利 润 不 少 于 2000 元 的 概 率 为 0.512+0.384=0.896.10. （ 2014天 津 高 考 理 科 16） （ 本 小 题 满 分 13 分 ）某 大 学 志 愿 者 协 会 有 6 名 男 同 学 ， 4 名 女 同 学 . 在 这 10 名 同 学 中 ， 3 名 同 学 来 自 数 学学 院 ， 其 余 7 名 同 学 来 自 物 理 、 化 学 等 其 他 互 不 相 同 的 七 个 学 院 . 现 从 这 10 名 同 学 中随 机 选 取 3 名 同 学 ， 到 希 望 小 学 进 行 支 教 活 动 （ 每
28、位 同 学 被 选 到 的 可 能 性 相 同 ） .（ 1） 求 选 出 的 3 名 同 学 是 来 自 互 不 相 同 学 院 的 概 率 ；（ 2） 设 为 选 出 的 3 名 同 学 中 女 同 学 的 人 数 ， 求 随 机 变 量 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .X X【 解 析 】 （ 1） 设 “选 出 的 3 名 同 学 来 自 互 不 相 同 的 学 院 ”为 事 件 ， 则A.()2037371496CPA+=所 以 ， 选 出 的 3 名 同 学 来 自 互 不 相 同 学 院 的 概 率 为 .4960所 以 ， 的 最 小 正 周 期 .()fx2Tp（ 2）
29、 随 机 变 量 的 所 有 可 能 值 为 0， 1， 2， 3.X.()34610kCPx-=(),23=所 以 ， 随 机 变 量 的 分 布 列 是 X0 1 2 3P162301随 机 变 量 的 数 学 期 望 .X() 6350EX+=+=11.（ 2014安 徽 高 考 理 科 17） 甲 乙 两 人 进 行 围 棋 比 赛 ， 约 定 先 连 胜 两 局 者 直 接 赢得 比 赛 ， 若 赛 完 5 局 仍 未 出 现 连 胜 ， 则 判 定 获 胜 局 数 多 者 赢 得 比 赛 ， 假 设 每 局 甲 获 胜 的概 率 为 ， 乙 获 胜 的 概 率 为 ， 各 局 比
30、赛 结 果 相 互 独 立 .33(1)求 甲 在 4 局 以 内 （ 含 4 局 ） 赢 得 比 赛 的 概 率 ；（ 2） 记 X 为 比 赛 决 出 胜 负 时 的 总 局 数 ， 求 X 的 分 布 列 和 均 值 （ 数 学 期 望 ）【 解 题 提 示 】 （ 1） 甲 在 4 局 以 内 （ 含 4 局 ） 连 胜 有 3 种 可 能 ；（ 2） 列 出 X 的 取 值 可 能 有 4 种 情 况 ， 分 别 求 出 其 概 率 。【 解 析 】 用 A 表 示 “甲 在 4 局 以 内 （ 含 4 局 ） 赢 得 比 赛 ”， 表 示 “第 K 局 甲 获 胜 ”，iA表 示
31、“第 K 局 乙 获 胜 ”， 则 ， ， k=1,2,3,4,5.iB2()=3iPA()iB(1) 12123124()(PB=+= 34)()()A PA）= .22256()()(3381(2)X 的 可 能 取 值 为 2,3,45.= .11()()PPB+12125()()9AB+=.2323() 9A=141404()()8X.(5)-(1PPX-=-=故 x 的 分 布 列 为 ：X 2 3 4 5P 9108E(X)= .52+=12. （ 2014四 川 高 考 理 科 17） 一 款 击 鼓 小 游 戏 的 规 则 如 下 ： 每 盘 游 戏 都 需 要 击 鼓三 次
32、， 每 次 击 鼓 要 么 出 现 一 次 音 乐 ， 要 么 不 出 现 音 乐 ； 每 盘 游 戏 击 鼓 三 次 后 ， 出 现 一 次音 乐 获 得 10 分 ， 出 现 两 次 音 乐 获 得 20 分 ， 出 现 三 次 音 乐 获 得 100 分 ， 没 有 出 现 音 乐则 扣 除 200 分 （ 即 获 得 分 ） 设 每 次 击 鼓 出 现 音 乐 的 概 率 为 ， 且 各 次 击 鼓 出 现20 12音 乐 相 互 独 立 （ 1） 设 每 盘 游 戏 获 得 的 分 数 为 ， 求 的 分 布 列 ；X（ 2） 玩 三 盘 游 戏 ， 至 少 有 一 盘 出 现 音
33、乐 的 概 率 是 多 少 ？（ 3） 玩 过 这 款 游 戏 的 许 多 人 都 发 现 ， 若 干 盘 游 戏 后 ， 与 最 初 的 分 数 相 比 ， 分 数 没 有 增 加反 而 减 少 了 请 运 用 概 率 统 计 的 相 关 知 识 分 析 分 数 减 少 的 原 因 .【 解 题 提 示 】 本 题 主 要 考 查 随 机 事 件 的 概 率 、 古 典 概 型 、 独 立 重 复 试 验 、 随 机 变 量 的 分布 列 、 数 学 期 望 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 用 概 率 与 统 计 的 知 识 与 方 法 分 析 和 解 决 实 际 问 题 的能 力 ，
34、考 查 运 算 求 解 能 力 ， 应 用 意 识 和 创 新 意 识 .【 解 析 】 （ 1） 可 能 取 值 有 ， 10， 20， 100 根 据 题 意 ， 有X， ，033(2)(1)28PC1233()()8PXC， 0所 以 的 分 布 列 为X2010 20 100P 1838388（ 2） 由 （ 1） 知 ： 每 盘 游 戏 出 现 音 乐 的 概 率 是 7p则 玩 三 盘 游 戏 ， 至 少 有 一 盘 出 现 音 乐 的 概 率 是 031351()2C（ 3） 由 （ 1） 知 ， 每 盘 游 戏 获 得 的 分 数 为 的 数 学 期 望 是X分35()20)201884EX这 表 明 ， 每 盘 游 戏 平 均 得 分 是 负 分 ， 因 此 ， 多 次 游 戏 之 后 分 数 减 少 的 可 能 性 更 大 .关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
