1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 43 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. （2013新课标高考文科8） 为坐标原点， 为抛物线 ：OFC的焦点， 为 C 上一点，若 ，则POF 的面积为（ ）xy24P24|PFA. B. C. D.232【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选 C.设 ，则 ，解得 ，因为),(1yxP242|11xPF231x为 C 上一点，则 ，得 ，所以342x 6|y.362POFS2.（2013江西高考文科9）已知点 A（
2、2，0） ，抛物线 C：x 2=4y 的焦点为F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|：|MN|= （ ）A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:35 5【解题指南】由抛物线的定义把 转化为点 M 到准线的距离，再结合直线的F斜率，借助直角三角形进行求解.【解析】选 C.设直线 FA 的倾斜角为 ，因为 F（0,1） ，A （2,0） ，所以直线 FA的斜率为 ，即 ，过点 M 作准线的垂线交准线于点 Q，由抛物线121tan2定义得 ，在 中 ,可得 ，即|FM|：|MN|= .FMQNA|Q|12|1N51:53. （ 2013重庆高考文科10）设双
3、曲线 C的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 06的直线 1AB和 2，使 12AB，其中 1A、1B和 2A、 分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A. 3(,2 B. 23,) C. 23(,) D. 23,)【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线 1AB和 2的斜率之间的关系即可.【解析】选 A.由题意知, 直线 1AB和 2关于 轴对称,又所成的角为 06,所以直x线方程为 或 ,又因为有且只有一对相较于点 O、所成的角为xy3xy306的直线 1AB和 2，使 12AB，所以渐近线斜率满足 ,解得3ab.故选 A.32e4.
4、 （2013新课标高考理科10）已知椭圆 的右焦:E)0(12bayx点 ，过点 的直线交 于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，则 的)0,3(FEABA,E方程为（ ）A. B. 136452yx 12736yxC. D. 82798【解题指南】本题中给出 的中点坐标，所以在解题时先设出 ， 两点坐标，ABAB然后采用点差法求解.【解析】选 D.由椭圆 得， ，12byax 22bayx因为过 点的直线与椭圆 交于 ， 两点，F)0(12bayxAB设 ， ,则 ，),(1yxA)(2yxB121则 1212bab222yx由-得 ，0)()(2121 yx化简得 .)(212222 ab，
5、0)()(11yax 21abxy又直线的斜率为 ，即 .(32k2因为 ，所以 ，解得 ， .922acb192a182a92b故椭圆方程为 .182yx二、解答题5.（2013安徽高考理科18）设椭圆 的焦点在 轴上22:1xyEa+=-x（）若椭圆 的焦距为 1，求椭圆 的方程；E（）设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直12,FP线 交 轴与点 ，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。2PyQ1FPQap【解析】(1)因为焦距为 1，所以 ，解得 ，从而椭圆 E 的方程为214a-=25=8.28153xy+=（2）设 ，其中 ，由题设知 ，则直线012(,
6、0)(,xcF-P（ ,） 21a-c=0xc的斜率 ，直线 的斜率 ， ，故直线 的方程1PF10+FPyKxc=2PF20-FPyKxc=10+FPyxc2PF为 , 当 x=0 时， ，即点 Q 坐标为 ，因此直线0()yxc- 0y- 0-（ ， ）的斜率 。由于 ，所以1QF10FQyKx=-1FPQ100.1,+FPyKxc=-化简得 220()ya将 代入椭圆 E 的方程，由于点 在第一象限，解得 ，即0xy（ ,） 20=xa， 21-y点 P 在定直线 x+y=1 上。6. （2013天津高考文科18） 与（2013天津高考理科18）相同设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 ,
7、 过点 F 且与 x 轴垂直的直21(0)xyab 3线被椭圆截得的线段长为 . 43() 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 , 求 k 的值. 8CDB【解题指南】() 由离心率及过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出 a，b 的值，写出椭圆方程. () 写出过点 F 且斜率为 k 的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示 求解.ACDB【解析】() 设 由 知 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为(,0)c3,a,c代入椭圆方程有 解得 于是 解得 又,xc21,yb6,3b
8、y243,2,b，从而 ，所以椭圆方程为 . 22ab3,ac21,xy() 设 ，由 得直线 CD 的方程为 由方程组12(,)(,)CxyD(1,0)F(1),ykx消去 y，整理得2,3yk 22(3)630.kxk可得 因为 所以221216,.33kxxk(,)A(,)B112221(,)(,)(3,)(,)ACDByyxyxy122122 2126()()(63xkxxkk由已知得 ，解得2182.k7.（2013北京高考文科19）直线 y=kx+m(m0)与椭圆 W: +y2=1 相交4x于 A，C 两点，O 是坐标原点。（1）当点 B 的坐标为（0，1） ，且四边形 OABC
9、为菱形时，求 AC 的长；（2）当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段 OB 的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点 A,C 的坐标,再求 AC 的长.(2)用反证法.假设 OABC 为菱形,则只需证明若 OA=OC,则 A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】 （1）线段 OB 的垂直平分线为 ，因此 A、C 点的坐标为 ，12y1(3,)2于是 AC 的长为 。23（2）只需证明若 OA=OC，则 A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数。设 OA=OC=r（r1)，则 A、C 为圆 与椭圆 的交点
10、。22xyr2:14xWy， ， 点与 C 点的横坐标互为相反数或相等，2314xr231xr所 以此时 B 点为顶点。因此四边形 OABC 不可能是菱形。8. （2013新课标全国高考理科20）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆M： (ab0)右焦点的直线 x+y- =0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的21xyab中点，且 OP 的斜率为 2（1）求 M 的方程（2）C,D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形ACBD 面积的最大值【解题指南】 （1）涉及到弦 AB 的中点问题，考虑点差法，建立关于 a,b 的方程组，解得 a,b 的值，确立 M 的
11、方程；（2）将四边形的面积表示出来，可转化为 S ，然后利用函数的知识求ABh最值.【解析】设 ，则 ,12,AxyB21xyab,-得2xyab.因为 ，设 ，因为 P 为 AB 的121212120xyyb12yx0,Pxy中点，且 OP 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得01212+，2ab即 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以 M 的方程为2c2ac3c26a.2163xy(2)因为 ，直线 AB 的方程为 ，所以设直线 CD 方程为CDAB30xy，将 代入 得： ，解得 不yxm30xy21624x430,x或防令 、B ，所以可得 ，将 代入 得：0,A4,63ABym2+16y
12、，223460x设 ， ，则3,Cy4,Dxy2 2343418,Cxx又因为 ，即 ，221660mm所以当 时，CD 取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为08.23ABCD9. （2013辽宁高考文科20）与（2013辽宁高考理科20）相同如图，抛物线 点 在抛物线 上，过221:4,:(0).Cxyxpy0(,)Mxy2CM作 的切线，切点为 (为 原点 时， 重合于 ).当 时，切线,ABOABO01x的斜率为 。MA2求 的值；()p当 在 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程（ 重合于 ，中点2CABN,ABO为 ）.O【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，
13、建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。【解析】 设 ，则(),)Aab1.2MAxaky已知切线 在抛物线 上的切点为 ，21:4Cxy(,)Aab由导数的几何意义得， 1.2MAak所以 从而1.a2.4ba故点 (,)A由点斜式得切线 的方程：A1().42yx由于点 在抛物线 上，又在切线 上，0(,)Mxy2CMA所以得 0201(),4.xpy将 代入上述方程组，即得1 2p故 的值为 2.p设()1212(,),)(,)NxyABxy又点 在抛物线 上，12:4Cxy则 ，,4yx由于 为线段 的中点，所以 NAB21
14、211, .8xyx切线 的方程分别为： ,M211(),4y22()4xyx由得切线 得交点 的坐标 ,MAB0(,)121200,4xy又由于点 在抛物线 上，所以 0(,)xy2C2x由得 2116由得 ， 2212114xxx28xy将代入得 1222()3由得 .2,03xy当 时， 重合于 ，中点 N 为 ,其坐标满足方程12ABO243xy综上可知，线段 的中点 的轨迹方程为 .243xy10. （2013湖南高考文科20）已知 ， 分别是椭圆 的左、1F2 15:2yxE右焦点， ， 关于直线 的对称点是圆 的一条直径的两个端点。1F2 02yxC（）求圆 的方程；C() 设过
15、点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 ， 。当 最大时，2lECab求直线 的方程。l【解题指南】第（）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线 的对称点，否则会增加许多计算量。第() 问要掌握利02yx用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长 ，利用弦长公式 a求直线被椭圆截得的弦长2121221212 4)(4)( yykxxkd ，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。b【解析】 （I）由题设知 的坐标分别是 ，圆 C 的半径为 2，圆心为21,F)0,2(原点 O 关于直线 的对称点，设圆心坐标为 ，由 得02yx ),(0yx1020xy，所以圆 C 的方程为2
16、0xy 4)2()(2yx（II ）由题意，可设直线 方程为 ，则圆心到直线 的距离为lml，所以 ，21|md2214db由 得 ，2152yx 014)5(2my设 与 E 的两个交点坐标分别为 ，l ),(,21yx则 ，5,542121 ymy于是，22221111222()()()46()(5)51axymym从而，222 22 2851851()45411mabmA当且仅当 ，即 时等号成立，故当 时， 最大，22m33mab此时，直线 的方程为 或 ，即 ，或l 23yx23yx023yx.023yx11.(2013浙江高考理科T21)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 的一
17、21(0)xyab 个顶点,C 1的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径. l1,l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A,B 两点,l 2交椭圆于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程.(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程.【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中 a,b 的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为 k),把ABD 的面积表示出来( 一定是关于 k 的表达式),当ABD 面积取最大值时 ,求 k 的值.【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,所以椭圆 C1 的方程为: .214xy(2)设 A(x1,y1),B(x2,
18、y2),D(x0,y0).由题意知,直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则直线 l1 的方程为:y=kx-1,又圆 ： ，故点 到直线 的距离2C24xyO1l2dk所以223kABd又 ，故直线 的方程为：21l2l 0xky由 ，消去 ，整理得204xkyy2(4)8kx故， ，所以028xk281kPD设 的面积为 ，则ABDS28432kAB所以， 2 22 23161443Skk当且仅当 时取等号0所以所求 的方程为 .1l102yx12.（2013安徽高考文科21）已知椭圆 C: 的焦距为 4，21(0)xyab+=且过点 。23P（ ， ）（1）求椭圆 C 的方程；（2）设
19、为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为00Q（ x， y） ()E。取点 ，连接 AE，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点2A（ ， ）D 关于 y 轴的对称点，作直线 QG，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由。【解题指南】 （1）由题设的两个条件可得 a,b；（2）设点 ，由 D（ x,0）用 ，写出 ，联立直线 QG 与椭圆的方程，整理转化为.0AED=DGx表 示 ， QGK关于 x 的一元二次方程问题求解。【解析】(1)因为焦距为 4，所以 ，又因为椭圆 C 过点 ，所以24ab-=23P（ ， ），故 ，从而
20、椭圆 C 的方程为 .231ab+=284ab=，2184xy+=（2）一定有唯一的公共点.由题意,设 E 点坐标为 ,D 点坐标为(x D,0),则0（ ,），0-2(,2)DAEAx-（ x,） ，再由 知， ，即 ，由于 ，故 ，.0E=0.+8=Dx0.Dx08=-Dx因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点 .故直线 QG 的斜率08(,)G又因为 在椭圆 C 上，所以 ，002,8QyxK=- 0(,)Qx208xy+=从而 故直线 QG 的方程为 , 0,2QGxy 008()2xy=-将代入椭圆 C 方程，得 2 20164xy+=（ ）再将 代入 ，化简得 ，解得
21、，即直线 QG 与椭圆 C- 0,x一定有唯一的公共点.13.(2013浙江高考文科T22)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1).(1)求抛物线 C 的方程.(2)过 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于M,N 两点,求|MN|的最小值 .【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出 A,B 两点的坐标(设而不求), 设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.【解析】(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p0),则 =1,p=2,2所以抛物线 C 的方程为 x2=4
22、y.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=kx+1,由 ，214ykx消去 ，整理得y40xk所以 1212,x从而 k由 解得点 的横坐标1,2yxM112184Mxyx同理点 的横坐标 ，N284Nx所以 2M12x12284()6x28143k令 ，则43,0kt34tk当 时，t 25612Nt当 时，0t 238()5Mt综上所述，当 时，即 时， 的最小值是 .5t4kMN82514. （2013山东高考理科 22）椭圆 C： （ab0）的左、右焦21xy点分别是 F1、 F2,离心率为 ，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线32段长
23、为 l. （）求椭圆 C 的方程； （）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF 2,设F 1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0） ，求 m 的取值范围； （）在（）的条件下，过点 p 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1， k2，若 k0，试证明为定值，并求出这个定值.12k【解题指南】 （）由椭圆 及过 F1 的线段长，可列出方程求出椭圆的22cba方程；（）先设出点 P 的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点 P 的横坐标与 m
24、 的关系，由椭圆的范围求出 m 的范围.（）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去 y，由于 l与椭圆 C 有且只有一个公共点，即 ，可得出 k 与点 P 的坐标的联系，然后0将斜率用坐标表示出来的式子代入 即可.21k【解析】 （）由于 ，x=-c 代入椭圆方程 ，22bac 12byax得 ，由题意知 ，即 ，aby2122又 ，所以 a=2,b=1,23ce所以椭圆 C 的方程为 142yx（）设 ，0,0yxP又 ,3,21F所以直线 的方程分别为1: ，1PFl00yxy: ，2 3由题意知，M 到直线 的距离相等，21,PF所以 ，20202 33xymxym由于点 P 在椭圆上
25、，所以 1420所以 202033xmx因为 ， ，0可得 ，002323xmx所以 4m因此 23（）设 ，则直线 的方程为 ，0,0yxPl 00xky联立 00214xky整理得 .01248200022 xkyxky由 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 ，即 148 200220xkykxky即 ，又420020y1420所以 ，81620020xky故 ，04xk由（）知 ，00021 23yxxyk所以 ，8402121 xk因此 为定值，这个定值为-8.2115. （2013 山东高考文科22）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C 的xOy中心在原点 O，焦点在 轴上，短轴
26、长为 2，离心率为 .x 2(I)求椭圆 C 的方程；(II)A,B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,64射线 OE 交椭圆 C 于点 P,设 ,求实数 t 的值.OPtE【解题指南】 （）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(II)由于 A,B 两点任意，因此需要考虑直线 AB 的斜率是否存在，斜率不存在时，设出 A,B 两点坐标，由已知条件得出 P 点坐标代入椭圆方程即可求得 t 的值，斜率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出 t 的关系式.【解析】 （）设椭圆 C 的方程为 ，012bayx由题意知 ，解得222b
27、ac,ba因此椭圆 C 的方程为 .12yx(II) 当 ABx 轴时,设 A(x0,y0),B(x0,-y0),由 020216,134=.xyx得 或 ，由 =t =t(x0,0)=(tx0,0),得 P(tx0,0),OP OE又 P 在椭圆上 ,所以 +02=1,所以 t2= =4 或 ,tx0x43所以 t=2 或 (舍去负值 ).23当 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB:y=kx+m,显然 m0,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.(*)由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|= |xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|112= |m|xA-xB|= ,1264所以, ,|2|ABxm223()4ABABxxm即 ,整理得, 2228(1)163()kk 22(1)6k 又 ，2 2,ABEExykx所以， ，2()1mtOPt即 ，将其代入椭圆方程得22(,)1k，2)()1mttk整理可得， t 联立，消去 ，约分掉 ，移项整理得， ，21k2m423160t解之可得， 或 ，均能使 式的 ，24t3(*)0所以 或 （舍去负值）.t综上， 或 .2t3关闭 Word 文档返回原板块。
